MM

cosw;

donc

""" <3C0S<» tf£ 61

On reconnaît encore immédiatement que la projection de la normale sur l'un des rayons vecteurs, ou racoso), est

égale au demi-paramètre £•

On voit aussi que la projection du rayon de courbure sur un des rayons vecteurs, ou Rcosco, est égale à — 1 quatrième proportionnelle, que l'on construira immédiatement, de manière que M soit une de ses extrémités, et l'autre en un certain point de MF'. Elevant en ce point une perpendiculaire à MF', elle rencontrera la normale au centre de courbure. Mais on arrivera encore à une construction plus II. 3

trùuvo dans le servant qu'on a

R cos i»i=-

Princifies At

D'où il suit que si par le pied de la no une perpendiculaire jusqu'à la renconi

aie un lui élève d'un des raTi'in urs, et que par ce point de reuconlre on eu élève une autre à ee rayon vecteur, cette dernière ligne coupera la normale au centre de courbure.

Ou a des formules analogues pour la parabole ri l'hy-

IS. Revenons maintenant à la question de niérfim'que Les aires el.iut proportionnelles au temps, la force qui produit le mouvement relatif autour du soleil, passe par le ■ entre de ci l astre; et il s'agit de trouver la lot de celte force, s.icliant qun la courbe décrite est une ellipse dont le centre du soleil occupe un foyer.

Désignons par 9 la force accélérât riec appliquer au point matériel M et dirigée suivant MFj sa composante KÛnM

formules applicables à toute courbe; et, remettant pour/?, R et cos o>, leurs valeurs en ô et ô\

Ce qui prouve que la force est en raison inverse du carré de la distance au centre du soleil.

On peut exprimer la constante C au moyen du temps ï de la révolution de la planète autour du soleil ; car le double de Taire de l'ellipse étant iTtaby on aura

CT=:2itab'f donc

et

? — —jr~ ' J7 5

de sorte que la force accélératrice à l'unité de distance est 4 n'a*

On retombe ainsi sur les résultats trouvés précédemment. Si la force était dirigée vers le centre O, on aurait

C C1 C'.OM C \a~) ^M (?

q T ç'RcoSo» q*

<>= -<p = = — = — * — i-.OM= — - . OM,

qJ tf'Rcos» <7»R q*n* a* b1

résultat identique avec celui que nous avons déjà trouvé par l'analyse (n° 5).

19. Avant d'obtenir la démonstration de la loi de l'attraction des planètes, Newton l'avait entrevue par des considérations que nous allons indiquer, et qui, sans avoir le même degré de rigueur, ne laissaient pas que de donner de

très-fortes inductions.

36 livpe il

Les satellites décrire»! autour du leurs planèl lives des orbi les sensiblement circulaires, auxquelles a'appliqucnl les lois de Kepler : el les planètes décrivant de» orbi Les d'excentricités différentes, on peut supposer, par analogie, que les lois de Kepler, qui leur sont commune*. s'appliqueraient encore au cas d'orbites Circulaires : d autant plus que les orbites réelles élanrtrès-peu excentriques, on peut avec une assee grande approximation les regart comme circulaires. Ainsi, on aura des résultats, sinoi exacts, an moins fort approchés, en appliquant les lois t Kepler au cas d'orbites circulaires. Cela posé, la loi < aires indique toujours que la force qui agît sur chaque planète est dirigée vers le centre du soleil. La seconde 1 qui, dans le cas général, prouvait que, pour la même planète, la force accélératrice variait en raison inverse ( carré de la distance, montre, dans le cas actuel, que vitesse est constante; car les arcs de cercle sont prope tionnelsaux secteurs et, par suite, au temps; ou encore I loice est toujours normale à la trajectoire; et, pare queut, la vitesse est invariable. Or, la force cenlrîpi

ce qui s'accorde avec la valeur générale • « — > dans la-

quelle on supposerait r = a = R.

Passons maintenant à la troisième loi, qui, dans le cas général, étendait la loi d'attraction trouvée pour les diverses positions sur une même orbite, aux positions relatives à des orbites différentes. Dans le cas actuel, le résultat analogue que nous allons trouver ne sera pas une extension, mais bien la première manifestation de cette même loi. Soient 9, <f' les forces accélératrices relatives à deux planètes quelconques, dont les distances au soleil sont R, R', et les durées des révolutions T, T'. On aura, d'après les

valeurs de 9 et <{/,

il * ta * ' — • — • T ' T • « rp • y.,t î

or, la troisième loi de Kepler donne

T5: T" :: Rs: R'*.

Remplaçant, dans le second rapport de la proportion précédente, Tf et T'1 par les quantités proportionnelles Rf, R7», elle devient

ce qui prouve que la force appliquée à l'unité de masse varie en raison inverse du carré de la distance au centre du soleil.

Les satellites d'une même planète étant soumis aux mêmes lois, relativement a leur planète, on en conclut que l'attraction des satellites varie de même en raison inverse du carré de la distance au centre de la planète autour de laquelle ils opèrent leur mouvement. La terre, n'ayant qu'un satellite, ne pouvait fournir une vérifleation sem* blable de cette loi d'attraction -, mais elle en donnait une

38 LiviiE H.

autre qui n'a pas échappé à JNl-wIou. Ea eflet, si de le semble (1rs pliénoinènes précédents on lire, comme nous l'avons déjà fait ci-dessus, la conséquence que deux molécules quelconques de. matière s'attirent, proportinmifllrment à leurs niasses, el en raison inverse du carré de leur dislance, In terre pouvant être considérée comme composée de couches concentriques homogènes, son action sur un point situé à sa surface, ou au delà, est la même que si toute sa masse était réunie à son centre. Or, la distance des centres de la lune el de la terre ayant pour valeur moyenne soixante rayons terrestres, la pesanteur à la surface de 1 1 terre doit elre 36oo fois plus grande que l'attraction exercée par la terre sur une même masse située sur la lune : ce même rapport doit donc exister entre les espaces parcourus dans un même temps par les corps tombant à la surface de la terre, et par la lune dans le sens de l'attraction de 1 icrre.

Or celte vérification, bien facile à faire, réussit < plélcmeui.

En elïet, si, pour simplifier le calcul, nous considéron* l'elliiise tiï'i-neii pïCHiilrinue nue décrit la lune, comme

tare oe i de U

t corn-

DYNAMIQUE. 3o,

ce qui ne diffère pas sensiblement de ^. ; et Ton ne trouverait aucune erreur appréciable en ayant égard à diverses circonstances que nous avons négligées.

Le résultat de ce calcul fournissait donc une confirmation de celte supposition, que toutes les molécules de la matière s'attirent proportionnellement aux masses, et en raison inverse du carré de la distance ; et que la pesanteur à la surface de la terre est un effet de cette attraction, aussi bien que la pesanteur à laquelle la lune est soumise vers le même centre.

20. Masses clés planètes. — Il est facile de déterminer le rapport de la* masse d'une planète a celle du soleil, lors* que cette planète est accompagnée d'un satellite ayant une niasse relativement très-petite. En effet, représentons par M la masse du soleil, par w#, m' celles de la planète et de son satellite, par 2 a, a a1 les grands axes des orbites de la planète et du satellite, et par T, T' les temps de leurs révolutions; on aura, d'après ce qui précède,

in2 a3

4*"" ri . m

d'où

a'*T> jff-f-//*'

<tlV2 M -t- m

Or le second membre peut être regardé comme sensiblement égal à r-j parce que m est très-petit par rapport à M, ainsi que ni par rapport à m. On peut donc écrire

4<J 1IVBE 11.

T et ï' sont connus par l'observât! ou, et il suffit de < naitrc une valeur approchée de — pour en déduire, avec une approximation du même ordre, le rapport de la musc de la planète à relie du soleil. Newton a trouvé, par ce procédé, j—-; pour lo rapport de la niasse de Jupiter à celle du soleil. Des procédés plus précis ont donné 7—, ce qui en diffère très-peu.