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irl à », qo
a ad on y fait a =
o. L'énuatiuu (i) nionir.-
m; réduit
, dans ce cas, à x;
ainsi t% ea X, cl îl reste
à trouver gi'néi
'.ilcmcnt l-r-^1 ■
Pu
Ut cela, i
unimeiiçons par diilémiiïer partie] liment
iv,,.,
«Un (.) ,
iar rapport à chaci
ine dos deux quantités jt
COU.UIlTI
es comme variai)!
et indépendantes; non*
rh
1 W de* ,i*
Ct.tfl
éliminai.
Pour obtenir -— i difïerentions les deux membres de l'éciua-
da.2 l
tion (2) par rapport à a, il vient
d2 z „ . . dz dz „. . d2z
d*z 011 obtiendra en différentiant par rapport à x la
valeur de — 9 fournie par l'équation (a) ; ce qui donne
et, substituant, dans le premier terme de l'avaut-dernière
équation, à — sa valeur donuée par l'équation (a), ou
d*z aura la valeur suivante de — au moyen de dérivées de
z par rapport à jr,
d*z -, , -, , x(dz\* ,~^d2z
et comme ce second membre est la dérivée, par rapport à
dz x, de (/z)1 — » ou aura enfin
CIJC
et faisant a = o,
/^\ rf.f/r)'
Or nous allons voir que toutes les dérivées suivantes de z par rapport à a s'obtiennent, pour a = o, par des diflfé-
T IV U il.
, .-i.ii
liions par rapport A x, cflVcl lires BUT Il-s il.ll.
|iui«-
in a\oii l.i valeurdc — , i) faudrait d if fer eu lier, p*r
rappi
ni li a, lr second membre de l'équation (3); cl,
mi
ic- 1 ordre '!i's iliifétnilialiotis pur rapport à X et a
iiilifleretiL, on pourra comini'iwrr par diffJreniiri'
— par rapport à a, puis le résulta! par rapport à x.
Mail,
pour n'avoir pas à recommencer toujours le* menai
iiou>, nous allons considérer généralement o{z) -j--
l'mln; la dérivée par rapport -i a, et la nmewr 1 <!■■■-
,1,'Til
■<■- par iijipûrl A > .
On
aJ'ahord
""" |,0m' rf«' .irrfa 'l'S mémeS ïa'aUrS ''UC P******»"
llll M.
irin .■N[)!es»ion devient
Si l'on suppose maintenant <f (s) = (,/i)% on aura -
da. dx
et, par conséquent, en différentiant l'équation (3) par rapport à or, on obtiendra
dz* dx*
Supposant ensuite 9 (z) = (/*)% on passera à — » et la loi
que ces premières formules manifestent s'observera indéfiniment^ car, si Ton a
dat.n dxH-%
en diflerentiant les deux membres par rapport à a, en faisant usage de l'équation (4), et en prenant <f(z) = (/*)", on obtiendra
rf~.a''[W"£
ce qui fait voir que la loi supposée pour Tordre n a lieu pour le suivant, et comme elle se vérifie pour les premières dérivées, elle a lieu pour toutes ; on a donc généralement la formule
rf"' [wê]
v y d** dx—1
Si Ton y fait a = o, on aura
dz
33. Passons au problème plus général dont l'objet s Je développement d'une fonction quelconque F( a), sui> m lus puissantes de a, en supposant que z soit toujours déu miné par l'équation (i).
