Expression du rayon vecteur en fonction tiu temps

— D'après 1 équation (9), - est une louction connue de u.

et pourra se déterminer au moyen de la formule (7), dan» laquelle il faillira faire

pM .uile,

i't, comme dans le cas précéden , = «, /{,) = , On aura donc d'abord

- = 1 — ecos x -t- r'sia'x-f

r ,V.sm'.r <■' d

'.sin'j-

a dx a. 3

rf*>

r* d'.sin'j-

DYNAMIQUE. Jl

Substituant dans la valeur de ~> et remettant nt au lieu

de x, on a la formule cherchée

- = i — ecosnt (coS2/?r — i) . (3cos3/îf — 3cos/ff)

eK e*

[12) ( — — (cos4"f — cosa/ir) p^(53cos/ir — 5.3scos3/?r+5.2cos/tf)

i = (3*cos6/i/ — 2fccos4«f-H5cos2/if) — ....

36. Expression de V anomalie vraie en fonction du temps. — Il ne reste plus qu'à exprimer 0 en fonction de t. L'équation (io), au moyen de transformations élégantes dues à Lagrange, fera d'abord connaître 0 en fonction de sinu, sin 2 w, etc. Remplaçant ensuite ces dernières quantités par les développements ordonnés suivant les puissances de e, on aura la solution de la question.

Substituant d'abord aux tangentes les rapports du sinus au cosinus, et à ceux-ci leurs expressions en exponentielles imaginaires, l'équation (10) deviendra, en désignant par e la base du système de logarithmes népériens,

d'où l'on tire

Qtr- ^-' {s/i+e+<Ji—e) -f- \/i — e — )/T+,

Posons

y i -H <? -+- y i — * i-f-V7' — ** nous aurons

— X,"'-» i-àc"^

2bl

Livne ii.

ri, prenant les tant par <J — t.,

logarithmes des deux membre*, puis

On peut déveln

iiper les logarithmes, puisque 1 est

plu

petit

ijuo l'unité; et

si l'on remplace les exponentiel!

i'S imsgî-

«aires par tins s

iniis et cosinus, on aura enfin

*sina" 3*,n " 4

Il f'aui maint

niant substituer à m, siii u, sin ni

leun

développement:

d'après la fort

< ordonnés, par rapport aux puissances nule de Lagriittge. La valeur de u est

dee.

donnée par l'équation (i (); et sin u s'en déduit d

apré

rjUfttïon (8), <]

ii donne

» = -~. = sin ni + - sîn J»/ h — ■ (3sin3n( — sinnr) -f-

On trouvera en

suite, par la formule de Lagrangi

DYNAMIQUE. j[\

Pour cela, posons

d'où

nous pourrons développer E"P, suivant les puissances de <**, au moyen de la formule (7), dans laquelle il faudra supposer

On aura ainsi

n-, = 1. + JL * + pJp±*1 *

el,vommc on a

À=r«fE-'f

on aura

iP 2/*-* 2.2''-M

Substiluant aux diverses puissances de À les valeurs résultant de cette formule, on aura, en négligeant les puissances de e supérieures à la sixième,

0 = ni -+- ( 2 e — -7 c* H -7 ** ) sin /ïf

^e7 — ~e* H — ** J sin 1 nt -f- [ — v* — ~ r* ) sin 3 ///

<l3M ,iG3 45i

/io3 45i \ . ,

— F' — tïT p sin4//f

1007 . 1323 . ,. — r-^ rs sin 5/1/ H tt— r1, Sin h/7/,