SYSTEME
55. Quelles que soient les liaisons ilim *\«!èmc en iimuvemenl, nous avons vu qu'il v avait romtammeut équilibre, en venu de ces liaisons, entre les forces ayant [M>
Or, cii équilibre ne serait pu* Uoublé si l'on ajoutait il nouvelles liaisons qui rendissent rigide le systèm [iiiiiiis: doue les éuualîom nui ex nri nieraient al or» 1'
laires. Mous allons examiner successivement les conséquences de ces Jeux espèces de conditions.
Mouvement du centre de gravité.
56. Les trois premières équations dont nous venons de parler sont
d'où Ton tire
Les premiers membres de ces équations peuvent être transformés en introduisant les coordonnées x,, j ,, zt du centre de gravité du système proposé, en entendant par là le point qui, à une époque quelconque du mouvement, deviendrait le centre de gravité du système, si on liait instantanément tous les points entre eux.
En effet, les coordonnées de ce point satisferont aux équations
(2) I/w.r = M.r,, ïmy = Mjrt, ïmz = tAzn
M désignant la somme totale des masses du système.
Ces équations ayant lieu à chaque instant, on pourra les diffé rentier par rapport au temps, et Ton trouvera
x • dt de dt dt de dt
et, eu les différen liant de nouveau,
(4) 2//ï -— = M — — , Zut /- = M — ^-, ï/// — - = M -77w dt7 dt2 de7 rit7 dt2 dt*
io6 J'ra,,
1 IY«E li i tics équations (l),
y, M-^' = ïZ;
cil'
in moin
expriment une les i cincnt du centre A
oiiipnsantes de l'accêléra- ■ graviié son! identlnnès i
relies
M, cl i
ri trouverait pour un point dont la masse [ni serait sollicité par toutes les forte» données parallèlement à eUea-mèmeaen èe point.
de la
iTos;tii m. point ay; i initiale du pentn la même direction.
mi une mené M, partant de gravité, avec la même set) coordonnées seraient
ili'liTininws ] ilt' gravité, t
iar lis mêmes équation» que celle* du rentre i ces doux points coïncideraient à chaque
Quan Lire put compas
ijiii se rapporte nu mouvement initial, sitppoi produit par des forces instantanées, avant mies A, B, C au point /M-, A', K, C'*U point
es autres, ces forées pouvant d'ailleurs être m nombre quelconque de ces point*. Si l'on
On voit donc que les composantes de la vitesse initiale du centre de gravité sont les mêmes qu'elles seraient pour un point ayant la masse M, et sollicité par toutes les forces instantanées qui déterminent les vitesses initiales du système partant du repos, ces forces étant transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point. En réunissant ces deux propositions, on aura le principe suivant :
Le mouvement du centre de gravité rf'ii/i système libre quelconque est le même que si Von y réunissait toutes les masses des différents points, et qiion y transportât y parallèlement à elles-mêmes, les forces instantanées et les forces continues, qui produisent F état initial et les états subséquents du système.
Si les liaisons d'un système sont telles, qu'à chaque instant les points puissent être déplacés simultanément et parallèlement à une droite fixe, le théorème précédent aura lieu pour le mouvement du centre de gravité, parallèlement à celte droite. Car, en la prenant pour axe des z, et faisant dx = o, Jj" =s o dans l'équation (i), page 78, on aura
et S z étant le même pour tous les points,
de '
d'où
d'où Ton lire la conséquence annoncée.
Remarque. — Il est bon de faire une remarque qui pourra se reproduire souvent, au sujet des forces instantanées, c'est-à-dire de forces considérables dont on considère l'eflet pendant un temps inappréciable. La conséquence que nous
ioB
UVM H
avoua tirée i
»■-. .■i|u.itions (5) étant sppKqBde 1 m i
forces prada
m k- temps très-court qu'elle* emploient à pin-
duire les vil
<■-.- initiales, démontrerait que h- ■ 0!ii|>m-
santés de ce
- \iii\-scs sont précisément*!*
toutes, tes m
riisc- étaient réunies au ei'tilre de gravité lu
système, ci i
|iic toutes les forces basent transportées en te
point sans c
liangcr tic manière d'agir. Mais cette déttiiui—
tration ici il
nt ii faire une intégration relative .1 < i> m h
îles composa
nies de la vitesse du centra de gravité; <■ 1 1
ainsi, en t'Il'cl, que l'équation (7) se déduit de l'équ.-. U l
générait; (ii)
qu'on appliquerait à des força 1 ré*- grandes
agissant Jan
s mi temps très-court. Et 1 équation méine qui
nous servira
dans lontea tes questions oà il entrera des forces
instantanées
. r'esl-à-dJra l'application du pijuuîp*
d'Àleoibcrl
;. ce genre de forces, a été obtenue par une
intégration
analogue f»ÎW sur l'équation i|ui M! mppetfU
aux forces i-<
niiiiues, Mais une fois ce point bien entendu.
il CSt préfér;
1 Me de na plus revenir* iliaque instant sur ce
momo raisoi
miment, et d'introduire directement 1rs forcci
instantanées
' oui me nous avons appris à lu l'air».-: 1 ost pour
qui y sont appliquées se détruisent quand on les transporte en un même point, le mouvement du centre de gravité est rectilignc et uniforme. Sa direction est donc celle de sa vitesse initiale, et, par conséquent, de la résultante des forces instantanées qui ont mis le système en mouvement, ou encore, des forces instantanées qui lui donneraient, à un instant quelconque, le mouvement dont il est animé.
Lorsque les points du système exerceront les uns sur les autres des actions réciproques, égales et contraires, continues ou instantanées, le mouvement du contre de gravité n'en sera pas altéré, puisque ces forces, transportées eu ce point, s'y détruiraient deux à deux. Ainsi des chocs, ou des liaisons subites établies entre plusieurs corps du système, ou encoredes explosions intérieures, produisant nécessairement des actions égales et contraires, ne sauraient modifier en rien le mouvement du centre de gravité. C'est en cela que consiste le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité.
Il est essentiel d'observer que toutes les propositions précédentes sont indépendantes de la nature des forces et des lois de leur action.
Principe de la consetvation des moments et des aires.
58. Considérons maintenant les trois dernières équations d'équilibre, qui expriment que les sommes des moments
des forces X — m -j- > Y — m —£<> Z — m — -^ etc., par
dtl tir- dp l
rapport aux trois axes, sont nulles. Ces équations sont
livhe n.
e mut la ferme
Ces équations oui lieu ;i chaque instant du mouvement; cl 1rs expriment que les sommes des moments des Ibrres données, jiar rapport aux trois axe», «ont ('gales à relies des moments des forces qui produiraient sur les points libnt le mouvement qui a lieu.
Mous nous occuperons particulièrement du cas où les seconds membres des équations (i) sont nuls. Cela aura lieu d'abord si les force* X, Y, Z,..., sont toutes nul! c'est-à-dire si le système qui a été raïs en mouvement abandonné à lui-même, sans aucune action étrangère.
Cela aura lieu encore ai les pointe sont soumis à des lions qui seraient en équilibre sur le système rendu ripii car eus seconds membres sont les sommes des moments
lira
On voit même qu'il suffirait que les forces eussent une résultante passant par l'origine. De sorte que les seconds membres des équations (i) seront nuls toutes les fois que les forces seraient en équilibre sur le système rendu rigide, et lié au point fixe qui a été pris pour origine.
Le cas dont nous allons nous occuper a donc encore une assez grande généralité.
Les équations (i) deviennent, dans cette supposition,
/ tt'z d*r\
[^['dn-'-SF)^0'
(*> \lm\zdF-**r) = °<
( rt*y d*x\
intégrant par rapport à f, et représentant par c, v\ d1 trois constantes, on obtiendra
lmY*-zdï)=c>
(3) jx* (.£-*£)=•,
( dr dx\ lm[*iï-'dï)=C'
Les premiers membres de ces équations sont les sommes des moments, par rapport aux axes, des forces dont les composantes seraient exprimées pour chaque point par
m~t m—i m -y, c'est-à-dire des forces instantanées,
dt dt dt
qui produiraient sur chaque point libre, et partant du repos, le mouvement dont il est animé.
Ainsi, les équations (3) expriment que les sommes des moments des quantités de mouvement qui animent le système à un moment quelconque, estimées par rapport à trois axes rectangulaires, sont constantes; et que, par
,otiu\/iim/, il en est de ntëme par rapport à toute din tinn. Ou, pu d'aunes termes, si, à un instant muleon» mi ronsidère les forces instantanées qui produiraient j chaque ] i n ï 1 1 1 libre, ei, partant ilu repos, le mouveni dont il est fini nié; que l'on décompose, chacune <],.■ en trois autres, dirigées suivant les axes des coordonnées. et entrois couples, ayant ces ninms directions pour «ses : l,i somme des iiiomeotl des couples dans chacune de et» directions sera constante; et, par suite, J'axe du coup! résultant scia constant en grandeur et en direction.
C'est en cela que consiste lu principe de la camervatit .les moments. Il subsiste, quelles que soient les actions mutuelles qui viennent! liai Ire entre des points du système, comme par exemple si deux points étaient liés subilt-ir.ti l'un à l'autre, si une partie du système, d'abord gazeuse devenait liquide, puis solide, pourvu que cela s'opérât j des actions, deux à deux, égales et contraires; ou encore si le changement de température de diflerents pointa d'un système changeait leurs actions mutuelles, et, par suite, leurs distances. Ces diverses circonstances se prés* plans le système du monde.
e»dioupl*
•ation
lions ème,
ir.t-i.t
par suite, présentent
DYNAMIQUE. Il3
Si Ion applique à ces forces les propositions qui ont été établies dans la Statique relativement à la réduction d'un système quelconque de forces, on obtiendra les conséquences suivantes :
Lorsqu'un système libre quelconque est sollicité par des forces qui se détruiraient mutuellement s'il devenait rigide,
La somme des forces représentées par les quantités de mouvement de ses différents points, estimées dans une même direction, est constante ;
Le centre ue gravité du système se meut parallèlement à la résultante des quantités de mouvement, transportées en un même point-,
La somme des moments de ces quantités de mouvement par rapport à une même droite est constante.
Si l'on considère ces moments par rapport a toutes les droites qui passent par un même point de l'espace, celle pour laquelle la somme est la plus grande est invariable : c'est l'axe du couple résultant des quantités de mouvement, relatif à cette origine. Cette direction, ainsi que la valeur du moment total correspondant, sont les mêmes pour tous les points de la parallèle à la résultante, menée parce même point. La direction peut être la même, sans que le moment soit le même, dans le seul cas où les forces représentées par les quantités de mouvement sont réductibles à une force unique. Dans ce cas, tous les points du plan mené par cette force et le point que l'on considère, donneront une uième direction pour l'axe du moment maximum; mais le moment ne sera le même en grandeur et en direction que pour les points d'une même parallèle à la résultante.
Il existe un axe central unique, parallèle à la résultante, et tel que pour tous ses points sa direction est celle de l'axe du moment maximum*, et ce moment est moindre II. 8
que le maximum relatif à tout autre point de l'espace, tl •• détermine la< ilemcnl dès uti'uo connaît la résulunte et I couple résultant relatif » une origine donnée. Dan* le r. nu I'' système- îles forces représentées par 1rs quantités d mouvement est réductible à anc force unique, U droite suivant laquelle elle agit est l'axe central.
CM*. Conservation des moments dans le mouvement rrlatif. — Supposons maintenant que les aies auxquels <m rapporte la position des point*, se meuvent en restant parallèles à tit\-mèuies, le mouvement relatif sera identique au mouvement absolu qu'on obtiendrait en partait d'un état initial identique à l'étal relatif initial, et introduisant les forces fictives, détenu niées précédi-mineui Dans h' cas ai mei, où les axes n'ont qu'un mouvement <lr translation. 1rs forces fictives ae réduiront, pour ihaqur point du système, à une force accélératrice égale, parallèle, et de sens ron traire à celle qui donnerait à un point maieriil libre le mouvement que suit l'origine de. axe* mobiles.
Lorsque us forces réunies aux force* données htihii m
DYAAM1QUE. Il5
tème. 11 est donc nécessaire et suffisant que cette dernière force soit nulle, pour que les autres soient en équilibre. Dans ce cas, l'origine a un mouvement rectiligne uniforme, entièrement arbitraire. On obtient ainsi la proposition suivante :
Lorsque les forces appliquées à un système libre s'y détruisent lorsqu'il devient rigide, le principe de la conservation des moments a lieu dans le mouvement relatif à tout système d'axes qui se meuvent parallèlement à euxmêmes, de manière que leur point de rencontre ait un mouvement quelconque rectiligne et uniforme*
Le centre de gravité du système ayant, d'après l'hypothèse, un mouvement rectiligne uniforme, il s'ensuit que le principe a lieu pour un système d'axes de directions constantes et dont l'origine coïncide constamment avec le centre de gravité du système.
Le même principe aura encore lieu lorsque la résultante des forces fictives, au lieu d'être nulle, passera constamment par l'origine; ce qui exige que la droite menée par le centre de gravité du système, parallèlement à la force accélératrice de l'origine, passe toujours par cette origine même.
On peut donc énoncer cette seconde proposition :
Le principe de la conservation des moments a lieu, dans le mouvement relatif, lorsque les axes se déplacent parallèlement à eux-mêmes, et que la force qui produirait le mouvement de t origine, passe constamment par le centre de gravité du système.
Ce principe a donc lieu dans le cas particulier où l'origine a un mouvement arbitraire sur la droite que décrit le centre de gravité.
Cette dernière proposition renferme, comme cas très-
DYNAMIQUE. llj
soient égales, il faut que Ton ait
</€ d-j dyx * dZx , m dy «/6
Or, on satisfera d'une manière particulière à cette équation en posant séparément
d% d*i dyx r/*i d*t dG
ou
r ,:*,:: ^6 : 1/7, € : 7 : : dyx : dzx , 6 : 7 : : M : ^7.
En faisant de même pour les deux autres axes, on voit qu'on satisfera à toutes les conditions en posant
a : s : 7 : : d* : dt : </7 : : dxx : dyt : dzx : : *, :yx : *,,
ce qui exige seulement que le centre de gravité et l'origine se meuvent sur une même droite passant par le point qui a été pris pour origine fixe.
On obtient ainsi la proposition suivante :
Lorsque l'origine se meut d'une manière quelconque sur la droite décrite par le centre de gravité du système, tes moments relatifs ont la même valeur que si cette origine restait fixe.
On en déduit, comme cas particulier, cette autre proposition :
Les moments relatifs à des axes de directions constantes qui se meuvent, et se coupent au centre de gravité, sont les mêmes que si ces axes restaient immobiles dans une quelconque de leurs positions.
62. Conservation des aires. — Les équations (3) peuvent être envisagées sous un autre point de vue, et démon-
UVBF. II.
particulier, i
un' des précédentes, où l'on
nappai tfta ir...
l'ongïnc élai
[ au centre de gravité I11i-1ne.nn
On peut r
■marquer que le principe démorilri> dans ce
numéro teoSe
rme celui du numéro précédeni
. Il suffit, pour
l'obtenir, de
-opposer nulle la force dirigé»
: vers le MM
de gravité.
(M. Casoi
i le. moment a la mdmc valeur
que si l'origine
était immobile. — Les deux propositions
précédente- se
rapportent se
nleinent à l' invariabilité des me
iments relatif*;
mais on pou
■rail ajouter encore la conduit
in que ces ino-
menu i'ussen
t les mimes que si l'origine restait ro repos.
Voyons s'il e.
si possible d'y satisfaire.
Prenons pour axes fixes des x,y, z une di
« positions. An
axes niobilt-s
: soient a, £, y les coordonnées de l'origine
mobile, à un.
■ époque quelconque. La somme des momt-nU,
par rapport ;
i l'axe des x, sera
V '// dt j
La somme de
- moments relatifs à l'axe mobile parallèle au
DYNAMIQUE. llj
soient égales, il faut que Ton ait
</6 d-j c/jn * dzx , e df dt
dt dt ' di dt dt ' dt
Or, on satisfera d'une manière particulière à cette équation en posant séparément
dt di dyx dst dy dt
OU
/, : *, :: rf6 : c/7, € : 7 :: d?y :dzlf t : 7 :: dt : dy.
En faisant de même pour les deux autres axes, on voit qu'on satisfera à toutes les conditions en posant
a : t : 7 : : d* : dt : rf7 : : dxx : dyx : //z, ::*,:/.:»„
ce qui exige seulement que le centre de gravité et l'origine se meuvent sur une même droite passant par le point qui a été pris pour origine fixe.
On obtient ainsi la proposition suivante :
Lorsque l'origine se meut d'une manière quelconque sur la droite décrite par le centre de gravité du système, tes moments relatifs ont la même valeur que si cette origine restait fixe.
On en déduit, comme cas particulier, cette autre proposition :
Les moments relatifs à des axes de directions constantes qui se meuvent, et se coupent au centre de gravité , sont les mêmes que si ces axes restaient immobiles dans une quelconque de leurs positions.
62. Conservation des aires. — Les équations (3) peuvent être envisagées sous un autre point de vue, et démon-
1 iS I.IV11K II.
lient, une propriété géométrique remarquable du mouvement t-ii question. En eii'et, si Ton considère l'aire conique décrite par le rayon vecteur mené de l'origine nu point dont les coordonnées sont x, y, z, elle se projette sur les plan* coordonnés suivant les aires décrites par le» projection) de ce rayon, et dont nous allons calculer les expression».
Soit ri l'angle formé avec l'axe des y positifs par la projection rdu rayon vecteur sur le plan YZ, et qui tourne
positifs '
S pO:
ilifs,
ce qui est
le sens direct par rapport à l'axe des x positifs; on aura LangÔ — -i les signes de toutes les quantités étant pri» de la manière ordinaire.
On lire de cette équation
r'iti = yds. — tdy, — zdy est le double de la différentielle de l'air*
les plans coordonnés, et multipliées chacune par la masse du point correspondant, les équations (3) pourront être mises sous la forme
d'où
en comptant les aires à partir de t = o.
Ainsi, lorsque les points d'un système libre ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, ce qui comprend les chocs entre les divers points du système ; et, plus généralement, lorsqu'ils sont soumis à des forces qui seraient en équilibre sur le système devenu rigide, et lié invariablement à l'origine, ce qui comprend le cas de forces quelconques dirigées vers l'origine; la somme des projections sur un plan quelconque des aires décrites par les rayons vecteurs de tous les points, multipliées respectivement par les masses de ces points, est proportionnelle au temps, pourvu que l'on regarde comme positives les aires décrites d'un mouvement direct, et comme négatives celles qui sont décrites d'un mouvement rétrograde. C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires. On voit qu'il ne diffère que par la forme du principe de la conservation des moments.
63. S'il y avait deux centres d'action, lors même que l'un d'eux serait pris pour origine, les seconds membres des équations (i) ne seraient plus nuls. Mais l'un d'eux disparaîtra si l'on prend pour axe des z la droite qui passe par les deux centres fixes; car on aura
x-.Y::*:^, ou jy-/X=o.
Donc, dans ce cas, le principe a lieu seulement pour les projections sur un plan perpendiculaire à la droite qui
I 30 livre il.
joint les deux centres d'actions, et les couples provenait des quantités de mouvement du système, il ér oui posés suivant les trois axes, donneraient un couple constant mil l'axe qui passe par ces deux points.
Plai
uuariable. — Si l'on cherche le plan e des projections des aires multipliées par masses est la plus grande, on trouve, d'après les théorème) démontrés dans les éléments (*), que les eosinus des angles p, q, r, que la direction de son axe forme avec les avt de coordonnées, sont
mes
La direction de ce plan est donc indépendante du temps, et Laplace, qui Ta reconnu le premier, lui a donné le nom de plan invariable. Les équations (3) montrent qu'on pourra le déterminer si, à un certain instant, on connaît les masses des différents points du système, leurs positions et les composantes de leurs vitesses. Les actions mutuelles des points, et les chocs qui peuvent survenir entre eux, ne changent pas la direction du plan invariable, puisque les seconds membres des équations ne cessent pas d'être nuls. Il en est de même s'il y a un centre fixe d'action ou un point fixe, pourvu qu'on le prenne pour origine.
la somme algébrique des projections de toutes ces aires sur le plan dont Taxe est 1', multipliées respectivement par m, m',. . . , sera
cos t S ma cos a -f- eus «' 1 ma cos 6 H- cos t" 2 ma cos y,
et, en posant
2macosa = À, Ima cos € = X'f 2 ma cosy = X"t
la somme de ces projections sera
X cos c H- X' cos j' ■+■ X" cos s" ;
ou, en appelant p, q, r les angles dont les cosinus sont proportionnels à À, X'f X" et de mêmes signes respectifs,
^ X* -t- X'* -h X"* (cosfCos« + cos9COs«'~4-cosrcosc")=icosU v/jlt^-/'*^-À*,,
U désignant l'angle de Taxe 1' avec la direction fixe déterminée par les angles pf qf r.
Sans s'arrêter aux diverses conséquences de cette formule, on voit, comme nous l'avons avancé, n° 64, que le maximum de la somme des projections a lieu quand l'angle U est nul et que Taxe 1' se confond avec celui qui fait les angles p, q, r. La valeur de ce maximum est
et les cosinus de6 angles py q, r ont pour valeurs
COS p = . rns q r= » rn* #• =.
i/X*+X"+X"* ^Xt+À't+X"t yX*+ln-i-X"
oit qui! ce plau n'est autre chose que celui du ésult.iul des quantités de mouvement, et toutes les ions qui ont été établies pour ce dernier s'appliidentiqucment à l'autre. Nous nous dispense rons
■a pi
Ixi. y/pplication au système du monde. — En considérant le soleil, les planètes et leurs satellites comme sollicites seulement par leurs actions mutuelles, le centre de gravité de te système se meut uniformément en ligne droite, dépend de celles qui ont été imprimées
lor
nt été abandonnés à eux-
. Comme nous ne connaissons aucun point fixe, si Oulons prendre une origine des aires qui donne maximum des aires une direction inva- I faut choisir un point qui se meuve parallèlement décrit le centre de gravité; et comme celle connue, il faudra choisir le centre de gra- Le plan du couple résultant des quantités relatives, ou, eu d'autres termes, celui du tires relatives, pourra se déterminer à une
DYNAMIQUE. ia3
conque ; elles pourraient être brisées par des explosions, sans que ce plan fût dérangé.
Il resterait encore le même si Ton supposait tous les corps du système sollicités par des forces parallèles et proportionnelles aux masses; car les mouvements rapportés à trois axes menés par le centre de gravité dans des directions constantes ne seraient pas altérés, et, par conséquent, les aires projetées sur ces plans resteraient les mêmes.
Équation des forces vives.
66. Cette équation s'obtient en considérant un déplacement virtuel particulier, qui n'est pas toujours compatible avec les liaisons du système. C'est celui qui coïnciderait avec le déplacement qui s'opère pendant un temps infiniment petit dans le mouvement réel de ce système.
Pour reconnaître quand ce déplacement virtuel est permis, soit L = ô une des équations de condition données. Les déplacements virtuels satisferont à l'équation
et lors même que L renfermerait la variable t implicitement , on ne la ferait pas varier dans cette 'équation , puisque les déplacements virtuels se rapportent au même instant*
Si maintenant on désigue par dx, dyy dz, etc., les accroissements infiniment petits que prennent les coordonnées pendant le temps dl dans le mouvement effectif du système, l'équation L = o devant constamment être satisfaite, l'accroissement de son premier membre, après le temps dt, doit être nul, ce qui donne, en supposant, pour plus de généralité, que la variable / y entre expli-
:.''> + lu /lt + ^<lr' + ... = «
Ma
Or ces deux équations seraient et >uuadic mires si l'ou prrlia il
o.i i/j', &jr = ify, Sz = di,.. . ,
ci celle supposition ne sera permise que si 1 on a — = o,
quel que suit t. D'où l'on conclut qu'on peut prendre pour déplacement virtuel le déplacement infiniment petit qiK subissent en même temps les points du système, en continuant leur mouvement, dans le cas seulement où aucnur des équations de condition ne renferme le temps d'une manière explicite.
Supposons donc qu'il en soit ainsi, et, dans l'équation
Mw-t— «
Elle montre que r accroissement de la demi-somme des forces vives de tous les points dans un intervalle de temps infiniment petit, est égal à la somme algébrique des quantités de travail des forces données, développées dans ce même intervalle.
t)7. Lorsque l'expression 2 (Xdx -f- Xdy -\-Zdz) est la différentielle exacte d'une fonction (f de x, y, z, ocf, y1^ 2;, ...9 considérées comme variables indépendantes, on pourra intégrer les deux membres de l'équation précédente, entre deux époques quelconques, et l'on aura
(2) ^ïmv* — \ lmv\ = ? (x, /, z, x',...) — cp (x9J jr9 , z„, x\ , ...).
Ainsi, dans ce cas, l'accroissement de force vive peut se déterminer dès que l'on connaît les positions de tous les points, aux deux époques que l'on considère ; et toutes les fois que le système repassera par une même position, la somme des forces vives redeviendra la même.
Si les forces X, Y, Z sont nulles, le second membre de l'équation (2) est nul, et la somme des forces vives est constante. C'est en cela que consiste le principe de la conservation des forces vives.
68. Si tous les points du système sont soumis à l'action seule de la pesanteur, on aura
X = o, Y = o, Z = — gvftw,
en prenant l'axe des z positifs en sens contraire de la pesanteur. L'équation des forces vives deviendra donc, en désignant par zt le z du centre de gravité du système, et par M sa masse totale :
La somme des forces vives ne dépendra donc que de la
a<> LIVRE II,
laulcur <!u centre de gravité du système; et elle redev !ra la même (unies les fois que ce point repassera pur I néme plan horizontal.
I>9. Lorsque ce système pas.se par une position où il s ail en équilibre si ses points n'avaient aucune vitesse, on
alors
ïm(XJ* -f-Ytfj- +Zis) = o
mur tous les déplacements virtuels. Et comme un nmi .rendre
Sx=d*t Sy = dy, 3t = Jt,
ï(X«fcr-+-Yrf>r + Zrf*) = o,
et, par conséquent, le second membre Je l'équation (a), ayant sa dillérentiellc nulle, sera, en général, maximum ou minimum relativement à toutes les valeurs par lesquelles il passe successivement. Ainsi, la somme des forces vive-niu svslème nblient ses valeurs maxima ou minima, lorsque le système passe par des positions où il serait en équilibre si ses points y étaient placés sans vitesse.
DYNAMIQUE. ÎZJ
supposant attractive,
mm' F. — j — y mm F. - — j~^-~i mm' F. — — 5 et les termes provenant de ces composantes dans
seront
, (*'-*)dx+(ï-r)dx + (z'-z)<iz
Les termes provenant des composantes de l'action de m sur /// seront
, F (x-J)djt + ijr—f)4/+(,-. z') dz'
mm r ,
et, si on les réunit, on a
(*-*')(<*r-<*r') + ( y-y'){dr-dy>)+{z-z'){di -M)
— — m ni T • — ' ' ' ' j. ' ' y
ce qui se réduit à — mnt'Fdf, en ayant égard à l'équation
On aurait trouvé ■+- mmfF .dfdsins le cas d'une action répulsive. Ainsi, tous les termes provenant des actions mutuelles des points seront des différentielles exactes, quand ces actions ne dépendront que de la distance et seront proportionnelles aux masses ; et généralement quand elles seront égales et opposées.
Nous avons démontré précédemment qu il en était de même pour toutes les forces agissant vers des centres fixes proportionnellement à une fonction de la distance seulement.
Mais le théorème n'aurait plus lieu s'il existait des ré-
