LIVRE
ilieux uu de frottement : les forces X, Ï^Z lors soit des composa n tes de la vitesse, soit contre les surfaces ou les ligues qui pro-
< ■meut, et
•LlXrix + Ydy + Zdi)
ne d i lie renli elle exacte.
,i que la différentielle — mm'F/if, qui se Utcactions mutuelles, est négative si df esi ithe sî iff est négatif. Donc les attractions dent un accroissement dans la somme an nul les point! se rapprochent, et une dimils s'éloignent. De même, si les actions sont amrae des forces vives croîtra si les points décroîtra s'ils se rapprochent.
71, La somme des forces vives n'est pas altérée parle oc des points du système entre eux, lorsque les corps qui choquent repassent après la compression par les mêmes ils que pcnd.mt qu'elle s'opérait, et que la force répulsive "\U l'vi'i crut l'un sur l'autre est la même pour les t-lais
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D'après le principe de d'Alembert, que nous avons démontré applicable aux forces instantanées (n° 43), il devra y avoir équilibre entre les forces de choc, qui sont deux à deux égales et directement opposées, et celles dont les composantes seraient exprimées pour chaque point par
ebe dy dt
— mATJ — iwA — * — wA ■—-♦ dC dt dt
ou, d'après les notations précédentes, par
/w(« — A), jw(£ — B)t #»(<? — C).
Or, en appliquant le principe des vitesses virtuelles, on obtiendra une équation indépendante des forces inconnues que produit le choc, en prenant pour déplacement virtuel celui qui s'opérera réellement après que le choc sera terminé. En effet, les corps cesseront d'agir l'un sur Pautre lorsque leur vitesse sera devenue la même dans le sens de la normale commune ; donc alors les moments virtuels de# deux forces égales et contraires seront égaux et de signes différents ; il est donc inutile d'y avoir égard dans la somme totale, et Ton aura l'équation
2/it[(« — A) dx •+-(* — h)dy -H(c— C)dz] = o. Or
dx = Adtt dyz=Bdt, dz = Cdt;
donc
1m (ûA-H bB + cC — A' — B* — Q) = o.
Soient
(* — A )*-*-(* — B)* + (c — C)J=«^, d'où
livkk ir.
■cèdent* devient alors
!■'}:= o, ou ï/»r'— lm\'=i Ihhv';
ce qui prouve qu'il y a une perte de force vive égale a l.i somme des force» vives relatives au» vitesses pcidut?. Celle proposition est connue sous le nom de théorème Ar Camof.
L'auteur l'a étendu au cas où les corps qui se eboquem ont un degré quelconque d'élasticité; nuis la difficulté de connaître exactement re degré en rend l'emploi presque i ni possible il;ius l'état actuel de la science. Pour qu'on m pût faire usage avec quelque confiance, il faudrait fairr de nombreuses expérience», dont ou ne s'est pis eucort «cupé.
La perte de forces vives étant ïww' daus le cas Je rorp» sans élasticité, si l'on considère le système itumédiaicaicnt avant et après le choc, les point* n'ont pas changé «rusiblement de position. Eu désignant dooe par jr, y , x, 3? , . . . , les coordonnées de ces points, au moment où le» rorp» viennent en contact, l'équation (a) deviendra, en ayant
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aura
et, par suite,
dt* "•" dfi "^ <# "*" dP dt* "*" ifc*
(ifiil^^ziim ^itii^\
\dt de dt dt* dt dt)
Si l'on désigne par u la vitesse du centre de gravité, par V les vitesses dans le mouvement par rapport au centre de gravité, et que Ton observe que l'on a
d\ ^ d* di
2/W-t-=0, 2lîl7-=0, IllI-r- =0,
dt dt ' dt '
on obtiendra, en représentant par M la masse totale du système,
(4) 2 nu* = 2 /ii V* -+- Bf v'.
L'équation (i) donne ainsi
i2ii,V*-l2V:=^KJ-^)-h?(.r,r, *,*', ..)
74. On peut encore faire, au sujet du centre de gravité, une remarque qui est souvent utile. Le mouvement -de ce point étant le même que si toute la masse y était réunie et que toutes les forces y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes, on obtiendra des propriétés du mouvement du centre de gravité d'un système, au moyen des propriétés du mouvement d'un point matériel sollicité par des forces données.
En considérant en particulier l'équation relative à la
1 il nu puiitL matériel, et employant les méAKS no>
irn-'U-ssu», on obtiendra
1 ri. \1u- = dr, ïX + rfr.ïY-l-rf*, ïZ,
i|iii peut servir, dans bien des cas, à donner imiu*ni IV-spressiou de la vitesse u du centre de graîs allons en faire usage ici pour démontrer une ■ ri'nirm|uable du centre de gravité dnn système. ilioii (i) donne, en y remplaçant 2 /«>■* par sa vamU: Imitation (4),
jrf.Mv
rlfXrf-r + Yrfr-t-Z-fc)
iigne par \, y), Ç les coordonnées par rapport illcles à ceux des x, y, t et passant par le
v du système, on aura
*i +•%, y = /, + •>, ï = ;,-hï,
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Ainsi d'abord, lorsque les équations de condition ne ren- Jermeront pas explicitement le temps, F! accroissement de la demi-somme des forces vives relatives, dans un temps infiniment petit, est égal à la somme des quantités de travail des forces relatives dans le même intervalle*
Rappelons-nous maintenant que les forces relatives se composent des forces données et des forces actives. Ces dernières consistent d'abord dans les forces d'inertie qui seraient développées par chaque point du système, si on le liait aux axes mobiles, et ensuite à des forces perpendiculaires aux vitesses relatives, et dont le travail est, par conséquent, nul.
D'où Ton voit que l équation des forces vives a lieu dans le mouvement relatif , pourvu quon joigne aux forces données les forces cF inertie de chaque point, supposé lié aux axes mobiles, à F instant que F on considère-, ou, d'après les dénominations employées par M. Coriolis, pourvu qu'on joigne aux forces données des Jorces égales et opposées aux forces d entraînement pour chacun des points du système.
Toutes les propositions que nous avons établies sur les forces vives dans le mouvement absolu se trouvent donc applicables au mouvement relatif, au moyen de l'iutroduction de ces forces d'inertie fictives; et il est inutile d'en reproduire les énoncés.
N. B. — Il ne faut pas oublier que dans le mouvement absolu, qui est identique avec le mouvement relatif, les équations de liaison ne sont autre chose que les proposées exprimées au moyen des coordonnées relatives, dans lesquelles on substitue à ces dernières les coordonnées absolues prises dans le système des axes fixes que l'on a choisies; que l'état initial, dans ce système, est identique à l'état initial relatif aux axes mobiles; enfin, que les forces, tant
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données que fictives, que l'on considère dans ce mouvei absolu, sont exprimées au moyen des coordonnées qui s'y rapportent, de la même manière que le sont , au moyen de» coordonnées relatives, les forces réellement donner» el le» forces Actives considérées dans chaque position du syslcmr proposé.
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