APPLICATION DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS AU CHOC
DES CORPS SPHÊRIQUES.
76. Choc direct. — Supposons deux sphères composées de couches homogènes, et dont les centres soient animés de mouvements uniforme» suivant une même droite : si ces deux corps viennent à se choquer, leurs vitesses seront modifiées ; mais leurs rentres continueront a se mouvoir dans un sens ou dans l'autre sur la même droite : nous nous proposons de trouver les formules qui exprimeront, dans tous les cas, leurs vitesses après le choc, en fonction de leurs vitesses primitives.
Nous considérerons les deux cas extrêmes où les corps sont complètement mous, ou bien parfaitement élastiques ; et, pour écarter toutes les difficultés qui peuvent tenir à la forme des corps après le choc, et des mouvements intérieurs qui peuvent y exister, nous les réduirons à deux points matériels; nous supposerons que, quand ils se trouvent à une très-petile distance l'un de l'autre, il s'exerce entre eux une force répulsive qui ne sera fonction que de la distance dans le cas des corps parfaitement élastiques, et qui, au contraire, dans le cas des corps mous, deviendra nulle après un certain degré de rapprochement.
Rapportons la position des deux points à une origine fixe, prise sur la ligne du mouvement. Soient x, aé les abscisses de ces points; m, m' leurs masses, v, f/ leurs vitesses avant le choc *, V, V leurs vitesses après le choc. Ces
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c'est-à-dire si les quantités de mouvement sont égales, et les vitesses de signes contraires.
On vérifierait facilement que la somme des forces vives après le choc est moindre qu'avant le choc, et que la différence est la somme des forces vives correspondantes aux vitesses perdues.
2° Si les corps sont parfaitement élastiques, la somme des forces vives n'a pas été changée par le choc, et l'on a, par conséquent,
Les équations (1) et (2) déterminent V et V au moyen de v , \J .
Si on les met sous la forme
m (V— p) = «'(• — V), m (Va— p») = /w'(p" — V"),
on trouve, en les divisant membre k membre,
V + p = Y' + »/, ou
ce qui montre que les vitesses relatives avant et après le choc sont égales et de sens contraires. Les équations (1) et (3) donnent
(m — m')v -f- 2/wV
v ~ IL .' .../ »
I (/71'-/W)P'+2*ÎP
Si les masses des deux corps sont égales, ces formules donnent
V = p', V SB P,
i38 livre u.
c'est-à-dire que, dam ce cas, les deux corps échu tigem n
jours leurs vitesses.
Si l'un des corps est en repos, par exemple celui dont I.
' {{iic le rorps en mouvement sera réfléchi s'il s une ilus pi'lileipje l'autre et continuera, au contraire, uvemeiil dans le même sens s'il a une m .■ se plut Dans l'un et l'autre cas, sa vitesse relative *cn inmie il résulterait de l'équation (3), in avait, en outre, m ~ m', on trouverait
Le corps immobile ayant pris la vitesse de l'autre serait île même réduit au repos s'il rencontrait un autre corps élastique de même masse et sans vitesse, et ainsi de soi le. (le résultat se vérifie facilement et l'expérience en est faite dans tous les ( lours de physique.
UYHAM1QUE. l3o,
stantanées, nous pouvons calculer d'abord les vitesses résultant de leur action sur le système qui ne serait animé que des vitesses suivant OC; puis les composer avec les vitesses dont les directions sont dans le plan tangent.
Nous allons donc considérer d'abord les deux sphères m, m! en mouvement suivant la même droite OO* et se rencontrant avec les vitesses respectives N, N. Nous nous bornerons encore à traiter deux cas distincts : savoir ceux où les deux corps sont entièrement mous, ou parfaitement élastiques.
i° Si les deux corps sont mous, les deux forces normales leur donneront une vitesse commune u suivant OO7, et sa
valeur sera
wN + w'N'
les quantités N, N', v étant considérées comme positives dans une des deux directions sur la normale et négatives dans l'autre. Outre cette vitesse commune, les deux sphères ont encore respectivement les vitesses T, T* perpendiculaires à ocy.
2° Supposons maintenant les deux corps parfaitement élastiques et animés seulement des vitesses suivant la normale. Us se meuvent alors suivant la ligne des centres avec les vitesses N, N', et auront après le choc des vitesses u, v dont les expressions, tirées des formules (4), seront
(«-w')N + 2rt;
Ces composantes suivant la normale, jointes aux composantes T, f dirigées dans le plan tangent, feront connaître la grandeur et la direction des vitesses après le choc.
