Cimsid
tous un corps solide dont la forme cl la cira-
silé eu eliiicu
it de ses points sont données, t-t qui est lié
invariablemen
i avec un axe fixe, autour duquel il peut
tourner libren
ient. Tousses points, ou seulement un noia-
bre fini d'entre eux, sont sollicités par des forces donnv»:
El il s'agit de
■ (éiL'rminer le mouvement de ce corps, soit
que l'on dûnli
■ les vitesses initiales de ses points, «oit qtic
l'un connaisse
seulement les forces instantanées qui les ont
produites.
Si les forées
données ne sont p.is comprises dans des plant
pnrpeodiculaïi
■es à l'axe de rotation, on peut toujours les
.!„... .],.,.> 1'™ ,„;. n...ilAi. & —» — ..
DYNAMIQUE. lfô
pour l'élément dont la masse est dm et les coordonnées x, y9 z \ mais il vaudra mieux, dans le cas actuel, considérer les deux composantes, tangente et normale : la première est celle qui donne l'accroissement de vitesse, la seconde est la force centripète et se trouve^détruite par la résistance de Taxe, puisque chaque point décrit un arc de cercle dont le centre est sur cet axe. On peut donc se borner à considérer la première de ces forces, qui est tangente à Tare décrit, et
représentée par — dm, en désignant par v la vitesse et par
dm la masse de ce point Si Ton désigne par r la distance de ce point à Taxe, et par 0 l'angle formé par denx plans passant par l'axe, dont l'un soit fixe, et l'autre lié au corps, et mobile avec lui, on aura
dO dv d2B
v = r — » et, par suite, —? = r — .. dt r dt dt*
La vitesse sera alors considérée comme positive lorsque l'angle 0 croîtra, et la force sera positive quand elle tendra à faire croître cet angle. Or la condition d'équilibre d'un corps solide autour d'un axe fixe consiste en ce que la somme algébrique des moments des forces par rapport à cet axe soit nulle, en considérant comme positifs les moments des couples qui tendraient, par exemple, à augmenter l'angle 0, et comme négatifs ceux qui tendraient à le diminuer. Si donc on désigne par P Tune quelconque des forces données, et par p sa distance à l'axe, l'équilibre entre
d2 9 les forces P et les forces — /• -^ conduira à l'équation suivante :
1 Pp — 1 r2 — — dm = o,
r dt2
les sommes se rapportant à tous les points du corps.
Dans le dernier terme de cette équation , le facteur
i.ivriB u.
vn dehors du signe S, et <
terme devient
nie deviendra •loin
dt>
, les moments des forces données varieront m du corps; si ces forces ne dépendent pas is moments seront des fonctions ronnues de mit r équation (i), on aura $ en fonction def Mantes arbitraires. Ces eonstanles seront déliât' suite aussi, le mouvement de tous les
is, si l'on Tournât les valeurs de 0 et — rettt
i est-à-dire la position ella vitesse angulaire
immeucement du mouvement.
ilt l'intégration de l'équation (i) repiésen-
! membre par y (9), elle devient
DYNAMIQUE. l45
Si l'on peut effectuer cette quadrature, on aura t en fonction de0; et la constante qui s'introduira sera déterminée en exprimant qu'on a à la fois
Si les forces données sont telles, que l'équation des forces vives ail lieu, elle conduira immédiatement à l'équation (2), parce que la vitesse d'un point situé à la distance r de Taxe
dà étant r -—* la somme 2 rm>* aura pour expression
dt
, c/0* dV
Imr* -r- • ou -7— 2mr*.
dt* dfi
Exprimant ensuite le second membre de l'équation des forces vives en fonction de la seule variable 0, ce qui sera
(d9\* — J en fonction de 0 , et
l'on trouvera ainsi l'équation (2).
83. Considérons en particulier le cas d'un corps pesant qui peut se mouvoir autour d'un axe horizontal, que nous prendrons pour axe des /, Taxe des % étant en sens contraire de la pesanteur. Nous considérerons l'angle 0 comme formé par le plan qui passe par Taxe fixe et le centre de gravité du corps, avec le plan vertical YZ; et nous supposerons que cet angle croisse en allant de Taxe des z positifs vers l'axe des x positifs, c'est-à-dire dans le sens que nous sommes convenus de choisir pour celui du mouvement direct. Le moment relatif à l'élément dm sera gxdm% car il tend a augmenter l'angle 0 quand x est positif, et à le diminuer quand x est négatif; l'équation (1) deviendra donc
rf*0 glxdm
~d? ïr7dm*
ou, en désignant par xt l'abscisse du centre de gravité du IL 10
m est de même forme que celle qui détermiue- L'inenl d'un point ma 1er tel autour de l'origine i \Z. Si Ton désigne par R la distance de ce i I 'origine, ou la longueur de ce pendule simni pour l'équation de son mouvement.
so déduirait de la précédente, en supposant itué" à une dis
DYNAMIQUE l47
venons d'indiquer généralement du principe dea forces vives. On a alors
X = o, Y = o, Z = — gdm9
pour les composantes de la force appliquée à un élément quelconque dm de la masse; l'équation des forces vives devient donc
C désignant «ne constante arbitraire. Mais, en représentant par *t le s du centre de gravité du corps, on a
Izdm = M*, = M/ cosG.
Si Ton détermine la constante par la condition que les va-
ck
leurs initiales de 0 et de — soient 0O et o>, F équation précé-
dente deviendra
(*) --i^(cosO cosG.)+^
ce qui n'est autre chose que l'intégrale première de l'équation (3). Le calcul s'achèverait comme dans la théorie du pendule.
Si Taxe fixe était incliné à l'horizon, une simple décom* position de la pesanteur ramènerait au cas que nous venons de considérer où Taxe est perpendiculaire à la direction des forces.
85. Un corps solide qui oscille autour d'u.n axe horizontal se nomme un, pçndylv composé j ce que l'on appelle sa longueur, c'est celle du pendule sjinple dqpt le mouvement est le même. Ainsi la longueur du pendule corn-
. ,j . , 1 r*dm ,„
pose que nous avons considère est — Elle ne serait pas
io.
iikie il.
changée si f*<
n donnait au corps une nuire position qoel-
l.iqoelle let£r*dm resteraient le* mênv-v
\li<iii'eiiicnl •
l'un corps autour d'un axe, produit un taie fovre imlnntanêe.
m. Nous a
viiris déterminé le mouvement d'un corps au-
Imii-d/un axr
. en supposant que sa position initiale wil r|ue sa vitesse angulaire initiale. Mais si. n
lieu de cette i
quelle vitesse temps l'Mi'èm produit sur ui
itesse, on donne seulement la tm instaiiuoduite, il faudra commencer pardéletniin. t
doit prendre le corps, soumis pendant un liment petit à l'action d'une force qui aurai! i point matériel libre une quantité <I«* DMévfl
Si l'on déc,
impose cette force en deux autres, dont l'une
soit parallèle à l'axe, cl l'autre dans un plan perpendiculaire, CL'EU' iWnièrc produira seule le mouvement. Rcprésentons .sa valeur par P, et par p sa distance n l'axe; lr principe de d'Alembert couduira à l'équation
DYNAMIQUE. l4p
87. Supposons que l' impulsion ail été produite par le choc d'un point ayant une masse ju, animée d'une vitesse v dirigée dans un plan perpendiculaire à Taxe, suivant une droite distante de Taxe d'une quantité/; et admettons que cette masse reste uuie au corps au point où elle le rencontre, et dont nous désignerons par A la distance à Taxe.
Si l'on décompose la vitesse v suivant la normale et la tangente au cercle que décrira autour de Taxe le point où a lieu le choc, la première sera détruite, et l'autre aura
pour valeur — • Représentons par a> la vitesse angulaire
du système après le choc $ la masse fx aura perdu la vitesse
-7- — h a>, et la quantité de mouvement que la réaction du
corps lui aura fait perdre sera p. ( ~- — Aw) : telle sera
donc la mesure de la force instantanée produite sur la masse //: et, comme Faction et la réaction sont égales, ce sera aussi la mesure de la force instantanée qui a agi sur le corps donné. On rentre donc dans le cas précédent et Ton aura de même
uA(4 /i» ) = «ïr'rfw; d'où w = — r-
fA«/
lr*dnt
Le dénominateur est le moment d'inertie du système composé du corps donné et de la masse qui s9 est unie à lui. Si donc on entend que la somme 2 s'étend à leur ensemble, on écrira simplement
lr*dm
Si, au lieu d'un seul corps, on en supposait un nombre quelconque dont les masses fussent p, fx\ f/, etc., les vitesses *>, ^, ^, etc., et les distances des directions de ces vitesses à l'axe f,J'iJffy etc. , et que tous ces corps vinssent
l5(J LIVRE H.
clioijutr le premier au même iiisiant, en se nf unissant à lui, \Tldm '
apportant il tous ces corps réunis
