DES MOMENTS D'INERTIE
88. La détermination du mouvement d'un corps exige, comme nous venons de le voir, la considération de certaines intégrales définies prises dans toute l'étendue de ce corps, et dont il est nécessaire d'étudier avec quelque détail les propriétés.
Mais d'abord il faut remarquer que les corps étant composés de molécules séparées les unes des autres par des intervalles extrêmement petits, il n'y a pas rigoureusement continuité dans la matière qui les forme. Néanmoins, tant qu'on ne considère que l'action des forces extérieures, il n'y a aucun inconvénient à concevoir la matière répartie dans la totalité du volume occupé par un corps, de telle sorte que, dans toute partie très-petite de ce volume, et pouvant renfermer toutefois un grand nombre de molécules, il y ail la même quantité de masse qu'auparavant. Celte supposition donnera de la facilité au calcul, et les forces extérieures ne variant pas sensiblement d'une molécule à la plus voisine, il n'en résultera aucune différence appréciable dans les actions exercées sur les différentes parties du corps.
89. On appelle moment d'inertie d'un corps par rapport à une droite, la somme des produits des masses de tous ses éléments par le carré de leur distance à cette droite. Si on la prend pour axe des r, le moment d'inertie a pour expression
UÏ*E 1|.
dm ri
;itj t h triage de 1 élémi-iu dont les toordoimccs mm
;. ci l' intégrale s'étendant à toute la masse De
même
, les moments d'inertie par rapport aux axes des y cl
.lus r
ont pour impressions
If*' -t-*')</m, 1 [y- -+- s' i <**.
Connaissant le moment d'inertie d'un corps par
rsppo
it à une droite, il est tacile de l'avoir par rapport »
toute
nuire droite parallèle.
En
ell'el, prenons !a première pour axe des Z, et faison»
passe;
le plan des z, x par U seconde.
Soi
2ii t (i la distance des deux droites, et M la niasse Jn
corps,
Désignons par MA* son moment d'inertie par rapport
h l'nxi
;des =. Celui qui se rapporte à la parallèle aura DOtU
Mpre
mon
•— n)' -j-y')diu ■= ï(j' +y~-)ilm — lalxdm •+■ Mr.'.
i désignant par Jfi L'abscisse du centre de gravité.
M{i'-ha')~iaK^.
Si le (entre de gravite se trouvait sur l'axe des a\ oa
DYNAMIQUE. l53
On en conclut encore que de toutes les droites parallèles à une direction donnée, celle par rapport à laquelle le moment d'inertie d'un corps est le plus petit, est celle qui passe par le centre de gravité.
92. Cherchons maintenant l'expression du moment d'inertie d'un corps par rapport à une droite quelconque AS menée par l'origine et faisant les angles a, 6, y avec les axes de coordonnées. On en déduira facilement le moment d'inertie par rapport à une parallèle à celte droite, c'est-à-dire par rapport à une droite quelconque de l'espace.
Soient .?, js z (fig. 7) les coordonnées du point M du corps, et dm la masse de l'élément dont ce corps fait partie. Abaissant MP perpendiculaire sur AS, on aura
MP = AM* — ÂP* = x2 + y* 4- *' — (zcosa4-,jrcos6 4- *cbS7)%
ou, en observant que 1 — cos* a = cos* S -f- cos* y,
MP = *' (cos' 6 4- C0V7) 4- ^(cos* a 4- cos* 7)4- 5a(cos*a 4 ces' 6)
— lyz cos6 COS7 — 2 x* cos a COS7 — 2 xy cosa cosê == (y2 4- z%) cos* a -4- (z2 4- x2) cos'6 4- (x* 4- y2) cos*7
— lyz cosê COS7 — 2zx COS7 cos a — 2 xy cosa cos 6.
Si Ton désigne par p. le moment d'inertie du corps par rapport à AS, ou SMP dm, et qu'on pose
v [y + ,jj dm = A, 2 (z2 4- x2) dm = B, 1 (x2 4- y2) dm = C, lysiiéii =1 D, Ixzdrn = E, Ixydm = F,
on trouvera
ijx = A ros'a 4- Bt os26 4- Ccos7y — 2DcosG COS7 — 2 E cos a COS7 — 2F cosa cos5.
1 54 ui**« ni
A, l> C, 1), E. F set oui des contînmes délcrmiiièes ytt L nature du système Jonné. et ■ position par rapport am axes. Les Hoir, premières sont les niomtiili tijurrii.; pu rapport à ces axes. Si tuaiulcnant un porte sur AS mÉfllnn
yueur AIN = -j=i et qu'on fasse la mi-nu- construction pour
toutes les directions que peut prendre AS autour du UQ$Nt A, le lieu des points N sera une suifure entièrement fermée, puisque AS a toujours Une valeur réelle et finie. Pour en avni i- l'équation, on désignera par x, y, z les coonloimê"
y yp , eOS S =
J-Vf.
■cèdent* qui donne la , y, jj. au moyen de H
o»7t= = v^„ alem de u. devient.
-t- Ci' — a Djï — 2 ft» — a Fxr kC une surface du second degré dont
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de l'ellipsoïde, et l'on aura par conséquent
ou
lyzdm =r o, Ixzdm = o, TLxyém = o.
Donc il existe toujours un système d'axes tels, que ces trois intégrales soient nulles, quelle que soit la forme du corps, et lors même que l'on supposerait un nombre quelconque de corps séparés les uns des autres. Ce système, étant celui des axes de l'ellipsoïde,, sera unique si ces axes sont inégaux. Si d'eux d'entre eux sont égaux, l'axe perpendiculaire sera inyariable, mais les deux autres seront deux droites rectangulaires quelconques, situées dans le plan des deux axes égaux. Enfin, si tes trois axes sont égaux, tout système d'axes rectangulaires passant par le même point jouit de la même propriété. On a donné à ces directions particulières le nom d'axes principaux d'inertie du corps.
Si nous désignons par A, B, C les moments d'inertie du corps par rapport à ses axes principaux, ou, en d'autres termes, ses moments d'inertie principaux, l'équation (a) de l'eUipsotde central deviendra
93. Le moment d'inertie fi par rapport à un axe quelconque passant par l'origine, et faisant les angles a, 6, y avec les axes principaux, sera donné par l'équation (i), dans laquelle on fera D = o, E = o, F = o. On aura ainsi
fA = A côs'a -hBcôs*$-hCco5*7.
Le second membre est évidemment plus grand que ia plus petite des trois quantités A, B, C, et plus petit que la plus grande. Ou en conclut que le plus petit et le plus grand des moments principaux sont aussi le plus petit et le plus
t58 i.ivai h.
ytî. Le- axes principaux d'inertie relatifs au c-eoire gravité d'un corps, jouissent de la propriété rcmarqu d'être des axes principaux relativement à un quelconque leurs points, cl d'avoir pour conjugués des axes parallei ceux qui se rapportent au centre de gravité.
En effet, ronsidérons l'un quelconque des trois, par exemple l'.ixe des Z, et transportons l'origine en tin quelennque de ses points, dont le z soil ft; il suffira de poi
Or on .n, par hvpothèse,
L>;-/w = 0, ï.rsrf« = o, îq dm = u
L/S.//M =lj-',lm +■ t>Zj dm = ï/ï'rfui; tlmv
z>V<ftii =o,
Dnnr les parallèles aux Irais axes principaux relatifs > centre de gravité, menée» par un point quelconque de Foi
-M, ne de Je*.
DYNAMIQUE. l5?
conséquent, on devra avoir
xtr->') (» — «') rfw = o,
2(« — *') (* — x')dm=zo, 2(x — *')(/ — /)dmz=Oi
or on a, par hypothèse,
lyzdm = o , Ixzdm = o , Ixydm = o, Ixdm =o, Ijrf/w = o, Izrf/w =ro.
Les équations précédentes deviennent donc, en désignant par M la masse totale du système,
M/*' = o, M*V = o, Mxy = o;
ce qui exige que deux des trois quantités a/,/', s' soient nulles. Soient x'^=o, j'=o, les moments relatifs aux nouveaux axes seront (n° 90)
A-+-M*", B-f-Mz'*, C.
Il ne reste plus qu'à exprimer que ces trois valeurs sont égales y ce qui exige que Ton ait
Ainsi, deux des moments principaux relatifs au centre de gravité doivent être égaux, et les points cherchés, s'H y en a, seront nécessairement situés sur l'axe correspond dant au troisième moment. Mais, pour que zf soit réel, il faudra que l'on ait C > À ; ainsi, on a cette dernière condition, que ce troisième moment soit le plus grand. Quand toutes ces conditions seront remplies, on aura deux points qui satisferont à la question ; ils seront situés sur Taxe du plus grand moment, de part et d'autre du centre de gravité, et à une distance de ce point égale à
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