AUTOUR D'UN AXE FIXE

101 . Centre d'oscillation. — On nomme centre d'oscillation d'un pendule composé, tout point faisant partie de ce corps ou lié invariablement à ce corps, dont le mouvement est le même que s'il était isolé et obligé de se mouvoir autour du même axe par l'action de la pesanteur. D'après cela, tous les points de la droite menée parallèlement à Taxe, à une distance égale à la longueur du pendule, c'est-à-dire à

(n° 83)? et située dans le plan qui passe par l'axe et

le centre de gravité du corps, seront des centres d'oscillation. Quelques auteurs appellent plus particulièrement centre d'oscillation celui de ces points qui est situé sur la verticale qui passe par le centre de gravité.

Si nous désignons par MA* le moment d'inertie du corps par rapport à une parallèle à l'axe menée par le centre de gravité, nous savons qu'on aura

2/??ra=M(*,-f-/J).

A2 La longueur du pendule sera donc /H — - ; et les centres

d'oscillation seront plus éloignés de l'axe de suspension que

le centre de gravité, d'une quantité égale à -—•

Les distances du centre de gravité à l'axe et à la ligne de6 «entres d'oscillation, donnant pour produit A', il s'ensuit

■ Ci

uvnE El.

ni ii ccilc dernière pour iStfitt, la première

ibviriulnii 1»

ligne des centre* d'oscillation. La longui-w ail donc la même qu'auparavant, et son mou-

vc-nieiit serait i

di inique. Il en serait encore de même si l'ou

prenait pour a

située à la jnèt

/' ne changera

En générai,

xe de suspension toute autre droite ]w»rallèlr un distance du centre de gravité, puisque/ ci ienl pas.

le mouvement sera le même autour de loua

les ases qui do l'oll désigne |)l île gravité, par li'S axes prinei

nnerontU même longueur au pendule. Si n /la distance d'un axe quelconque au centre a. S, y les angles que sa direction fatl awe paur relatifs à ce point, et par A, 11, C In

moments d'in*

nie par rapport à ces ases, on aura

&'= Acos'a-H Bcos' e + Ccos'v,

rt la longueur

' -+- — du pendule sera

, A cos'a-l- Bcos'S-t-Ceos'Y

Or, cette Idngi

reur penl rester la même pour une induite

DYNAMIQUE. l65

courte lorsque Taxe de suspension sera parallèle à Taxe du plus petit moment d'inertie relatif au centre de gravité; et sa distance k à cet axe est égale à la racine carrée du rapport de ce moment d'inertie à la masse du corps.

103. Percussion contre F axe. — La force instantanée qui met un corps en mouvement autour d'un axe fixe, produit sur cet axe une sorte de choc: ou de percussion qu'il est nécessaire de connaître, et qui provient des forces qui se font équilibre au moyen de sa résistance. Prenons cet axe pour axe des z ; et pour plan des x et y, le plan perpendiculaire mené parle point d'application de la force. Décomposons cette force en deux autres : l'une, Z, parallèle à l'axe fixe ; l'autre, P, située dans le plan XY, et ayant pour composantes X, Y.

L'équilibre devra avoir lieu entre les forces — X, - — Y, — Z, et celles qui seraient mesurées par les quantités de

mouvement dm -—y dm — » dm — relativement à tous les

dt dt dt

éléments du corps ; et il faut observer que l'on a — = o,

puisque le mouvement a lieu autour de l'axe des z.

Soient x,y, z les coordonnées de l'élément dm, rsa distance à l'axe, 6 l'angle formé avec l'axe des x-par la projection de la perpendiculaire abaissée de cet élément sur Taxe, et w la vitesse angulaire produite. On aura

.v = r cos 0, y = r sin 0, —- = «*;

en diflérentiant par rapport à *, on aura

dx „d§ dy ^€ft

— =• — r sin 0 -— ? -^ = r cos 0 — . dt dt dt dt

pu

dx dy

iGfi

el les tow

LtvriK ii.

mies de la foret appliquée à l'élément dm ja-

rnllèlenir-i

il il

l'axe des .r el à l'axe des j , seront respective-

ment — i

,tyilm el tùxdm.

Si ni. u

H en

anl on décompose le système de ce» force*,

jointes;, -

. — Y, — Z, eu trois forces di ridées suivant let

;.xos lies X,j

, z, et en trois couples ayant leurs axes dam

• es nié me pressions

S .il

■ liions, on trouvera, pour les forces, lesex- X — «Hjr,, -T + .iHr„ — Z,

..-„.>, de.

ligni

mi les coordonnées du contre, de gravité du

corps; 1rs stottB

troi

- i ou pics auront respectivement pourcxptvs-

lm, aZ — »Zf*tm, -aY+bX + -i.r'dM.

n ut b ëio

■s coordonnées du point d'application de 1*

Or. te

den

lier couple est nul de lui-même, d'après li

condition

inilibre autour de l'axe; et les cUbru exercé»

sur l'axe i

iepi

niiiHOiil que des deux autres couples ci do

forces diri

. sut* les trois axes.

deux précédentes indiquent que Taxe des z est un des axes principaux qui se coupent à l'origine des coordonnées. La première des trois autres apprend que la force doit être située dans un plan perpendiculaire à Taxe fixe; et la seconde prouve qu'elle est perpendiculaire au plan passant par l'axe et par le centre de gravité du corps.

Pour connaître la distance a de la force instantanée à Taxe fixe en fonction des données, il faudra, dans la dernière équation, substituer i usa valeur tirée de la troisième, et Ton trouvera ainsi

et si Ton désigne par MA* le moment d'inertie du corps, par rapport à une parallèle a l'axe menée par le centre de gravité, cette équation devient

et par conséquent a est égal à la distance de Taxe fixe au centre d'oscillation du corps par rapport à cet axe.

Ainsi, pour que Taxe n'éprouve aucune percussion, il est nécessaire et suffisant :

i° Que la force soit perpendiculaire au plan passant par Taxe et le centre de gravité du corps;

q° Que cet axe soit un des axes principaux du corps par rapport au point où il est rencontré par le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force ;

3° Que la distance de la force à Taxe soit la même que celle du centre d'oscillation du corps autour de ce même axe.

Cette dernière condition montre que la question proposée est impossible quand le centre de gravité est sur l'axe; car alors la force devrait se trouver à une distance infinie.

h uni mi il- .i[F]jiiijn

sans qu'il en résultât aucun efl que les circonstances que nous a