Si l'on avait seulement
Zxidm =o, lysdr, la percussion éprouvée par l'a passant par l'origine, et qui ser fixe. Dans ce cas, la force instant mouvement initial autour de I fixe. Et il en serait de même si.
on en avait un nombre quelcom car, au moyen du point fixe, tibles à mie seule.
106. Pression exercée sur l'a; ment. — A chaque instant l'équili du principe de d'Alcmbert, prod pressions que l'on calculera comm<
Soient Xdm, Ydm, Xdm les 0 appliquée à l'élément dm ; l'équilib les forces
\dm, Y dm, ï et les forces
île dt1
Si l'on appelle 0 l'angle formé avec Taxe des x par la projection de la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque du corps sur Taxe des 2, et ai la vitesse angulaire, on aura
d'où
x = rcosO, j=rsinô, — = w;
d? J di dt* J dt
Si Ton décompose encore le système de toutes les forces en trois forces dirigées suivant les axes, et trois couples situés dans les plans coordonnés, on aura pour expressions de ces trois forces
d (o iXdm -h o^Mjc, -f- Mj, — »
lYdm -f-w'Mj, — Mot, -A iZdm.
Les moments des couples ayant leurs axes dirigés suivant les axes des x,yy z seront respectivement
1 (jrZ — z Y ) dm — <*7ljrzdm -+- — Ixzdm,
d on
£ (2X — a'Z) dm -f- ^ Ixzdm -f- — - lyzdm,
2(*Y — /Xjdw- — i^dm.
Ce dernier est nul, par la condition d'équilibre; et la pression qui a lieu à chaque instant sur l'axe est produite' par les deux autres couples et par les trois forces appliquées à l'origine.
107. Axes permanents de rotation. — Supposons que le corps solide, au lieu d'avoir un axe fixe, n'ait qu'un seul point fixe, et qu'on Tait choisi pour origine. Supposons dp
IJO LIVRE 11.
plus qu'aucune force extérieure ne sollicite le corps, et proposons- nous de déterminer les coudilious pour que le mouvement, ayant commencti amour de l'axe de» z. eonlinui; comme si cet axe était fixé invariablement.
Il est évident qu'il suffit pour cela que tomes le* force* que l'axe fixe devrait détruire, se trouvent détruites par le poinl lixe seul. Or, ce point détruit les trois composantes qui y sont appliquées, il suffit donc que les deux premier) roupies .soient nuls séparément; ce qui donne zxzdm =1 o, ijidm = o.
Il est donc nécessaire et suffisant que l'axe des z soil un des axes principaux d'inertie qui se coupent au point Gxe.
Ainsi, [oui point lié à un corps solide jouit de 1» propriété que, si ou le rend fixe, et que le corps commence par tourner autour d'un de ses axes principaux d'inertie, relatifs â ce point, sans qu'aucune force étrangère lui soit appliquée, il diminuera de tourner uniformément autour de cet axe comme s'il était fixe. Ces trois axes, considérés sou* cr pninl (le vue, se nomment axes permanents de rotation, relativement au point fixe.
tour de cet axe» Ces droites sont les seules qui jouissent de cette propriété.
Ces trois axes particuliers se désignent sous le nom d'axes naturels de rotation, ou d'axes permanents de rotation relatifs au centre de gravité.
S'il y a des forces réductibles à un couple dans le plan xy, les mêmes conséquences ont lieu-, seulement, la vitesse angulaire varie.
Mouvement initial d'un corps solide, mobile autour d'un point fixe, et soumis à l'action de forces instantanées.
108. Ce mouvement peut facilement être ramené au mouvement autour d'axes fixes. D'abord, quelles que soient les forces appliquées à ce corps, on peut toujours les réduire à une force appliquée au point fixe et à un couple. La force étant détruite, le mouvement sera produit uniquement par le couple. Décomposons ce couple en trois autres > dont les axes soient dirigés suivant les axes principaux du corps, qui se coupeot au point fixe, et que nous prendrons pour axes des x, y, z\ et soient L, M, N les moments de ces trois couples.
Nous savons que les vitesses acquises par chaque point peuvent être obtenues en composant celles que produirait séparément chacun de ces trois couples.
Or, le couple dont le moment est L, étant compris dans le plan perpendiculaire à un axe principal, relatif à son point de rencontre avec ce plan, produirait un mouvement
autour de cet axe, et sa vitesse angulaire serait égale à — »
À étant le moment d'inertie du corps par rapport à cet axe, sur lequel on compte les x (voir n° 86).
De mémo, si Ton désigne par B, C les moments d'inertie relatifs aux axes dvs y et des z, les deux autres couples pro-
l-l'J. LIVRE 11.
duiraient îles mouvements de rotation autour de ces «w, dont les vitesses angulaires seraient respectivement -=>> — Ainsi, en représentant ces trois vitesses angulaires par
Or, iinus ;
'lis démontré que ces trois mouvements m poser d'après les régies relatives aux mou' niques. Il en résulte doue une rotation égale •■•"-. autour d'un axe dont la direction fera, . d<s coordonnées, des angles «, ë, y Junt les il proportionnels à eu, ni', eu.", us maintenant l'ellipsoïde central dont l'éqi
ITft-
le»
angles que fait ayant pouréqu;
— sont proportionnels aux cosinus c les axes le diamètre conjugué du pi
la-
