MOUVEMENT D'UN CORPS SOUDE AUTOUR D'UN POINT FIXE
109. Le problème dont nous allons nous occuper mainte* nant, peut s'énoncer ainsi : Un corps solide, ou un système rigide quelconque, lié à un point fixe, étant sollicité par des forces données, et partant d'un état initial connu, déterminer à chaque instant la position de ses différents points.
Pour cela, nous choisirons trois droites rectangulaires passant par le point fixe et liées invariablement au corps; la question sera ramenée à la détermination du mouvement de ces trois droites-, et leur position se déterminera, comme nous l'avons déjà vu dans les préliminaires, soit par les angles que chacune d'elles forme avec trois axes rectangulaires fixes, soit au moyen de trois autres angles seulement, ce qui sera plus avantageux.
D'après le principe de d'Alcmbert, on obtiendra toutes les équations nécessaires à la détermination du mouvement, en exprimant qu'il y a équilibre à chaque instant entre les forces données et les forces d'inertie du système, considérées comme appliquées à ses points mêmes.
On trouvera ainsi, comme on le sait, six équations, exprimant que les sommes des composantes de toutes ces forces, ainsi que de leurs moments, par rapport à trois axes rectangulaires, sont nulles. Ces trois axes peuvent être choisis à chaque instant, dans une position arbitraire. Les six équations que nous rappelons, exprimeront toujours l'équi-
i^4 ti»»i ii-
librc qui (luit avoir Heu, cl seront toujours exactes par conséquent : ainsi, par exemple, îl est permis de considérer .< chaque instant lus axes liés au corps, ei de prendre les composantes îles forces, parallèlement à ces axes, et leurs moments par rapport à ces meutes axes. Les six équation; obtenues ainsi, détermineront certainement le mouvement. ■ C'est ht marche que nous suivrons. Elle conduit facilement aux équations : mais comme les quantités qui y entrent dépendent de la position des axes mobiles, il restera à faire des transformations propres à déterminer les positions par rapport à des axes fixes.
1 10. Composâmes île la force d'inertie pour un point tptch-onr/iir. — Ces composantes rapportées à l'unilé de masse sont, au signe près, celles de la lorec accélératrice qui produirait sur le point libre le mouvement qu'ils ; ces dernières sont, comme on le sait, les dérivées secondes, par rapport au lenips, des coordonnées du point, estimée» parallèlement;'! trois directions invariables quelconques. Nou> choisi] nos pour ces directions celles qu'ont les axes mobiles à un instant quelconque, et que nous considérerons comme
che respectivement m, y, tr, puis qu'on divise les restes par //*, on aura les trois composantes de la force accélératrice suivant X,, Y,, Zt, que nous désignerons par u', */, W* Cela posé, les valeurs de ti, v, -w étant, d'après le n° 49, t. Ier,
(i) a = 7*,— rr„ p=rx, — /»„ fv = /^, — yx„
on obtient, en les différentiant,
du=zzidq—yldrJ d? =2 xtdr— ztdp> dw=yxdp — .r,^/*.
Les quantités
étant connues, et comptées sur les axes X', Y', Z', doivent être projetées toutes les trois sur chacun des axes Xn Y, , Z, ; il faut donc d'abord calculer les cosinus des angles des directions X', Y', Z' avec les directions Xt, Y,, Z,. Or, les cosinus des angles que fait la direction Xt avec les axes fixes X, Y, Z sont
ceux qui se rapportent à la direction X' seront, par suite,
a -+-. day a' -f- da'9 a" -f- da".
On aura des expressions analogues pour les directions Y, , Y / et Zl9 Z'. Il est donc facile de calculer les cosinus des angles des trois premières directions avec les trois autres.
On voit d'abord, qu'en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre, on peut remplacer les cosinus des angles infiniment petits par l'unité; d'où résulte
cosX'X, = 1, cosY'Y, = i, cosZ'Z, = 1.
On trouvera ensuite
cos Y'Z, = (*-+- db)c -+- ( 6' H- db') c' -f- (*" -f- db")S =zcdb + c'db' -+c"db\
i78 iiviib h.
minent /', ij, ' en I ont lion des ;u>gl«* n. />, i, «',.... C«
dernières peuvent s'exprimer m moyen de hois angle
y, 1^1. 0 (ImiiwIhciîoii, n0 2Î). En taîsa»i cette ti-wisïornu-
lïoit, ..il iTumc
rfS . . ^<U ,- = cMç- + S1B?81n9(7r,
7=Binf+CM?S.ne-£.
rseosO -r + -f-
rit (Il
On a ainsi un système de six écjun i ions dilîéremii-ll»^ Ax, premier ordre, qui déterminera Ifs fil I'oik non* />, y, r, y, tp, 6 en fonction de r. Les six constantes arbitraire* le détermineront par les positions et les. vitMse» initiale*.
i'rnpriéli-s <th>cr$es (le ce motwemcnt dans le cas oii il nrxiste pas de farces extérieures.
112. A pphcatioti rltt principe lîes atVes. — lorsqu'un rorps solide est en mouvement autour d'un point ti\r, la
DYNAMIQUE. I jg
constantes, et donnent par conséquent un moment constant dont Taxe a une direction constante. Les forces instantanées qui produiraient à chaque instant sur le corps en repos, dans la position qu'il occupe à cet instant, les vitesses qui ont lieu, sont donc réductibles à un couple qui a toujours même axe et même moment. Cherchons à déterminer cet axe et ce moment.
Considérons pour cela les quantités de mouvement décomposées à un instant quelconque suivant les axes principaux d'inertie sur lesquels se comptent les xA, yx, z,. Les moments des couples auxquels elles donnent naissance auxont pour expressions
• X(Xt* — *xp)dm, Z(*«tf — x,w)dm, l(jctP—ylv)dm;
' substituant les valeurs de m, f, u>, données par les équations (i), on trouvera
i !(ïitv— iit>)dm =£p, (4) X(z,« —xxw) dmz=i B'ç,
\ 2(x,.o — /,«)(ifï=iCf.
Ces quantités ne sont pas constantes, parce que les axes des jCj/i zt ne sont pas fixes ; mais la somme de lejprs carrés est constante, puisque le moment résultant est constant : désignant la valeur de ce moment par fc, on ?ura
Lorsque l'on connaît l'état initial du corps, c'est-à-dire sa position initiale, et les vitesses initiales ou les forces instantanées qui les ont produites, on connaît les valeurs initiales de A.p, B<j, Cr, et par suite de/?, q% r.
Si nous désignons par OK la direction de l'axe du couple résultant des quantités de mouvement, on aura, pour déterminer cette direction par rapport aux axes mobiles,
(6) . cosKOX, = ^, cosKOY, = ?^, cosKOZ,= ^f,
ii»he ir.
* fixes.
Aap-t- Bb<f + Qer
Ai?"/t-f-Bfc"ff -4-Cr*r
Les numérateurs de ces expressions seront constant*, pui' i|ue la direction de OK. est fixe.
Les formules (6) prouverai eu l, si ou ne l'avait iii-jâ (fcnuinlié, que les cosinus des angles que l'a je instantané ùii .ivre X,, V- ?-i sont respectivement de mente signe qi* /'.</, '"■
F.u elle!, les composantes de la rotation instantanée uiivant Ils directions des nxes principaux d'inertie tlu outjm, son l les i ni, nions que produiraient les couples composant' A/'. Ii(/. Cr; elles sont donc de même signe que ces roupies, el par eutiséqueni que p, q, r.
1 13. Application au principe des forces vives. — On
DYNAMIQUE. l8l
masse, on aura la somme h des forces vives à un instant quelconque ; on trouvera ainsi
(8) À/>'-hB?a-|-Cr'=:A.
On voit que si aux deux équations (5), (8) on joignait la
condition que la vitesse angulaire ^ p* -i- q* -h r* fût constante, on aurait entre p, q, r trois équations qui les détermineraient si A, B et C sont inégaux; et Taxe de rotation serait fixe. Dans ce cas, les équations (3) exigent que deux des quantités /?, q, r soient nulles, puisque dp, dq, dr^ L, M, N sont tous nuls. Le mouvement a donc lieu autour de l'un des axes principaux d'inertie, comme il était facile de le prévoir.
\\\. Angle de Vaxe instantané et de Vaxe du couple résultant. — Si Ton désigne par e l'angle de ces deux axes, en trouvera, d'après les valeurs des cosinus des angles qu'ils forment avec X,, Y,, Zt,
cost = —
ou
Cette équation donne
cos c = — •
et démontre cette propriété remarquable, que la vitesse angulaire instantanée donne une composante constante par rapport à l 'axe du couple résultant, qui est celui du maximum des aires, ou du plan invariable.
H5. Position de l'axe instantané par rapport à V ellipsoïde central. — L'équation de l'ellipsoïde central étant
18 • LIVBE II.
lus cosinus des ingles que la normale au pirint quehonqu* ■J^r, z, fait avec les axes mobiles, sont proportionnels au* qu&ntUésAx,, 15r„Cz,.
Mais lis cosin.ua qui se rapportent à Taxe du couple ré- Cr. Ces deux droites
[K sont proportionnels à A/>.
,,|-..,,.!,..:;i dont
i c'est-à-dire iî
.■ ravon (Je 1 i llinsoide mené au point x, i , -, se confond vee l'axe instantané de rotatioD ; d'où résulte cette propolinn. qui se trouve, ainsi que la précédente, dans le Mcloirc iIl* M. ■■ ■u — t sur la rotalïou des corps : Si l'on mène à l'ellipsoïde central un plan tangent tirallèle au plan du couple résultant, le rayon meneau aint de Loniuct est l'axe instantané de rotation.
I M!. Vitesse angulaire en fonction du rayon de l'ctltpoulc. — Les coordonnées du pôle de rotation sur l'ellipnidc ici itral, < est-à-diredu point où cette surface est peréc par I as*' instantané, étant proportionnelles à p,tj,r, h i les égalités suivantes, dans lesquelles R désigne la loniii'in du r.ivnti de l'ellipsoïde, cl P la perpendiculaire
DYNAMIQUE. l83
L'équation w = Ry/Â fournit d'abord celle-ci : - La vitesse angulaire est proportionnelle à la longueur du rayon de l'ellipsoïde, autour duquel a lieu la rotation instantanée.
L'équation P = — prouve que la perpendiculaire abaissée du point fixe sur le plan qui touche l'ellipsoïde au pôle de rotation, est constante. Or, ce plan est d'ailleurs parallèle au plan fixe du couple résultant; donc il est constant de position. D'où se déduit cette autre proposition :
L * ellipsoïde central reste constamment tangent au plan mené parallèlement à celui du couple résultant, à une
distance égale à —- Son point de contact esf le pôle de
rotation, et, par conséquent, na aucun mouvement de glissement sur le plan fixe.
Cette propriété donne une représentation géométrique très-nette de la marche suivie par le corps.
117. Courbe des pôles. — D'après ce qui vient d'être dit, si l'on conçoit un plan qui se meuve en restant tangent à l'ellipsoïde central et à une sphère concentrique
ayant pour rayon ~- i le lieu de ces points de contact avec
l'ellipsoïde sera la courbé des pôles; elle sera symétrique par rapport à deux des plans principaux, et sera déterminée par rapport aux axes principaux du corps par les deux équations
d'où Ion tire la suivante :
(9) A(*» — AA)*ÎH-B(iH— BA)7; + C(X«-C4)»î=of
l84 LIVRE II.
ùijuaLiiJTi il un cône du second degré ayant ses axer» principaux dans la luèmc direction que ceux de l'ellipsoïde, et qui est le lieu des axes instantanés, relativement au corps. Pour reconnaître l<; sens de ses deux nappes, soient A le |ilu> grand moment d'inertie, et C le plus petit. On trouver* facilement
-AJH,
