CA

— AA<o et *'-CA>o.

immédiatement ces deux inégalités en ob- (st le carré de la distance dn centre an plan i x1y,zt de l'ellipsoïde; d'où il nSulie

Si k* est égal à une des trois quantités A A, BA, CA, te cône se réduit à un plan; mais si A, B, C ne sont pas tous trois égaux, on a nécessairement

*»— -AA<o et X» — C/*>o;

donc c'est seulement A1 — B/i qui peut être nul, et dans ce cas le lieu des axes instantanés a pour équation

£Î __ C(t'—Ch) __ C(B — C) z\ ~ AlAA — A1) "~~ A(A — B)'

C'est l'ensemble de deux plans passant par l'axe jr* qui est celui du moyen moment d'inertie; ils coupent l'ellipsoïde suivant deux ellipses qui sont le lieu des pôles, et, par conséquent, jouissent de la propriété que la distance du centre au plan tangent à l'ellipsoïde en un point quelconque de ces ellipses est constante; cette distance est évidemment la longueur du demi-axe moyen de l'ellipsoïde.

Si A1 — BA est positif, le cône entoure l'axe des x, et l'équation (16) donne

donc toutes les génératrices situées du côté des zx positifs sont au-dessous des deux ellipses précédentes. Si, au contraire, A1 — BA est négatif, elles sont au-dessus. De sorte que ces deux ellipses partagent l'ellipsoïde en quatre fuseaux tels, que quand l'axe instantané se trouve, à une époque quelconque, dans l'intérieur de l'un d'eux, il y reste toujours et se meut autour de l'axe principal situé dans ce même fuseau; et s'il se trouve dans un des plans qui les séparent, il y reste constamment.

On remarquera que s'il y a deux axes presque égaux, l'un des fuseaux devient très-étroit, et la courbe des pôles, tout en ayant une grande étendue dans son fuseau, pour-

tSG 1.1 VUS II.

rail passer ttès-près de l'extrémité ilu petit ou du graaA axe ; il n'y a donc pas toujours stabilité pour l'axe instantané loi'Sfjuc dans l'état initial il est uès-voista de l'air prim ijial du plus petit ou du plus grand moment d'inertie; nuis, s'il n'y a pas deux aies presque égaux, cl que l'a te instantané soil très-voisin du plus petit ou du plus grand. il s'en éloignera trot-peu dans tout le cours du mou te-

S'il est d'abord voisin de l'axe moyen, la courbe des pôles s'éloignera toujours considérablement de l'extrémité de cet axe, el la stabilité n'est plus démontrée. Il faudrait pour cela que le pâle ne parcourût pas toute la courbe, <i eela demande examen.

La courbe des potes étant tracée et la vitesse initiale df rotation étant connue, ainsi que Taxe instantané autour duquel elle a lieu, on peut se représenter ('ncilotncnt h mouvement indéfini du corps. Eu euel, après un l*nip« infiniment petit, un saura de quel angle le corps auta tourné: ou sautait dont déterminer le point d« la courbe de |->hqui devient le point de contact avec le plau fixe; ou connaîtrait doue le lavon de l'ellinsolde. et. mu- suite, la non*

qu'elle sera toujours tangente à la surface conique liée au corps, et qui est le lieu des positions de Taxe instantané dans le corps. En effet, Taxe instantané sera k chaque instant sur ces deux surfaces; elles ont donc toujours une génératrice commune. Au bout d'un temps in6niment petit, une génératrice infiniment voisine, appartenant au cône mobile, vient coïncider avec une génératrice du cône fixe; et comme dans ce mouvement elle ne se déplace que d'infiniment petits du second ordre, il s'ensuit que si sur les deux cônes on prend, à partir de l'arête commune, deux arêtes correspondantes, distantes de la première de quantités infiniment petites du premier ordre, elles seront distantes Tune de l'autre de quantités du second ordre : d'où il résulte que les deux cônes sont tangents. D'ailleurs le cône mobile ne glisse pas sur l'autre, puisque l'arête de contact est Taxe instantané de rotation. Donc enfin le mouvement du corps peut être produit au moyen d'un cane da second degré lié invariablement au corps , et (foi roule sur un autre cône dont la surface est engendrée par une droite qui tourne indéfiniment en ondulant autour de l'axe du couple résultant.

H9. Lieu des positions successives de l'axe du couple résultant dans Fintcrieur du corps. — Si l'on désigne par &\ )X\ t zi Ie8 coordonnées d'un point quelconque de l'axe 4e te couple par ^rapport aux axes mobiles, on aura les, équations

îi — é£ Il — Ë2. #

z, Cr *, Cr

Les équations (5 ) et (8) conduisent à la suivante

AJ^-AA^-H B{*2 — B h) ç> -h C (XJ — C*) r' ç= o.

Eliminant-? -entre ces trois équations, on aura l'équa-

LIÏBE II.

'i -fliée, qui sera

C'est un l'i'inr du second degré dont les sections perpendiculaires il l'a \l- du plus petit, ou bien du plus grand momerii d'inertie. 5011I des ellipses.

Si B = C, il est de révolution autour de l'axe des x. Si A = B,îl l'est autour de l'axe des z.

Si A = I! — C, on a k* = AA; les équations (5) et (8) sont idtmtiquGJi, ei l'équation qu'on en avait tirée n'«ppruud plus i i'n ■■ mais les deux précédentes deviennent

u l'axe du couple résultant et l'axe instaui se confondent. C'est ce que Ton aurait la formule qui donne l'angle de ces deux le cas où le mouvement a lieu autour d'un

DYNAMIQUE. iSij

On tire encore de ces équations les trois suivantes :

pda -f* qdb -+- rdc = o, pdaï «+- qdb' -f- rdtf = o, pdar+ qdb"-h rdt?= o.