S'il n'existe aucune force extérieure, on a

et les équations (3) se réduisent à

C % = (A - B)pq.

Si l'on multiplie la première par p, la seconde par q, la troisième par r, et qu'on les ajoute, on obtient

dp * dq ., dr

d'où, en intégrant,

(i3) À/^-f-Bf'+CHrrA,

A désignant une constante arbitraire, qui, d'après ce que nous avons trouvé précédemment, est la somme des forces vives du système.

On retrouvera une autre équation déjà obtenue, en multipliant respectivement les équations (ia) par Ap, B47, Cr et les ajoutant. En effet, on trouve d'abord

dp . dq dr

>9" d'où

(i4) \>pi + V>t* + C1r*=A\

A désignant une nouvelle constante arbitraire comme nous l'avons vu, le moment du couple ré quantités de mouvement du système. Ces deux À et A, ainsi que les valeurs initiales de p, q, r, ■ h déduire des données initiales. En effet, la di l'axe du couple résultant et «on moment sont roi que l'on donne les forces instantanées qui produis tesses initiales, soit qu'on donne ces vitesses irn d'abord A est connu ; ses couples composants pa aux axesX,, Y,, Z, , dont la position initiale sont donc aussi connus; et comme leurs mom respectivement Ap, Bq, Ci; 11 en résulte <jue p connus en grandeur et en signe, au conitnenceim vement. Donc aussi, d'après l'équation (i3), la < sera elle-même connue.

Si l'on lire des équations (i3) et (14) les p et q en /■, et qu'on les reporte dans la troisièi lion (ta), on obtiendra une équation qui doi fonction de r au moyen d'une quadrature. Oi d'abord

<(■»— BA-|-C(B— C)rJ

AA + C(A — C)r'

Quant aux signes qu'on devra prendre pour p «ont connus, dms 1 état initial, d'après la positio du couple résultant relativement aux axes priitri sont eux-mêmes connus à cet instant. Les angles que fait Taxe de ce couple avec les trois

, A/> Bfl Cr , . , ,

ant -~ , -j-i —1 les valeurs et les signes de p, q, r sont

mnus à cette époque. Les équations (12) donnent les devers de /?, <7, r eh fonction de ces quantités; elles consermt leur signe primitif tant que py q, r conservent le leur ; ;, par suite, ces dernières quantités varient toujours dans • même sens tant qu'aucune d'elles ne devient nulle. Si, ir exemple, p passe par zéro, la première des équations (1 a)

mnant la valeur de ~ à cet instant, apprend quel va être

signe de p immédiatement après; et Ton raisonnera de èiwe toutes les fois qu'une des trois quantités deviendra ftlle : on n'aura donc jamais d'incertitude sur les signes i p> «7, r.

Lés valeurs dep, q données p*r les équations {t5),4tant portées dans la troisième équation (12% donnent, en sup- Mm t, (pour fixer les idées, que l'on "doive yrendre^e «sème pie pour p et q,

y/Z-a — B^4-C(B — C)ra v/A/* — /a-hC(C — A)r5

mtégrale du second membre ne peut être obtenue gênétafaent; elle dépend des fonctions elliptiques. Elle devient todçrable si deux des trois quantités A, B, C sont égales, j^si k1 est égal à une des trois suivantes A à, BA, CA, et ■as avons vu que ce ne peut être qu'a la tooyânne. En supposant qu'on ait intégré l'équation (16), on aura t fonction de r, et la constante sera déterminée par la va- *" initiale de /•; on en conclura r en fonction de f, atasi * p et 17, d'après les «équations (i5). A ne reste donc plus, pour avoir la solution complète du blême, qu'à connaître les angles f , 0, <p au moyen de ^, r; et nous avons pour cela les tsois équations sui-

i;)/| tlTBE II.

On miiI liuiic que la vitesse angulaire sera confiante, quoique p cl q ne le soient pas; elle aura pour valeur

nions (i3), ■r..i auraient donné les mêmes résuln avoir p en fonction de t, ou éliminera q entre tions (k), (6),. en difl'érentiant la première et y

ant pour -^ sa valeur tirée de la seconde.

A— C trouve ainsi, en posant — - — = p,

p =M sin(finn-t), l'Uni l Jes ronstantes arbitraires; on aura, par suite.

lal,. Pi,

le* eau.

DYNAMIQUE. I«j5

m, puisque Ton connaîtra son sinus et son cosinus. Le changement de signe de m ferait seulement varier e de i8o°; ainsi on sera libre de prendre pour m le signe que Ton voudra ; nous choisirons, par exemple,

Cherchons maintenant les angles <p, tp, 6. I<C9 équations (18) donnent

* Cn P

cos6=: — > taog^ = - =3 tang(p*r -4-c).

Deux arcs qui ont même tangente ne peuvent différer que par un nombre entier de demi-circonférences. Donc f et yjit -h s ne diffèrent que d'un multiple de tt, qu'on peut choisir arbitrairement. Introduisant de préférence la valeur initiale <p0 de <p, on aura évidemment

L'équation (19) devient

dû = -7- * dt = — dt,

Y fia— C"n» A '

et donne

tp0 étant la valeur initiale connue de tf.

La valeur constante de cosfl nous apprend que l'aie de révolution de l'ellipsoïde central décrit un cône de révolution autour de Taxe fixe du couple résultant, et que, par conséquent, le plan de l'équateur conserve une inclinaison constante sur celui du couple résultant.

La valeur de <f montre que la trace de l'équateur de cet ellipsoïde sur le plan fixe du couple résultant se meut

;uiairr uc ix muuteiueui, >|ui *-si pr ire confondue avec la vitesse angulaire du

F.nlîn l'axe instantané fait avec l'axe de;

ni, puisque son cosinus est ■ -:

cercle sur l'ellipsoïde de révolution.

On remarquera, de plus, que l'axe insti île révolution et l'axe ilu couple résultant l ment dans un meme plan. Il suffit de julhi que les cosinus des angles que l'axe instant; couple résultant font avec les axes des x, et portic-Duels ; car alors ils seront dans un pli l'axe des z,, qui est l'axe de figure. Or le rap

premiers cosinus est -; le rapport des deux et, d'après les équations (t8), il est égal

Cas )

trticulier oit AI=B/i.

123. Nous avons vu que, dans ce cas, le l instantanés ue pouvait être que l'une des c dont les plans sont représentés [>ar l'équation

DYNAMIQUE. MQJ

ion de 7, on trouve

= (C B)(/'-,B-*9') (B — A)(*'— By)