SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE D'UN SYSTÈME DE POINTS

126. Lorsqu'un système de points est en équilibre, et qu'on le déplace infiniment peu, d'une manière quelconque, eu l'abandonnant ensuite à l'action des mêmes forces, il arrive de deux choses l'une : ou les déplacements successifs de chaque point par rapport à sa position d équilibre restent toujours très-petits: ou ils peuvent acquérir, au bout d'un certain temps, des valeurs finies. On dit, dans le premier cas, que l'équilibre est stable; et, dans le second, qu'il est instable.

Cela posé, considérons l'équilibre d'un système de points assujettis à des liaisons quelconques indépendantes du temps, et telles, que £ (Xrfx -h Ydy -h Zdz) soit la différentielle exacted'une fonction y (x, y, z, #',. . .).

Nous savons que, dans la position d'équilibre, cette fonction sera, en général, maximum ou minimum relativement à toutes les variables indépendantes. Or nous allons démontrer que, quand elle est maximum, l'équilibre est stable.

Supposons, en effet, un système de points en équilibre, sous Faction de forces X, Y, Z, X', . . . , telles, que l'expression

l(Xdx-\~Yfty-hZdz)

soit la différentielle totale d'une certaine fonction cp(jr, y y s, a:',...) en considérant les variables x, y, s, x',...

ili'iir de c, chacune dea quantités -f*, s"f... est m ! m- que c; elles varient ensuite d'une maiiil .Supposons qu'il puisse arriver alors que . par exemple $*, devienne égale à c, et ce sera nli de toutes ^ elle sera encore très-petite, et il m im, à plus forte raison, de toutes les autres. /. ... seront aussi très-petits, et la quantité R >;n .ihlement moindre que chacune des quan- — Donc l'hypothèse s* = c conduirait à M mile, que le second membre de l'équation (a) il. Les quantités s, s', s",... restant doue tou- 'iLii-s à Vt*. et, par conséquent, Irès-pclïtes, il iiiiuc des déplacements A, k, /,..., et Yétftùalla.

.1 l'onction y (x, y, z,x' ,...) est un minimum, siïro des raisonnements analogues pour dénnmilité de l'équilibre, et il faut examiner spécii- [Ue cas particulier.