CALCUL DE L'EFFET DES MACHINES

127. Les machines ne sont généralement utiles que lorsqu'elles sont en mouvement, et, dans ce cas, elles ont pour objet de surmonter certaines résistances et de faire mouvoir leurs points d'application de telle sorte, que leurs déplacements, estimés suivant la direction de ces forces qu'il faut vaincre, soient en sens contraire de leur action; on donne & ces forces le nom de forces résistantes. Celles que Ton emploie pour produire le mouvement se nomment forces mouvantes.

Le plus ordinairement, une machine n'est susceptible de prendre que deux mouvements différents, opposés l'un à J'autre, et dans lesquels la position d'un seul point détermine celle de tous les autres. Une seule équation suffit donc pour déterminer la loi de ce mouvement, dès qu'on connaît le sens dans lequel il a lieu ; et la plus commode à employer est celle des forces vives. Cette équation est

(1) j2mp> — {lmt>\=fl(Xdx + Ydy + Zdz),

les sommes ï du premier membre s'étendant à tous les points du système, et la somme £ du second se rapportant A toutes les forces, soit mouvantes, soit résistantes, qui y sont appliquées. L intégrale du second membre est prise entre deux limites quelconques, et e<> et v sont les vitesses du point dont la masse est /n, relativement à ces limites. Les forces dont les composantes sont X, Y, Z se parta- II. • 14

en donc classes» Désignons psr 1 mouvantes, cl par dp le déplu t point d'application, estimée forée; XPé(p sera ia partie de

ans forces mourantes. Soient de ai

des forces résistantes, et dq le di

peint d'application estimé dans le s

abstraction faite de tout signe; la part

ans forces résistantes sera — £Qd^,

(t) penrra se mettre soes la forme

(a) \*m*-\zm\ =fl*+ -/*Qd*.

198. Tome force pent «tre rempkoée farta* petl pendn par «a fil dent va eatrétarisd eera fikée ai d'application de la force, et dont la direction, à pS ce peint, coïncidera arec cdk de cette feree, parfcl

d'une poulie de renvoi. Si Ton fait celle substitutifl force P, lorsque la machine se déplacera infiniaiea le poids égal à P descendra de la quantité dp qui d la projection du déplacement de l'extrémité du fil direction de ce fil. Si Ton agit de môme pour *ne conque des forces Q, tty exprimera la quantité doot vera le poids égal à Q pendant que le poids P s'est a de dp.

Ainsi, en supposant d'abord toutes les forces cou* I1 équation (a) exprime que l'accroissement de la demi* des forces vives du système entre deux époques quelea est égale à la somute des produits des premiers pois1 les hauteurs respectives dont ils se sont abaissés, moi Annuité des produits des seconds poids par les hauteurs ils se sont élevés.

DYINAMlQUE. ail

lis désignerons, avec M. Coriolis, par quantité rie il le produit d'un poids par la hauteur dont il a été ou abaissé, et, généralement, le produit d'une force onque par la projection du déplacement dé son point lication sur la direction de cette force. Si la force d'intensité, ou décompose le mouvement eu parties ment petites; les quantités de travail élémentaire* :ur correspondent dépendent de la loi cjue suit la vaii de la force, et l'intégrale qui en exprime la somme quautité de travail relative au déplacement du point lication de cette force- Ton désigne par travail moteur celui qui se rapporte orces mouvantes, et par travail résistant celui qui se irte aux forces résistantes, l'équation (a) exprime que, i le système passe d'une position à une autre, l'aciement de la demi-somme des forces vives est égal à s du travail moteur sur le travail résistant.

). Si Ton considère la* machine à partir de l'instant le était en repos, on a v0 = o, et l'équation (2) de-

ond membre est donc toujours positif, et, par cotisé- ;, le travail moteur surpasse toujours le travail résis- Ils seront égaux lorsque la machine reviendra au rcii le mouvement de la machine devient uniforme, ce st ordinairement le plus avantageux, et qu'on ne le 1ère qu'après que l'uniformité est établie, le premier ire de l'équation (a) est nul, et, par conséquent, le d l'est aussi : d'où Ton conclut que, dans un i Merde temps quelconque, le travail moteur est égal au il résistant. Mais, comme ce dernier se compose du il que Ion avait en vue de produire et qu'on nommé wail utile, plus le travail correspondant aux frotte-

JIIJ LIVRE II.

j-ltiI natnrcllet lient en deux classes. Désignons par P l'une i|iii'l<<>[i<|ui- dk's forces mouvantes, et par dp le déplacement iiillnimrnt petit de son point d'application, estimé dans le sens r|e cette force; I.P tjp sera la partie de

S(Xj*t-t-T<&'+Zdi]

co rrcs ponds il le aux forces mouvantes. Soient de même Q l'uni' tiiielcnncraB des forces résistantes, et dq le déplacement de snn point d'application estimé dans le sens de cette f"t ri.- et abstraction faite de tout signe; la partie cor-

respuiulnnle aux forces résistantes sera — 2Q*/ç, et \'tc|tiatinn |i) pourra se mettre sous la forme

I^S, Toute force peut être remplacée par un poids suspendu par un fil dont une extrémité sera fixée au pwfii il' application de la force, et dont la direction, à partir de re point, i mneidera avec celle de celte force, par le moten d'uni' poulie àe renvoi. Si l'on fait cette substitution a 11 i machine se déplacera infiniment peu.

bY.V\Ml<jtË. 211

jNous désignerons, avec M. Coriolis, par quantité de travail le produit d'un poids par la hauteur dont il a été élevé ou abaissé, et, généralement, le produit d'une force quelconque par la projection du déplacement dé son point d'application sur la direction de cette force. Si la force varie d'intensité, ou décompose le mouvement eu parties infiniment petites; les quantités de travail élémentaires qui leur correspondent dépendent de la loi ôjue suit la variation de la force, et l'intégrale qui en exprime la somme est la quautité de travail relative au déplacement du point d'application de cette force .

Si l'on désigne par travail moteur celui qui se rapporte aux forces mouvantes, et par travail résistant celui qui se rapporte aux forces résistantes, l'équation (a) exprime que, quand le système passe d'une position à une autre, l'accroissement de la demi-somme des forces vives est égal à l'excès du travail moteur sur le travail résistant.

129. Si l'on considère la' machine à partir de l'instant où elle était en repos, on a vQ = o, et l'équation (a) devient

\lmv'=fll><lq-flQ<iq;

le second membre est donc toujours positif, et, par conséquent, le travail moteur surpasse toujours le travail résistant. Us seront égaux lorsque la machine reviendra au repos. Si le mouvement de la machine devient uniforme, ce qui est ordinairement le plus avantageux, et qu'on ne le considère qu'après que l'uniformité est établie, le premier membre de l'équation (a) est nul, et, par conséquent, le second l'est aussi : d'où l'on conclut que, dans un intervalle de temps quelconque, le travail moteur est égal au travail résistant. Mais, comme ce dernier se compose du travail que l'on avait en vue de produire et qu'on nommo le travail utile, plus le travail correspondant aux frotte-

Ii' coin* il 11 m- j>.jninli\ Le moyen i|ii'<>ti emploie If j.li ordinairement ronsitlfl fl introduira dans le système utumasse risse/, considérable, n laquelle ou donne le nom fa rit/nnt, et dont l'effet est de diminuer les variations de «iicsse correspondantes aur variations de la différence enlrr le travail moteur el le travail résistant, Pour que la VCibal charge moins 1rs supports, il est utile qu'il air In moindre masse possible, et pour cela on lui donne la forme d'une roue dont ta masse est presque loui entière à la circonfè* rence. Si l'on désigne par w sa vitesse angulaire, la soi des forces vives de ses points pourra être représentée fif.)*, u étant une constante dont il sera facile de détrrmii la valeur, de quelque manière que soit répartie la masse volant. Soir 2«iw' la somme des forces vives de tuutrs li autres parties de la machine, et désignons par w' vl v' li valeurs de w et v a une même époque; l'équation (a) poui se mettre sous la forme

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