IV
npnsnnsHMHU mai n tenant le cas OÙ les molécule*
•lu liquide
rc n Terme llkos le vase seraient sollicitées par uor
i,„,...,i;.ir.
',■ l'iTB mii ciniiil fi«ri>i>i nrnTinrli<ifin«>lI«. i t. Al*.
OU
x'-H^H- — — 2=cf
c désignant une constante arbitraire.
Les surfaces de niveau sont donc des surfaces du second degré, de révolution autour de l'axe de rotation.
Elles seront des ellipsoïdes tant qu'on aura a>* <!/*•
Elles deviendront des. plans perpendiculaires à Taxe lors-, que Ton aura eo* = jx, et c'est ce que Ton peut vérifier immédiatement.
Enfin, pour les vitesses angulaires plus grandes que ^ji, c'est-à-dire telles que Ton ait w* ^>fx, ou a des hyperbo- Joïdes à deux nappes ou à une nappe, suivant que c sera négatif ou positif.
Dans tous les cas, la valeur de la constante sera déterminée en calculant le volume de liquide compris entre la surface du vase et une des surfaces de niveau, et en l'égalant au volume de la masse donnée du liquide.
Dans le cas de co* > fz, la grandeur de ce volume détermine non-seulement la valeur absolue, mais encore le sigrie de cette Constante, c'est-à-dire fait connaître si Thyperboloïde est à une ou à deux nappes; et il est facile de s'en assurer généralement.
Pour cela, considérons une valeur quelconque de a) et prenons pour c une valeur négative; Thyperboloïde sera à deux nappes, et la surface libre du liquide sera concave, sans quoi la pression n'y serait pas dirigée vers Tintérieur. Si nous faisons décroître la valeur de c jusqu'à zéro, le cône asymptote restera le même, et, la surface de Thyperboloïde s'en rapprochant continuellement, le volume qui s'y termine diminuera et tendra à se réduire à celui qui sera terminé au cône. Actuellement, partons d'une valeur positive de c, l'iiyperboloïde sera à une nappe, et la sur-
234 uviik m.
face libre du liquide sera convexe; de sorte que. ai nous faisons diminuer r, le volume du liquide compris dan* le vase ira en augmentant, parce que la surface qui le termine se rapprochera de plus en plus du même cône, auquel elle sera extérieure; et pour c = o, ce volume acquiert sa plus grande valeur, qui est précisément la même qut la plus petite pour les hyperboloïdes a deux nappe*. D'où il suit que, parmi tous les hyperboloïdes des dent espèces, il n'y en a qu'un seul, et il y en n toujours un si le vase est indéfini, qui corresponde à une masse donnée de liquide et à une vitesse angulaire donnée, plus grande que fa
Kijiiititire d'une masse fluide dont les molécule* s'attirent mutuellement et sont animées d'un mouvement de rotation uniforme.
lit. Dans lis questions précédentes, la force qui sollicilait chaque molécule était Connue, et indépendante de la position îles autres; mais dans le cas actuel il n'en est plus ainsi, imisqu'une molécule mit! connue étant attirée nar
démontré qu'un ellipsoïde dont les trois axes sont inégaux peut aussi convenir; mais cette discussion nous entraînerait trop loin, et nous nous bornerons au cas de l'ellipsoïde de révolution.
Soit
l'équation d'un ellipsoïde de révolution autour de Taxe des z, et aplati aux pôles; les trois composantes X» Y, Z de l'attraction de la masse de cet ellipsoïde sur un point de sa surface ayant pour coordonnées x, y, z, auront pour expressions
X = ^^[A-(i-HA')arctangA], Y =
= £^T [a-(i+V) arc tangAj, = i^î(M-V)(arctang\-A),
p désignant la densité du liquide. Four que l'équilibre ait lieu, il faut que la résultante de ces trois forces et de la force ccntrifige dont les composantes sont co'x, w*^, soit perpendiculaire en chaque point à la surface de l'ellipsoïde \ ce qui donnera entre les coordonnées de cette surface et leurs différentielles l'équation suivante, dans laquelle on a fait
[> — ( i -h a* ) arc tangA -f- 2cV](x<£r -h ydy) -h 2 (arc tangA — \ ) (ï -+- A1) zdz = o.
Mais, d'après l'équation de l'ellipsoïde, on doit avoir entre ces mêmes coordonnées l'équation
xdx -\-ydy -4- (1 -+* X') zdz = o .
LiT»r m.
La valoir de*
'r .lfïJBI être la même dans ces deux «fu»-
lions, quel. qu.
' s. lient x, i7'1 <£jc, rfy, on aura U condition
,„i,»„„.,qui,l
'terminera X,
À- Hrci»ngH-atV = afarcUnpl — V i.
Cetif àpiavipn
a irois racÎDes nulles, donl on oc tiendra
aucun compte;
cite peut se mettre sous la forme
(.lu,u.icJ.-.-.~
racines replies positives déterminera le rop-
pon .1., rf,„>
iNesdc l'ellipse génératrice, et leur grandeur
■c il&ftiini du
volume connu du liquide. Ton! se réduit
fluuc i In rucli
erche du nombre cl de la valeur des racines
), nui aonl égales deux à deiiï et de signe*
ronlrairc-8., m.n
is dont il suffira de considérer les Talents
jmsilives. Ces
racine* sont les abscisses des points de ren-
■ un'.ru de t'axfi
des ,r et de \t courbi- donl 1 eiiiKitinn e»t
HYDROSTATIQUE. 2t3j
Si cette équation a avait pas déracines réelles, la courbe s'éloignerait toujours de Taxe des x, et l'équation (i) n'aurait pas non plus de racines réelles. Ainsi, on reconnaît d'abord que Ton doit avoir
5i — i <o, ou •<{>
car sans cela une valeur positive de x* ne satisferait pas à l'équation (3), et la condition de réalité des valeurs de x* exigerait même que Ton eût é<^7* Mais cela ne suffit pas pour que l'équation (i) ait des racines réelles; il est nécessaire que la valeur de x qui donne le minimum de l'ordonnée positive^, ou, en d'autres termes, la plus grande racine positive de l'équation (3) étant substituée dans (a), dopne pour j" une valeur négative. Car alors la courbe coupera une première fois Taxe des x, avaut d'arriver à ce point, et le recoupera une seconde fois au delà, puisque l'ordonnée finit par être positive et indéfiniment croissante. Si le minimum dey était nul, les deux racines de l'équation (1) seraient égales, et s'il était positif, elles n'existeraient pas. On voit par la que, pour que la question proposée soit possible, il faut que l'on ait l'équation (3) conjointement avec l'inégalité j- <^ o correspondante à la plus grande racine de cette équation. 11 en résulte, par l'élimination de e,
arc tangx — -—-1 — r-r-r r j> o . •
Le premier membre de cette inégalité est nul pour x = o. Sa dérivée est aussi nulle pour cette même valeur, puis elle devient négative quand x croit ; elle redevient nulle pour la
seule valeur x = yÏ3 , à partir de laquelle elle reste constamment positive. Le premier membre de l'inégalité commence donc par être négatif, devient nul pour une seule valeur
de x qui est plus grande que y'iJ, puis reste constamment
Hî nous cherché Ji- combien . ri tissait U -Jiil (l'une l'aie â la face parallèle. Mais il
il ■ xislail dans le lluide des c loi ions qni i i iimmunicalîon des parties, ces raisonue- H* raient plus, ainsi que leurs conséquences.
lorsqu'il existe dans un lluide des cloisons m [jusenlièrenu-ut la communication, mais
est nécessaire d examiner « quel point ment établie se troute elle-même unodi-
ic la pesanteur est la seule force qui agit sur ivniis vu que l 'accroissement de la pression ut! d'une face verticale d'un parallélépipède lele, mais en supposant que ce parallélépiilu lluide sans interruption. D'où il résulte nia affirmer que la pression est la même en ici sur un même plan horizontal, que dans mina passer de 1 un à l'autre par l'intertnêiiuu interrompu, et eu restant dans ce meute
cédemment, et elles ne seront assujetties Tune par rapport à l'autre qu'à la condition de produire une même pression sur le plan horizontal mené par le point le plus élevé du canal. Et de même, les parties situées en dessous du canal seront soumises à l'action d'une pression égale, k leur partie supérieure, et satisferont , indépendamment Tune de l'autre, aux conditions générales de l'équilibre.
Ces considérations s'appliquent à la théorie des siphons, des baromètres, des niveaux, de la presse hydraulique, etc.
148. Pression sur les parois. — Considérons d'abord une paroi plane, et partageons-la en éléments infiniment petits rfi. Désignons par z la distance d'un quelconque d'entre eux à la surface extérieure du liquide, que nous supposerons homogène. La pression produite par le liquide sur l'élément rfX, indépendamment de la pression extérieure exercée sur la surface, sera gp zd\, et la somme de toutes les pressions sera
gpïzd\, ou gpAzl9
A désignant Taire de la paroi cl zx la distance de son centre de gravité à la surface du liquide. D'où il résulte que la pression restera la même, quelque position que prenne la paroi, pourvu que son centre de gravité reste fixe.
Cette pression est tout à fait indépendante de la forme du vase, et l'on peut produire, sur le fond du vase, une pression considérable avec un poids très-faible de liquide, pourvu que la distance à la surface libre soit très-grande.
Quant au point d'application de la résultantede toutes les pressions, auquel on a donné le nom de centre de pression, on le calculerait par la théorie ordinaire du centre des forces parallèles. Il est facile de voir qu'il est situé plus bas que le centre de gravité de l'aire. En effet, menons par ce dernier une horizontale dans le plan de la paroi ; elle en partagera Taire en deux parties dont les moments, par rap- II. 16
34» L1VBE ill.
port à ccu<: Imn/uiilale, seront égaux. Mais les pressio exercées sur la partielle la surface situer au-dessous de teiti ligue donneraient, par rapport à «Ile, un moment ] grand i[tie celles qui s'exercent sur la partie snpérienrv ; en concevant la surface totale partagée en éléments êtpales pressions exercées sur chacun de cent de la partie ïnfc lieuie seront plus grandes que les pins grande* de relle.iq ont lieu dans la partie supérieure. Or. si Ion prronit loi celles-ci égales à la plus grande d'entre elles, qui s porte aux points situés sur l'horizontale menée par le eenlr de gravité, et toutes le* autres égales à la plus petite d'e elles, qui se s i 1 .porte aux points situés sur cette mentit II rizonlale, les sommes de moments seraicnlégales. Dodo, e les prenant tilles qu'elles sont, la somme des moments ■ plus grande pour celles qui se rapportent à la partie il Heure; donc le centre des forces de pression exercée» sur h paroi est au-dessous de l'horizontale menée par «ou oeni de gravité; ee qu'il (allait déni
Pour connaître les coordonnées de ce point, il GuH Mb> ' uler, par rapport aux trois plans coordonnés, la ■
HYDROSTATIQUE. 3if3
port aux deux autres plans de projection,
Zyzd\ = ky* zx , Zxid\ = kx'zx.
Les coordonnées du centre de pression ont donc pour valeurs
, lxzd\ lyzdl , Zz%d\
148. Considérons, en particulier, le cas d'un trapèze dont les bases sont horizontales. Il est facile de reconnaître que le centre de pression est situé sur la ligne qui joint les milieux des deux bases ; de sorte qu'il suffit de connaître une des trois coordonnées de ce point, par exemple zf. Pour cela, partageons le trapèze en tranches infiniment petites comprises entre des parallèles aux bases, la somme 2 -s* <ïk pourra s'obtenir en multipliant la surface de chacune de ces tranches par la valeur correspondante de *', et faisant la somme de ces produits dans toute l'étendue du trapèze. Soient a la base supérieure du trapèze, b sa base inférieure, h sa hauteur, u la distance d'une tranche quelconque à la base supérieure, c la distance de cette base au niveau du liquide, et y l'angle du plan du trapèze avec le plan horizontal. L'aire 4*une tranche quelconque aura pour expression
I a H t — u j du,
et Ton aura
z = c -h u sin 7.
Il faudra donc calculer
f(c -+- u s\n y)* la H — « ] du,
et diviser le résultat par AzM ou par
— (c-h«,sin7);
La valeur ilr a' dclcrmi ncra In position du t'cnlrc 6r pre-siou Jans le Lrapèae, plus eonimodémcii l que s' Rn i- Incluant les calt-iils indiqua, «m trouve
?.h{<t->r ai> ; sinv -+- tie(
si l'on ,1 , = h, c'est-à-dire sï la lin»
niveau ilu liquide, on a
a supérieure e»l j
Dans re eus. le centre de pression est indépendant de l'ïi
eiinaison de l,i paroi.
Sï en même temps on n
d.iii-, le premier cas, 1/= -7-» et, dan:
sions élémentaires étant connue, ainsi que les coordonnées de son point d'application, on pourra toujours, par les méthodes ordinaires, les réduire à trois forces dirigées suivant les axes de coordonnées, et à trois couples ayant leurs axes dans ces mêmes directions . On verra alors si la condition nécessaire pour qu'il y ait une résultante est remplie, et, dans ce cas, on la déterminera facilement. Dans le cas contraire, le système des forces se trouvera réduit à une force et un couple, et l'on pourra, si l'on veut, le réduire à deux forces seulement.
151. Considérons, en particulier, les pressions exercées sur la surface d'un corps plongé, soit en totalité, soit en partie, dans un liquide pesant en équilibre. Dans ce cas, il est facile de démontrer que les composantes horizontales des pressions se détruisent, et qu'il ne reste que les composantes verticales, qui ont toujours une résultante.
En effet, considérons la portion de surface comprise
entre deux plans horizontaux infiniment voisins, et occu~
pons-nous d'abord des composantes des pressions qu'elle
supporte parallèlement à Taxe des x. Nous pouvons faire
la décomposition de la surface d'une manière quelconque*,
et, dans ce premier cas, nous la partagerons en éléments
par des plans parallèles au plan des x et z, et infiniment
rapprochés; ils se projetteront deux à deux suivant le
même rectangle dydz sur le plan des y et z. Or, si Ton
désigne par p la pression qui correspond à la distance de
la tranche à la surface libre du liquide, et par a, S, y les
angles que la normale en un point quelconque de la tranche
fait avec les axes des x, des y et des z, les composantes de la
pression ptù qui s'exerce sur un élément w de cette tranche
seront
/)« rosa, /?6>cos&, pv COS7,
ou
pdydz , par di , pdxdy^
LiTiiE in.
c'est-à-dire qu''-Ues aOtit respt*elivei»ent égales atls j»r»-
s ions que -n qim i. ra létal ail même pôîut les projection» de l'élément « sur (ni* plans parallèles aux plans coordonnés Mais pour les tiens éléments qui ont la mCnn; projet! ion liydz sur le plan des y et z, les composante» parallèle» » l'axe des x, avant ainsi dos valeurs égales f'dyz. •■< Stflb des directions contraires, sedoinneoni; et tous le» éléments •le la tranche pouvant être considérés ainsi deux à dmt, il s'ensuit que tomes les composantes parallèles à l'axe de» x, des pressions qu'elle supporte, se détruisent mutuelle ment Il en serait de même des composantes parallèles à l'axe de*/ pour lesquelles on ferait la décomposition en élêmciiu qui ** projetteraient deux à deux Suivant l.i même sur fa ru dxds; ut il résulte de là qu'il lie resle que les composantes verticales des pressions supportées par la tranche. Il n'y plus qu'à composer ees dernières daus toute lYunolm do surface plongée.
Concevons cette surface décomposée en éléments qi projettent sur te plan des X et y suivant lea reelan; flxiîy ; dans ces éléments, certaines parties de la surface pourront avoir deux à deux la même projection, et donne-
uont*
HYDROSTATIQUE. f " 247
portion du liquide, en sens contraire de la pesanteur. Ce corps est sollicité, en outre, par son poids appliqué en son propre centre de gravité ; de sorte qu'il ne sera en équilibre que si son poids est égal au poids du liquide qu'il déplace, et que le centre de gravité de ce dernier soit sur la verticale menée par le centre de gravité du corps.
Ce principe d'hydrostatique, qui a été découvert par Àrchimède, et qui s'applique également aux liquides et aux gaz, s'énonce ordinairement en disant qu'un corps plongé dans un fluide quelconque en équilibre, perd une quantité de son poids égale au poids du fluide qu'il déplace.
152. Dans la démonstration que nous venons d'en donner, nous avons analysé toutes les pressions qui ont lieu sur la surface du corps plongé; mais on pourrait 6'en dispenser et en déterminer directement reflet total. En effet, le corps éprouve les mêmes pressions qu'éprouvait le liquide qu'il déplace, et qu on pouvait supposer solidifié, sans troubler l'équilibre. Or, cette portion de liquide ne prenant aucun mouvement, il faut que les pressions qu'elle éprouve détruisent exactement l'effet de la pesanteur, et, par conséquent, aient pour résultante une force vertieale égale à son poids et passant par son centre de gravité. Donc tout corps plongé dans un fluide se trouve soumis à l'action de deux forces verticales contraires : l'une égale a son poids, et appliquée à son centre de gravité; l'autre égale au poids du liquide déplacé, et passant par le centre de gravité de ce liquide.
Il résulte de là que, pour connaître le poids d'un corps, il faut le peser dans le vide. Si l'on savait combien il pèse dans l'air ou dans tout autre fluide, il faudrait ajouter a ce poids celui d'un volume égal de ce fluide, pour avoir le véritable poids du corps.
C'est sur les principes précédents qu'est fondée la théorie des aréomètres et de la balance hydrostatique.
LIV*E Ut.
Ih l'équitibre des corps flattants.
Pour qu'un corps solide, en partie plonge dans on
liquide
, soil en équilibre, il est nécessaire, comme DOlu
l'avons
dit, que son poids soii égal à celui du liquide de-
placé, i
! qui' son centre de gravité soit sur la nième verti-
raie qu
e celui de cette portion du liquide. Si noua suppo-
sons ce
liquide homogène, ainsi que le corps qui flotte à m
surface
, le centre de gravité du liquide déplacé coïncide
avec ce
lui de la partie plongée du corps solide. Ainsi, pour
lié terni
iuer les positions suivant lesquelles ce corps pont
rester i
n é'<j ni libre â la sulfate du liquide, il faut le couper
par un
plan tel, que le volume de l'une des parties soit au
Vollllllt
1 entier, comme la densiié du corps est à cette du
liquide
, ei que les centres de gravité de celle partie et du
corps c
ulier soient sur une même perpendiculaire au plan
sécant.
Il Miliii alors de placer le corps de manière que n:
plan ,,
Dïiicide avec la surface du liquide, pour que l'éqnî-
libre a
il lie,,
Pour donner un exemple dételle détermina (ion, cotur>
Posons
CF=/, CD = x, CJL=y,
et désignons par a, 6, les angles ACF, BCF.
La question consiste à mener la droite DE {fi g. 8) de telle sorte que le rapport des triangles CDE, CAB soit r, et que la ligne FI, qui est parallèle à celle qui joindra les centres de gravité de ces triangles, soit perpendiculaire à DE; condition qui revient «à relie de l'égalité des lignes DF, FE.
Les deux équations qui doivent déterminer x et y sont donc
( i ) xy = rab , x- — ifx cosa = y1 — if y cos6,
d'où, en éliminant j',
(2) x* — afx* cos a -h 2. rab/x cos% — r2<i2£5=o.
Celle équation a nécessairement deux racines réelles, Tune positive, et l'autre négative qui ne se rapporte pas à la question. Si les deux autres racines sont réelles, la règle des signes de Descartes montre qu'elles sont positives, si a et 6 sont aigus; il peut donc y avoir au plus trois positions d'équilibre, pour lesquelles le sommet C serait immergé; et cela aura lieu si les trois valeurs réelles de x sont plus petites que a, et donnent pour y des valeurs plus petites que b.
Si les deux sommets A et B étaient plongés dans le liquide, le rapport des surfaces BDEA et ABC serait r, et, par conséquent, celui des triangles CDE, ABC serait 1 — r; d'ailleurs, les centres de gravité de ces derniers et de BDEA étant en ligne droite, il est clair qu'il suffit de changer r en 1 — rdans les équations (1), et l'équation <*n x relative au nouveau cas sera
x4 — ifx* casa -1-2(1— r) abfx coso — (1 — r)': a*b- = o.
le
triangle ABC est
isocèle, on a
le>
équali
ans
(0 deviennent
Oi
i a d'abord
pour solution
jr = J- =
• VrT,
et.
Slip|ll i
reste à
trou
il li- facteur x — ver les solutions
jr dans la monde njuauuu, de» deux suivantes
Le
s vileu
rsd
c i- eiy «roui iloui- données, e
np-n»-
va
Ittepn
■voi
', par une même équation du
second
degré.
i sera
x 4- ra> = o, OU
HYDROSTATIQUE. a5l
Si l'on a r< ( i — 7—^ ) » les deux racines sont réelles et
positives -, elles donnent donc des positions d'équilibre, si elles sont moindres que a,
L'équation relative au cas où les deux sommets À, B seraient immergés, s'obtiendra en changeant r en 1 — r dans la précédente, et sera
fia1— cy) (4) x*-^ J* + (i-r)«»=of
et donnerait lieu à une discussion analogue.
Si le triangle est équi latéral, on a c=a, et les équations (3) et (4) deviennent
x* x -f- ra' = o,
xJ x -f- ( 1 — r) « * = o.
Les racines de la première sont
Elles seront réelles si l'on a r < ~ , et elles seront toutes les deux plus petites que a, si Ton a
Vç)-i6r<i, ou r>j.
H y aura donc trois positions d'équilibre pour lesquelles le sommet C sera immergé, si r est compris entre 7 et 7 + ■—. L'équation relative aux deux sommets immergés a
pour racines
ses racines seront réelles si l'on a r> ~ , et elles seront
plu* jHiiics <|Ui- «, si l'on a
V ib> — 7<>»
il v mua Jonc trois positions d'équilibre jw>ur IcmjucII» ks deux sommets A, B seront immerges, ai t est cumpri» tu In:* j— ,'-. i't ■j, condition qui ne peut être remplie BU même temps que celle qui se rapporte au cas pnéVcdenl.
155. Les prismes ou cylindres homogènes peu vint l aussi èlie en équilibre, en supposant leurs arêtes vertical», et il eu serait de morne si, au lieu d'être homogènes, ils cuietit composés Je touches homogènes, de densité variable. pendiculaires aux arêtes. Dans ce cas, les centres degrawudu liquide déplacé et du corps solide étant néces-siiriaiirt sur la même verticale, il sullirait que le poids du prcui l'ùl égal à celui du second pour que l'équilibre edl lie au lieu d'un cylindre, ou avait un solide de révolution, !
udil.li
.uppoi
a\e vertical, n'u plus Je difficulté; il suffirait de partager 1er I m perpendiculaire « son axe, de telle s Je l'une des deux parties au tout fut è
HY DROSTATIQUE. a53
lion stable, il tendra à revenir à la première jusqu'à un certain point, passé lequel il tendra à s'en éloigner pour se rapprocher de la seconde position. Il existe donc une position intermédiaire telle que, quand on l'écarté d'an côté ou de l'autre, il tend à s'en éloigner; et, par conséquent, cette position est celle d'un équilibre instable. Donc, entre deux positions d'équilibre stable, il y en a une d'équilibre instable, et réciproquement.
157. Avant d'aller plus loin, il est bon d'observer que si un corps est coupé par un plan, le volume situé d'un côté de ce plan sera équivalent à celui qu'on obtiendrait en le coupant par un autre plan quelconque, faisant un angle infiniment petit avec le premier, pourvu qu'il passe par le centre de gravité de l'aire de la première section, .c'està-dire, pour parler plus exactement, que la différence des deux volumes sera infiniment petite par rapport au volume compris entre ces plans.
En effet, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à ce volume, on peut regarder la surface du corps comme remplacée, dans le voisinage de la section, par une surface cylindrique qui lui serait perpendiculaire. Or on sait qu'un cylindre tronqué a pour mesure le produit d'une de ses bases par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la seconde sur le plan de la première; d'où il résulte que toutes les sections menées par ce point, qui sera leur centre de gravité, donneront des cylindres tronqués égaux en volume, et, par conséquent, que les volumes compris entre deux sections quelconques, dont l'un s'ajoute et l'autre se retranche à l'un des cylindres tronqués pour former l'autre, sont équivalents.
Ilest évident que la proposition énoncée et sa réciproque sont des conséquences de ce théorème.
