Cela posé, considérons un corps en équilibre sur

consiste à distinguer ces dcu:

que nous allons faire au raoyet

SoienlLQM(yîs.9)la par le plan hoi boulai qui tern flottaison ;

ANBI la position qu'a ptis< ligne de flottaison relative

L'NM'I la section faite dan zontal mené par le centre d nous désignerons par b \ G le centre de gravité du O celui du liquide déplacé pi V le volume de ce liquide, i du corps;

0 l'angle de GO avec la vcrli

Ç la distance du point C au

pris pour plan des x et y ; GO

p la densité du liquide, et M

Les forces qui sollicitent le c

pressions exercées par le liquitl

surface. La première se véduil

saut de haut en bas et égale au

ou gpV. Les autres produisent

éléments de la partie plmij

HYDROSTATIQUE. a55

Les composantes X, Y sont donc nulles pour tous les points*, et si Ton prend Taxe des z dans le sens de la pesanteur, on aura Z = g pour tous les éléments du corps, et Z= — g pour les éléments de la partie plongée, considérée comme formée du liquide. En considérant ainsi Z, le principe des forces vives donnera l'équation

(l) lv'dmz= ZZdmfZdz + Ç.

Les vitesses étant supposées très-petites, le premier membre m est une quantité très-petite du second ordre, et dans le calcul du second membre, on n'aura le droit de négliger que les termes qui n'influeraient sur les résultats que de quantités d'un ordre supérieur au second.

Considérons d'abord les termes du second membre qui proviennent du poids des éléments du corps. On aura alors

fZdz=gz et 2ZdntfZdz=z 'AgZzdm = 2gM*,,

zt étant le z du centre de gravité du corps.

Quant à la partie immergée, nous la considérerons d'abord comme composée de la partie comprise entre les sections horizontales LQM, L' NM', et du volume situé au-dessous de la dernière. Ce dernier volume est lui-même égal au volume ÀDB ou Y, augmenté du volume INBM', et diminué deINL'À.

La valeur de Z étant actuellement — g, on a

fZdz=~g(z — z9),

et cette intégrale restera constamment égale à gz0 quand z sera négatif, la force Z devenant alors nulle. En reportant gz0 dans la constante totale, on écrira seulement

fZdz=z — gi.

Si du désigne 1 élément de volume, on aura

(im=pd<$>

avrf»/ZA3i

agpf tJm,

plus que de calculer, pour les quatre voirions d'indiquer, fzd'it, qui esl le moirl au plan XY, du volume de la partie plonlilion du corps à une époque quelconque. .ni étant supposé infiniment petit, les diqne nous avons faites dans le corps peuvent îdérees comme équivalentes à b : et la por- ■itlre lesdeus qui sont parallèles, peut èlre h' cylindrique. Ainsi, pour celte première

ADB, on aura /«/. = V(«,

HYDROSTATiguE. a5y

expression que l'on devra intégrer dans toute rétendue de Faire INB.

• Mais on trouverait une expression semblable pour les éléments du volume INLA, à l'exception du z du milieu du prisme, qui serait égal à £ — t"0; et comme les termes provenant de ce volume doivent être changés de signe, ils seraient exprimés par

D'où Ton voit qu'il suffira de faire la somme des termes de la forme

dans toute retendue de Taire ANBI, en regardant u comme positif dans la partie INB, et comme négatif dans l'autre. Mais fud\ est nul, puisque IN contient le centre de gra-

vite de l'aire ANBIj il reste donc — fu*dl. Désignons par

• bh* l'intégrale fu*d A, qu'on peut appeler le moment d'inertie de Taire ANBI par rapport à NI ; l'expression précédente

, . , bh*V

deviendra •

Réunissant les diverses parties de f zdv, il vient fzdt* = J bÇ -h ; bh*V -+- V«,— Va 4- ^^,

et Téquation (i) devient, en observant que M = \ p et comprenant le terme igpV a dans la constante,

(a) li>*dm = — gpbÇr — gp(bh' + a\)Q7 + c-J

si le point O était au-dessous de G, il faudrait, comme nous l'avons fait remarquer, changer a en — a.

La constante c se déterminera par l'état initial; et si les II. 17