VRE

vinsses tutiUl

s sont nulles ou i

nfinîment petite», r ter*

elle-même infii

liment petite.

Cela pose, 1

c premier membre de l'équation (*) rtim

essentiel terneo

i positif, il en sera

de même dit «-ccond, rt

par rnnséquen

t les termes négai

if» doivent ronsumtnni

donner une so

mine infiniment p<

■titc, puisqu'elle doit rw

moindre que c

; ce qui exige que

<j et f restent infininam:

petits. D'où l'i

m conclut que, lar

sque le centre de gravite

du coi fis est a

u-dessout du centre île gravité du lupûAt

déplacé dans

l'état d'équilibre.

le dérangement rntttn

toujours infiniment petit, et par conséquent l'r'quilihrr

est stable. Mai

s si le centre de

gravité du corps est •*-

dessus de celui dans la suivant

du liquide déplaci

, l'équation (a) ae change

Xrtta

= -gfbt? - a>r(M' — «tV)f -t- e.

Or, quoique e

-oit infiniment pet

il, ôelf pourraient ceurr

de l'être si toi

is les termes qui

renferment leur» CatfiÀ

netaienl pas m

:im tifs, Il c*t donc

nécessaire, pour la subi-

litéde réquilit

ne, que l'on ait

HYDROSTATIQUE. ïfy

Oscillations d'un corps flottant.

159. Supposons qu'un corps symétrique, quant à sa figure et à sa densité, par rapport à un plan vertical, soit écarté infiniment peu de la position où il est en équilibre stable à la surface d'un liquide, de telle sorte que son plan de symétrie soit resté vertical; et supposons, en outre, que toutes les vitesses initiales soient nulles.

Il est d'abord évident que tout étant symétrique, tant dans les forces que dans le déplacement, par rapport au même plan vertical, ce plan restera constamment vertical; et la position du corps sera déterminée à chaque instant, si Ton connaît la position d'un de ses points, par exemple de son centre de gravité, et la direction d'une ligne fixe dans ce corps, par exemple celle qui, dans l'état d'équilibre, contenait les centres de gravité du corps et du liquide déplacé.

Nous emploierons les mêmes dénominations que dans la question précédente, et il s7 agira de déterminer 9 et £ (Jig. 10). Lorsque ces quantités seront connues, la position du centre de gravité le sera aussi. Car, toutes les forces étant verticales, ce point se meut sur la verticale passant par sa position initiale; on pourra donc le construire dés qu'on connaîtra l'angle 0 et la distance £ du point C au niveau du liquide. D'ailleurs l'expression de son ordonnée GF=*i peut facilement s'obtenir. Soient GH=/, CH=/>,

on aura

zx = / cos 0 — /? si n 0 H- Ç ,

ou, en négligeant les infiniment petits d'ordres supérieurs au premier,

Le problème est donc entièrement ramené à la détermination de 0 et £.

360 L1TEK lit.

Le ccutic de gravité (.1 se mouvant comme si toute h masse M y ciiit réunie et que tonte* 1rs forces y fum-ni appliquées, on cri déduira f;ti îlement unr première équation entre!; L't Ç. Kn effet, il snBiia de supposer en G don* ferai verticales . l'une égale à Mg. i't dirigée dans le «en» de 1» pesanteur; 1 .mire, diiigée en sens contraire ri égale an poids du liquide déplacé. Or, les volumes BCM', ACL'êlaut équivalents, le volume LOM est égal i\' + o£, et son poiii« est go\ -t-êpéfi et comme M=pV, la résuliantr .!«■ tontes lis foires sera — gp^Ç- O» au,:i doin

--gf*C,

.\miis obtiendrons une WcoÛAa équation en considérant k moincmcnt de rotation Autour du centre de gravité, suppose immobile.

Le poids du corps élan i déiruii, puisque le ceutrr degr»

les points du volume ADB est appliquée en O et égale à gpV] le moment résultant sera donc gpV a sinO, ou

S paye.

Si maintenant nous décomposons le volume M'CB comme dans la question précédente, le moment du prisme ayant pour base d\ sera, en désignant par u sa distance à la perpendiculaire au plan de symétrie menée par C,

gpQud\ (/sinO-}-/? cosO -f- u cosO),

ou simplement

gp$u(p + u)di,

et Ton devra faire la somme des expressions semblables dans toute l'étendue de Taire projetée suivant CB. -

Quant au volume ACL', il faut supposer à tous ses points des forces dirigées dans le sens même de la pesanteur, et le moment d'un élément d\ sera

u' désignant les distances dirigées en sens contraires de celles qui sont désignées par m. Si donc on intègre

gpQu{p + u)d\

dans toute l'étendue de Taire &, en regardant u comme positif à droite de C, et comme négatif à gauche, on aura la somme algébrique des moments correspondants aux deux parties M'CB, ACL'. On trouve ainsi

gpQpfucTk + gpQfu'in.

Or fit dl est nul, puisque le centre de gravité de Taire b est sur la droite projetée en C; et si Ton pose encore

la dernière expression se réduit h

gbpïh\

Livnr m.

En léuiiissan

tous les moments, ou obtient

g?bpt + gp{bh' + »V)<H

et l'on devrai

changera en — a si le point O était uu-di -

sous de G.

Or, d'aprè

la théorie du mouvement autour d'un av

lise, celle son

me de moments doit Cire égale A

AI/* clanl le

moment d'inertie du corps par rapport à 1

perpeodicuU

de gravité; i>

re au plan do symétrie, menée par ion centre i aura donc, en remplaçant M par p V,

Les équation

(i) et (a) renferment la solution complétée)

la question ; \iié du corps

dans le cas 01

lies se rapportent au cas ou le centre de gra si au-dessous de celui du liquide déplacé dam ■qui libre. Il suffira d'y changer le signe de «» ces deux uoinls seraient placé» d'une manière

HYDROSTATIQUE. a63

l'autre, et l'on trouve

«««(.y^-.*). .«.«[jy/ÏS^-ZÎ + r].

Si 1 on suppose, pour plus de simplicité, que les vitesses initiales soient nulles, on aura

en même temps que t = o, ce qui exige que Ton ait

a! = o , 6' = o ; et les valeurs de 0 et f seront

(3) Ç = «co„y^, .«««Jy/BW+nî,

les constantes a, 6, représentent alors les valeurs initiales de £ et 0, et Ton voit que 0 et £ resteront constamment très* petits, puisqu'ils seront tout au plus égaux à a et 6.

La valeur de zi étant / -h £, le mouvement du centre de gravité G sera le même que le mouvement vertical du point C. Ces mouvements, ainsi que celui de la droite GO autour du point G, sont les mêmes que ceux de pendules simples.

Si le point G est au-dessous de O, la valeur de 0 sera

0 = 6 cos t 1 / ox~ y

et si Ton a

Ma «V>o,

0 restera toujours inférieur à 6, et par suite très-pelil.

Mais si Ion avait bh% — aV <^ o, la valeur de 0 s'exprimerait par des exponentielles, et ne resterait plus très-

2&j UI*E m.

■Milite lorsque ( croîtrait indéfiniment. La condilioa stabilité de l'équilibre est donc bhx — «V>o lorsque est au-dessus de O. C'est celle que nous avions déjà trwr plus généralement.

1GI. Pour intégrer les équations générales (i) rt ! <m commencera par éliminer — - de la première, « la réduit â

</=; bgiy±£)

gP:&A'-^aY)n

S l'on fait, pour abréger,