VA

les deux équations à intégrer seront

Multiplions la seconde par une indéterminée X, et i tons-la à la première, puis posons

il en résultera

d'où fo'+^Sjl-Zp

en supposant les vitesses initiales nulles.

Désignant par Xu )., les deux racines de l'équatic

que nous supposerons réelles, et telles que <x-\-\d soit positif, sans quoi x ne resterait pas toujours très-petit, nous aurons

f Ç-+->,0 = <:cos/^a4-Ai*,

d'où Ton déduira facilement les valeurs de 0 et £ en fonction de ty et des constantes c, c', qui se détermineront par les valeurs initiales de £ et 0.

162. On peut remarquer que si, à partir de C, on porte sur la droite AB deux longueurs égales à Xlf A„ d'un côté ou de l'autre suivant les signes de ces quantités, on aura deux points dont les distances au niveau du liquide seront exprimées respectivement par

t+.),e et ç-hX,ej

et, d'après les valeurs de ces deux expressions en fonction de £, le mouvement vertical de chacun de ces deux points sera le même que celui d'un pendule simple. Cette remarque curieuse a été faite, je crois, par M. Cauchy.

163. L'équation il? -f- (a — 6) A — Sp = o aura ses deux racines réelles et de signes contraires, lorsque G sera au-dessous de O, parce que 6 et d seront positifs. Pour connaître le signe de a -+- XJ, on posera

et l'on aura

équation dont les deux racines sont positives, de sorte que la valeur de x sera de la forme que nous avons supposée, et le déplacement restera infiniment petit.

knK-

■ibb LIVHfc III.

Si (i est au-dessus de O et que l'on ail £A* — «V >e>, 6 restera positif cl les deux valeurs de X .«ont réelles et de signes contraires ; on trouve encore a -t- \3 ^> o, el le placement reste toujours infiniment petit comme celi vail être, puisque la condition de stabilité de 1 'équilibre remplie.

Mais si, G étant au-dessus de O, ou a W — aV <0| S est négatif, et l'une des valeurs de a+ W cal négative. Les valeurs de 0 et £ renferment alors des exponentielles et ne restent plus très-petites; de sorte que les calcul» précédents ne s'y appliquent plus. C'est, en effet, le cas où nous ai ions déjà démontré que l'équilibre est instable.

Uii. Les équations (3), relatives au cas où le corps est symétrique par rapport h deux plans, montrent que si la valeur initiale de £ est nulle, on a et = o, el que par conséquent £ est constamment nul. Alors le centre de gravité reste immobile, el il n'y a qu'un mouvement 'le rotation amour d'un a\e passant par ce point; de plus, te v ni tira* d'eau déplacé reste constant, puisque le point C est touj< à la surface du liquide.

1 niante ,ujoon

HYDROSTATIQUE. *6j

tical est dérangé infiniment peu de 9a position d'équilibre, i] est sollicité par son poids et par la pression du liquide, qui se réduit a une force verticale passant par le centre de gravité du liquide déplacé. Or, si la droite GH est rencontrée par la direction de cette force au-dessus de G, le corps tendra à reprendre sa première position ; et si la rencontre a lieu au-dessous, il tendra à s'écarter de sa position d'équilibre» D'où l'on concluait que l'équilibre était stable dans le premier cas, et instable dans le second. Quant à ce point de rencontre que l'on nommait métacentre, on le déterminait en supposant que le volume de liquide déplacé était équivalent à celui qui se rapportait à la position d'équilibre, ou que du moins on pouvait négliger son accroissement infiniment petit, sans qu'il en résultât aucune erreur sur la limite du point de rencontre des deux droites.

Cette théorie est défectueuse, parce que le volume infiniment petit que Ton négligeait, bien qu'il no déplace qu'infiniment peu le centre de gravité du liquide, fait cependant varier d'une quantité finie la position du point de rencontre des deux droites, qui font entre elles un angle infiniment petit (*). 11 faudrait donc suivre les différentes positions de ce point dans le mouvement du corps; ce qui ne peut se faire que quand le problème est résolu, et que Ton n'a plus besoin de savoir si les écarts restent infiniment petits. Mais ce qu'il est bon de remarquer, c'est que lors même que l'équilibre est stable, le point de rencontre en question se trouve tantôt au-dessus et tantôt au-dessous du centre de gravité du corps, excepté dans le cas particulier où la droite GO passe par le centre de gravité de la section à fleur d'eau. Or, il est clair que, si l'on avait su cela, on aurait renoncé à une démonstration qui aurait

(*) Journal de l'École Polytechnique, xxive cahier.

a68 LIYKB III-

prouvé sus»i bien la stabilité que l'instabilité de l'équilfe. ISéaumoins il va cria de remarquable, que le poiutde i'.jcontre que l'on déterminait dans l'hypothèse inexirte ut -l'on aurait pu considérer le volume immergé comme cw riarn, donne la véritable condition de stabilité. Le» 0 du déplacement de ce point sur la droite GB de pin a d'autre de G, ne peuvent renverser le corps que quand lt mêla centre est au-dessous de G. Mais c'est ce qn'iiK pouvait établir que par une analyse semblable à «elle A nous avons fait usage.

10o. Application à l'ellipsoïde. — Commençons pw ihercber la condition de stabilité de l'équilibre d'uu elltpsoide homogène Huilant sur un liquide, et dérangé înlimmeut peu. mais d'une manière quelconque, de sa posiuM d'équilibre. Soient A, B, C (fi g. it) les trois demi-un de l'ellipsoïde, D sa densité, G le centre de l'ellipsoidr. U le WDire de gravité du volume immergé JLM.A, qui xn nécessairement au-dessous de G. Supposons que l'axe *«in-.il \A -."'lit celui dont la longueur est ai, cl que l'i* ail B]>C; conservons, du reste, toutes les dénomination précédentes.

La condition de stabilité de l'équilibre est ©A*>aV bh* étant le moment d'inertie de l'aire de la section LM par rapport à la droite menée par son centre, qui donne le moment minimum. Cette droite est le plus grand des deu axes principaux de l'ellipse ; c'est donc celui qui est parallèle à l'axe aB.

Si l'on désigne AB par x, l'équation qui en déterminer! la valeur sera

F.lle exprime que le poids de l'ellipsoïde est égal à celui du

HYDROSTATIQUE 26g

liquide déplacé, dont le volume est

Le théorème des moments fait connaître immédiatement la valeur de a V, qui est

Les demi-axes de la section LM ont pour valeur B

t^îAj — jr7 et - V2ÀX — j?'; A A

le premier est parallèle a l'axe a B, le second à Taxe iC de l'ellipsoïde, et ce dernier est le plus petit.

Or, le moment d'inertie d'une ellipse ayant pour demiaxes a, 6, est, par rapport à la direction de Taxe 6,

donc le moment d'inertie minimum de Taire LM sera

trBC3

et la condition de stabilité est que cette expression soit plus

grande que a\ ; ce qui donne, en supprimant les facteurs

communs,

C2>A\ on C>A;

mais comme on a déjà R^>C, la condition de la stabilité de l'équilibre se réduit à ce que Taxe vertical de l'ellipsoïde soit le plus petit des trois.