MN

couru au temps, ou— r-» exprimera la vitesse moyen ne avec

laquelle cet arc a été décrit ; c'est-à-dire que ce serait l'espace parcouru pendant l'unité de temps, en supposant le mouvement uniforme, et tel, que l'arc MN fût parcouru pendant le temps 0. Si maintenant on suppose que 6 dimi-

nue indéfin

INTHODUCTIO-V

i vi tasse moyenne — - variera un même

temps, et tendra vers une limite déterminée ; et c'est celle limite que nous appellerons la vitesse du mobile au point M.

Ainsi, pour employer le langage reçu dans le calcul infinitésimal, on appelle vitesse d'un mobile, à un instant donné, la vitesse moyenne avec laquelle il décrit un arc infiniment petit, à partir de cet instant.

Si l'on désigne par ( le temps, et par s la longueur des arcs delà ligne décrite, à partir d'une origine arbitialrc, la

■appoi point quelconqi

t autre chose que — ■■ A

i du mouvement (

par la première dérivée de l'espace parc au temps.

1. II est bon de remarquer que l'arc décrit dans un temps infiniment petit peut être considéré comme le produit de ce temps par la vitesse du mobile au commencement e petit intervalle. Car cet arc serait rigoureusement le luit de ce temps par la vitesse moyenne relative à cet

INTRODUCTION. y

telle que nous venons de la définir, joue donc le même rôle dans le mouvement varié, que la vitesse premièrement définie, dans le mouvement uniforme, pourvu que l'on ne considère que des temps infiniment petits ; et c'est à cause de cette analogie qu'il était convenable de lui donner le même nom.

5. Équation finie du mouv&nent uniforme. — Le mouvement uniforme d'un point sur une ligne indéfinie, droite ou courbe, peut être représenté par une équation du premier degré entre le temps et la distance, comptée sur cette ligne.

Désignons par t le temps compté à partir d'une époque déterminée, par x la distance du point mobile M à une origine fixe O, prise sur la ligne indéfinie X'X que ce point parcourt; par a la distance OA de l'origine au point où se trouve le mobile lorsque £= o$ enfin par fsa vitesse, ou l'espace constant qu'il parcourt dans l'unité de temps.

Cela posé, nous nous proposons de trouver une équation au moyen de laquelle on puisse connaître la position du point mobile, à une%époque quelconque, c'est-à-dire une équation entre x et t.

Or le mobile parcourant un espace e dans l'unité de temps, parcourra vl dans le temps quelconque t ; et par conséquent, si Ton suppose d'abord que la direction du mouvement soit celle des x positifs OX, à un instant quelconque on aura

x cl a étant des quantités positives ou négatives, suivant la position des points A et M par rapport à l'origine ; v étant un nombre absolu, et t un nombre positif correspondant aux différentes époques postérieures à celle qui sert d'origine au temps.

On aperçoit immédiatement qu'il est inutile d'employer une équation distincte de la précédente, pour représenter les positions du mobile qui correspondent aux époques antérieures à cette origine j et qu'il suffit de donner à t des valeurs négatives dans l'équation ci-dessus.

Enfin, on peut renfermer dans cette même équation les mouvements uniformes, dont la direction est opposée à celle des x positifs; et l!on recounaii aisément qu'il suint de supposer que f ne représente pas seulement le nombre d'unités de longueur parcourues dans l'unité de temps, mais ce nombre affecté implicitement du signe — . De cette manière, l'équaiion générale

peut représenter tous les mouvements uniformes, rapportés à des origines quelconques des temps et des distances, et pour une direction quelconque du mouvement par rapport à celle des x positifs.

Les quatre quantités x, a, r, t peuvent donc être implicitement négatives, et nous venons de déterminer dans

iclles circonstances elles devaient ê

couru; cette expression devient, dans le cas actuel, — » indépendamment de toute considération de signe.

Or, si nous prenons t pour variable indépendante, et,

dx par suite, dt positif, - sera positif si le mouvement a lieu

dans le sens des x positifs, et négatif dans le cas contraire.

(Le Si donc nous posons v = — > c'est dire que nous entendons

par f une quantité positive ou négative, suivant que le mouvement a lieu dans le sens des x positifs ou négatifs; du reste, les origines des temps et des abscisses n'y entrent pour rien, et le mouvement peut être varié d'une manière arbitraire. Ainsi, pour avoir une équation qui renferme tous les mouvements uniformes, il suffira de poser

v désignant uue quantité constante, positive ou négative.

Cette équation se déduirait de (i) par la différent! a tion, comme , réciproquement, on en déduirait la première par une intégration , qui introduirait une constante arbitraire a.

7. Mouvement uniformément varie. — Après le mouvement uniforme, le plus simple est celui où la vitesse, au lieu d'être constante, varie uniformément, c'est-à-dire de telle sorte que ses accroissements soient proportionnels à ceux du temps. Ce mouvement, qui servira de terme de comparaison aux mouvements variés plus compliqués, mérite qu'on en dise ici quelques mots, et c'est par lui que nous terminerons ces exemples simples.

La condition que la vitesse v ait ses accroissements pro-

IIHTKODL'CTlOiV.

non

ionnels :i ceux du temps, entraine celle au tic coud! lion

quc

, . . . dv .

>a ili-rivci' -- soit i-oif-.Irink' de

réciproquement. En

gnaut donc par a une coustauiequi

■lconque, pu

sitiveou

itive, l'équation générait; qu

i renfermera tous

les mou-

ven<

ents uniformément variés, s

•k~a' nu ~dî*~a

dje

ou déduit de là, eu intégrant,

r — at + b

~ di'

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alion qu'on mirait pu nbteni

r imm

édiatemenl

vn l'iii-

légl

ant de nouveau, il vient

ttt'

l, el

c désignant deux constante;

arbiti

■aires.

es accroissements de la vile

ist; son

1 po.itif, ou

ucgalif»

m'-nm lnii])si;in' ,1, r|in e-t 1 ,

ii'i'inisseriH'iU de h

\ vitesse.

Ou mouvement rectiligne varié en général.

8. Dans ce qui procède, nous avons supposé que le point se mouvait sur une ligne quelconque. Mais maintenant que nous allons faire une étude plus approfondie du mouvement, nous supposerons d'abord, pour ne pas réunir toutes les difficultés, qu'il s'effectue sur une ligue droite. .

La notion d'accélération que nous venons de donner dans le mouvement uniformément accéléré, peut recevoir une extension analogue à celle que nous avons donnée à la vitesse.

En effet, désignons \>ar Ae l'accroissement de vitesse que prend le point, à partir d'un instant quelconque, lorsque le temps croît de A/, et imaginons un mouvement uniformément accéléré dans lequel la vitesse serait la même que celle du mobile au premier instant, et qui aurait une accélération telle, que la vitesse croîtrait de même de &v dans le temps Af; celte accélération moyenne sera mesurée, d'après ce qui précède, par — > et tendra vers uuc

certaine limite à mesure que Àf tendra vers zéro.

Cette limite est ce que l'on appelle V accélération dans

le mouvement propose, à l'instant que Ton considère. Son

expression est

do d7.r

lit <Ù2

Et il est facile de voir qu'elle jouera le même rôle dans le mouvement varié en général que dans le mouvement uniformément accéléré, pourvu que Ton ne considère? que des intervalles indûment petits. En effet, si At est infiniment petit, on aura

A v <lv

a iuTBomjcTion.

étant aussi infiniment petit, el, par

Donc, l'accroissement Ai' de la vitesse ne diffère de

— At que d'une quantité infiniment petite par rapport à

û y, et qui pourra être négligée toules les fois qu'on ne considérera que des limites de sommes ou de rapports. Donc, dans Ions les cas de ce genre, l'accroissement infiniment petit de vitesse pourra être calculé comme si le mouvement était uniformément accéléré, et que l'accélération de ce mouvement fût égale à ce que nous avons appelé l'accélération dans le mouvement varié en question.

Remarque. — Il est bon de remarquer que nous avons considéré de deux manières fort différentes un mouvement varie quelconque, comme limite de mouvements successifs de durées infiniment petites. Dans un cas, ces mouvements utaires sont uniformes, dans l'autre ils sont uni fortement accélérés.

INTRODUCTION. l3

Mouvement curviligne d'un point.

9. Direction de la vitesse. — La définition que nous avons donnée de la grandeur de la vitesse est indépendante de la ligne que décrit le mobile, et que Ton nomme ordinairement sa trajectoire. Mais quand le mouvement est curviligne, il y a une considération de plus à introduire, celle de la direction. Dans le mouvement rectiligne, la droite qui joint une position du mobile avec une autre infiniment voisine, a toujours une même direction, celle de la droite qu'il décrit, et qu'on nomme la direction du mouvement. Dans le mouvement curviligne, la droite qui joint une position déterminée à celle qu'il a, après un temps infiniment petit, varie à mesure que l'intervalle diminue, et tend vers une limite que Ton appelle quelquefois la direction du mouvement à l'instant considéré, et que nous nommerons spécialement direction de la vitesse à cet instant. Elle se confond évidemment avec la tangente à la trajectoire au point que Ton considère, prise dans le sens du mouvement.

Les cosinus des angles qu'elle fait avec les trois axes d'un système de coordonnées rectangulaires, seront donc, en grandeur et en signes,

dr. clf

ds ds ils

en considérant ds comme la valeur absolue de l'élément de Tare, et dx, dy, dz comme les accroissements positifs ou négatifs des coordonnées x,y, z du mobile dans le temps infiniment petit dt.

10. Composition et décomposition des vitesses . — Lorsque, pour aller d'un point A à un autre point quelconque

14 iwTnODUCTiow.

B, on suit k contour AMKPQB (A>. a) (l'un polygone plan on gauche d'un nombre quelconque de cotés, au lieu de suivre la droite AB, nous donnerons à celte dernière, eonsidérée tant dans sa grandeur que dans sa direction, le nom de résultante des autres, considérées de même; et réciproquement les côtés AM, MA, . . . , QB, considérés en grandeur et en dirrelion, se nommeront les lignes composantes on simplement les composantes de AB. Cette dénomination permettra d'abréger le discours, et se Ifoutc naturellement indiquée par l'analogie de cette construction avec d'antres pour lesquelles elle est depuis longtemps consacrée. Quelques géomèties ont proposé île donner le nom • \t- somme à ce que nous appelons ici résultante; pour nous, nous réserverons exclusivement cette dénomination de somme, au point de vue le plus général, au cas de lignes portées à la suite les unes des autres sur une même droite indélinie, les unes dans un sens, les autres en sens contraire: ces deux sens correspondant dans ta sommation algébrique à des signes différents.

C'est dans le même sens KM nous entendrons la i ri là dér'(>ni|»'-oti le?

KNTKOBUCTION. l5

n'est autre cliose que la projection de la vitesse sur cette direction. Nous verrons par l'usage Futilité que ces transformations peuvent avoir. Mais jusqu'ici il ne faut attacher à ces dénominations de composantes et résultantes de vitesses, que le sens précis qui résulte de nos définitions.

1 1 . Composantes de la vitesse parallèlement aux axes. — Si Ton suppose les axes rectangulaires,' ces composantes ne seront autre chose que les projections de la vitesse sur les axes. En prenant la vitesse en valeur absolue, et sa direction comme nous en sommes convenus, il faudra faire . , . * ds . dx dy dz

les produits de -?• respectivement par — > —-, —- : ce qui donnera pour les composantes de la Vitesse

dx dy d%

,77' "5T dï"

elles seront positives ou négatives, suivant que la direction de la vitesse fera avec les axes des angles aigus ou obtus.

Mais il est facile de voir que ces expressions subsistent encore dans le cas d'axes obliques.

En effet, soient M une position quelconque du point, et M' celle qu'il occupe après un temps très-petit; Ar, Ay, Az les accroissements des coordonnées de M : le parallélipipède dont les arêtes sont Aj, A y, As, et la diagonale MM', tend à devenir semblable à un parallélipipèdc qui aurait les arêtes parallèles aux axes, et sa diagonale suivant la tangeote. Or ce dernier est semblable à celui dont la diagonale et les arêtes seraient la vitesse et ses composantes : dcnrt'lcs rapports de celles-ci à la vitesse sont les limites des rapports