MM'' MM' MM

dx dy dz ds ds ' ds

Los multipliant parla vitesse ~- on retrouve pni posantes IfH expressions précédentes

Ou peut remarquer que -7- est la vitesse d'uu point qui se

mouvrait sur l'axe des .r, en ayant toujours la même abscisse que le point dans l'espace; et il en serait de même pour les deux autres composantes. D'où l'on voit que les composantes tic la vitesse d'un mobile sont les vitesses de ses projections rectangulaires, ou obliques, sur les trois axes de coordonnées.

12. Déviation. — Considérons un point animé d'un mouvement varié quelconque, et à un instant quelconque menons la tangente à sa trajectoire au point M où il se trouve (,fîg- 3). Concevons ensuite qu'à cet instant un second mobile commence à se mouvoir sur la tangente avec la vitesse qu'a le premier en M; et soient M',K les positions

le mouvement soit donné, c est-à-dire que les coordonnées x, /, z du mobile soient des fonctions connues du temps t.

13. Composantes de la déviation suivant les axes. — Soit 0 un intervalle de temps infiniment petit; les coordonnées de N sur la tangente seront, après ce temps,

dx m dy m dz

Celles du point M' sur la trajectoire seront, en les développant par la formule de Taylor, et représentant par g, c ', e", des quantités infiniment petites,

dx ^ /d*x \ W

de " ' \ dF

dr « ld*r A *

dz ^ [d*z

S+V«+ l-TT+O —

En retranchant les coordonnées de N de celles de M', on aura en grandeurs et en signes les composantes de la déviation NM'; leurs valeurs sont

(d*x \ & (d'y \ ÔJ [d'y \ Ô>

(■3F+VTf l^')*' V^')*'

Ces expressions peuvent être simplifiées lorsque 9 est infiniment petit; car on peut alors négliger le second terme qui est infiniment petit, par rapport au premier : elles se réduisent à

HF a"' HF Ty dt7 T'

et la déviation elle-même devient, en supposant les axes I. 2

H. Direction lie la déviation. — On appelle direction de la dévialîon en un point quelconque M, la limïle vers laquelle tond la direction KM' à mesure que M' tend vers M. Les cosinus des angles de NM' avec les axes rectangulaires, étant toujours proportionnels aux composantes de KM', et respectivement de mêmes signes, il s'ensuit que la direction de la déviation au point M fait avec les axes, des angles dont les cosinus peuvent être représentés proportionnellement, en grandeurs et en signes, par les trois quantités

Leurs valeurs même s'obtiendraient en di\

tités par

smFWPm-

INTBODUCTION. IQ

Elle croit donc comme l'espace parcouru d'un mouvement uniformément accéléré par un mobile partant du repos, l'accélération étant égale à

Ainsi, en se représentant la déviation comme décrite par le mouvement d'un point, et bornant l'approximation aux quantités du second ordre, qui suffisent pour le calcul des accroissements infiniment petits de vitesse, on peut dire que le mouvement déviatoire est uniformément accéléré; et dans ce mouvement l'accélération a pour valeur

En multipliant cette expression par les cosinus des angles formés avec les axes par la direction de la déviation, et calculés ci-dessus, on trouvera pour les composantes de cette accélération, en grandeurs et en signes, les trois expressions

d*x d*y dH

Remarque. — II faut bien remarquer que cette accélération est celle du mouvement déviatoire, au moyen duquel on regarde la déviation comme décrite, et non pas du mouvement lui-même sur la trajectoire. Ce serait trop détourner les mots de leur sens naturel. Nous avons d'abord appelé accélération , l'accroissement de la vitesse dans l'unité de temps, cet accroissement ayant lieu uniformément ) nous avons ensuite étendu cette définition au cas d'une variation quelconque, par la considération des infiniment petits : il n'est pas possible d'aller plus loin sans dénaturer cettjfcnotion. Si donc on considérait l'accélération

■JO I3TK0DUCTI0N.

dans un mouvement curviligne varié, 11 serait naturel d'entendre par là l' accroissement de vitesse rapporté à l'unité

de temps, ou y ? ce qui ne serait nullement l'accéléra tiou

du mouvement déviaioire que nous venons de calculer. C'est pourquoi nous ne désignerons jamais cette dernière sous le nom d'accélération du mouvement sur la trajec-

i 6. Composantes de la déviation suivant la tangente et la normale. —• Nous avons vu qne les composantes de la déviation suivant les axes avaient pour expressions, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à en

fl> ii'x fl* d*y 81 d1*

, Soient RM' la déviation, M'P la perpendiculaire abaissée de M' sur la tangente en M; NP et PM' seront, d'après notre définition, les composantes de JNM' suivant la tangente et la direction PM'.

Mais de l'équation

dx* -h dj* -h dz> = ds* on tire

dx d*x-\-dydly -f- dzd*z = dsd*s ;

l'expression précédente devient donc

Telle est l'expression de la composante tangentielle.

Quant à la seconde composante PM', on sait que si Ton

désigne par R le rayon de courbure de la trajectoire en M,

on aura, en négligeant les quantités infiniment petites par

rapport à PM',

pM'=^;

mais MM' étant l'espace parcouru dans le temps 0, on pourra remplacer MM' par y0, et Ton aura, au degré d'approximation demandé,