COS> = ± -: — — ( COS 6' COS7 — COS J COS

sin V '

cos» = ±-7— -(cos 7' cos a — cosa'cos7),

r sm V v ' f '

cos v = ± — — - (cos a' cos 5 — cos(5' cos a).

sin V '

On trouve ainsi deux directions opposées; et, en efict, rien

[KTKODtrcTION

indéterminé lequel des deux s r la perpendiculaire.

jusqu i< sidérer i

{9. Distinction du sens'de la perpendiculaire à deux directions. — Concevons par l'originedeux droites parallèles aux directions déterminées par les angles (aÉ-/), («'6' y'); prenons sur la première un point quelconque : ses coordonnées x, j -, z seront proportionnelles aux cosinus des angles a, 5, y, cl, respectivement, de mêmes signes : par ce point, menons une parallèle à la direction déterminée par les angles a', c', y\ et concevons un point en mouvement sur cette dernière direction. Le rayon vecteur mené de l'origine à ce point partira de la direction («07) et ira en se rapprochant de la direction (x'S'y1) qui passe aussi par l'origine.

Supposons maintenant un observateur placé dans la perpendiculaire menée par l'origine au plan des deux droites, les pieds appuyés sur ce plan; le mouvement du rayon vecteur lui paraîtra s'exécuter de gauche a droite ou de droite à gauche, suivant qu'il sera placé d'un côté ou de l'antre du plan. Nom distinguerons ces deux seus, en appelant , celui où le mouvement s'effectue de gauche à droite.

INTRODUCTION. Vt5

la valeur de p étant

^{jvo&f' — «cos 6')3-f- (* cosa' — x cosy' J'-fr- (.*cos6' — /cosa' f\

de sorte que p n'est autre chose que la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite menée par le points, y, r, dans la direction (otë* y').H ne s7 agit plus que de savoir quel est le signe qu'il faut donner à p pour que les angles à,p, v se rapportent à la direction de Taxe du plan, telle que nous l'avons définie* Remarquons d'abord que si dans un plan de direction quelconque, que nous ferons passer, pour plus de simplicité, par l'origine, un rayon vecteur se meut autour de ce dernier point dans un certain sens, et que Ton considère la projection mobile de ce rayon vecteur sur un autre plan; Taxe de ce dernier mouvement sera celui des deux directions de la perpendiculaire à ce nouveau plan, qui fera un angle aigu avec la direction de l'axe du premier mouvement.

Cela posé, considérons d'abord la projection du rayon vecteur sur le plan XY, et désiguons par 0 l'angle que sa direction forme avec celle des x positifs, de telle sorte que

Taxe positif des y corresponde à 0 = - • Le mouvement sera

direct relativement à l'axe des z positifs, si 0 va en croissant) et, dans le cas contraire, il sera direct par rapport à Taxe des z négatifs. Et l'on sait d'ailleurs qu'un angle croit ou décroit toujours en même temps que la valeur algébrique de sa tangente.

Or la projection sur XY du rayon vecteur mené au point (x,y, z) fait avec l'axe des x un angle dont la tangente a

pour expression générale -• Si le point xy y, z s'avance

dans la direction (a'o'v') d'une quantité quelconque ///, rclte tangente devient

y 4- m cos Ç '

.r -f- m cos a' '

afi is'iKonrcTiiii

ton accroissement est dont

el, comme on peut supposer m assez petit pour que le dénominateur soi 1 positif, le signe de cet accroissement sera le même que celui du numérateur, ou de X cosS' — y cosg'. Ainsi, la projection du rayon vecteur sur XY aura un mouvement dont l'axe sera l'axe des z positifs, si l'on a

xcosS' — /cosa'^o;

et, par suite, l'axe du mouvement dans l'espace- cl l'axe des ; positifs feront un angle aigu. De même, les projections sur \'L et /A auront un mouvement direct par rapport aux axes des x et des y positifs, si l'on a

scose'^>o

Dans le cas où une de ces inégalités serait de sens foutrai re, il serait direct par rapport à l'axe négatif, et l'axe

l'axe positif cor-

1HTHODCCTION SJ

Si raaîutenant on remplace x, y, z par les quantités proportionnelles, et respectivement de mêmes signes, cos a, cos 6, cos y, on aura

cos X = — — — (cos 6 cos 7' — cos 7 cos(5 ' ) , sin V v

(1) {cosf*= — — — (cosvcosa' — cosacos7'),

v sin y \

cos v = — — — (cos a cos6' — cos6 cos a') , sm V x

V désignant encore l'angle des deux directions.

Ces formules se rapportent à Taxe du mouvement exécuté dans le plan des deux directions (a, 6, y) , (a', o', y') par un rayon vecteur tournant autour de leur point de rencontre, en partant de la première et se rapprochant de la seconde. Si Ton faisait une construction analogue, eu substituant chacune des deux directions à l'autre, on aurait un mouvement en sens inverse; et, en etîet, les formules précédentes des cosinus changeraient évidemment de signe sans changer.de valeur absolue.

Si les deux directions dounées étaient rectangulaires, ou aurait

Icos X = cos 6 cos 7' — C0S7 cos 6', cos ft = cos 7 cos a' — cos a cos 7', cos v = cos a cos 6' — cos 6 cos a'.

Remarque. — Si l'on prend, à partir de l'origine, une longueur q sur la direction cr', 6', y', on aura, en désignai]! par x', j', zf les coordonnées de son extrémité,

x' = q cos a\ y = q cos 6', *' =s q cos 7' ; et les formules (1) deviennent

y*— zy'=ipqcos\, zx'— .rz'—pqcosp, xy' ~ rxf =pq cosv.

Or, d'après oe que représente />, pi/ est l'aire du parallélogramme construit sur les deux droites menées de l'origine aux points xjz, x'j'z'. Désignant celle aire par P, on aura les trois équations suivantes :

(4) Pcosl=.r*' — *j', Pcosj*=î.r'— xi.', Pcosv=.rj-' — yx',

X, ji, v se rapportant à l'axe de l'aire décrite par un rayon vecteur passant par l'origine et marchant de xys vers x' y' z' par le plus court chemin. Et, si sur la direction de cet axe on prend une longueur qui représente l'aire P, ces dernières expressions représentent en grandeur et en signeles projections de cette longueur sur les axes des coor-

Dislinction du sens de l'axe d'un mouvement de rotation.

20. Lorsqu'un système rigide tourne autour d'un axe fixe, on distingue le sens de ia rotation de la même manière qu ou vient de le faire pour la perpendiculaire à deux directions. Ou conçoit un plan perpendiculaire à l'axe, et un observateur placé dans Taxe, les pieds appuyés sur ce

celui des z pour revenir à celui des x, les directions des axes positifs soient respectivement les axes de ces trois mouvements. Soient ay a, an les cosinus des angles que la direction des x' positifs fait avec les directions respectives des x, y^ z positifs $ i, b\ V1 les cosinus relatifs à la direction des j'' positifs, et c, c', d1 ceux qui se rapportent à la direction des z' positifs.

Considérons un point quelconque M (fig* 4)> dont les trois coordonnées x', y\ z1 soient représentées par AP, PQ, QM ; abaissons MR = x, perpendiculaire sur YZ, et joignons RA. Ce polygone fermé étant supposé projeté sur AX, donnera

ax* -+- by -+- c z — x = o ,

pourvu que les quatre coordonnées x\y' y z\ x soient positives. Si Tune quelconque d'entre elles, par exemple j'', était négative, le côté du polygone qui doit être pris en valeur absolue serait — y1 \ mais, comme il serait alors parcouru dans le sens des y1 négatifs, le cosinus qui le multiplie changerait de signe et serait — b \ le terme que Ton doit écrire est donc toujours by\ et l'équation est générale, en regardant comme négatives les coordonnées dirigées en sens contraires des axes déterminés par les cosinus donnés. On trouverait deux autres équations analogues, en considérant les coordonnées^ et z. Les équations générales de transformation auront doue

Ij? as Ob' . -f- byf -h czf , y=afj/ + b'y + c'z'9 z =a"x'-+-b"y + c"z'9

et l'on aura les conditions nécessaires

plu.

IMTKODUCTIOlt.

es étaient infliiignhiirt

ae +n'c' -f- a"c" = o, bc + b'c +//V —o.

de sorte qu'on ne pourrait prendre arbitrairement que trois îles neuf quantités a,b,c\ a1, b'. c' ; a", fi", c".

Les deux systèmes étant rectangulaires, on peut passer du seeond au premier par des formules semblables; de sorte que les équations (i), (2) , (3) entraînent les suivantes :

reciions des x',y't z' respectivement avec celles desx,y, z positifs. S'ils sont en ordre inverse, lorsque les directions desx' et des/' seront amenées à coïncider avec celles des x et des y positifs, les directions des 2' et des z positifs seront directement opposées.

L'axe des x' étant perpendiculaire au plan des aies des y' et des*', les angles qu'il fait avec les trois axes desx,/, z se détermineront d'après les formules (3) du n° 19; il faudra d'ailleurs s'assurer si les axes des x',y', z' sont dans le même ordre que les premiers. Dans cette hypothèse, l'axe des x' positifs est l'axe relatif au mouvement d'un rayon vecteur partant de AY' et se rapprochant de AZ'; les angles «, 6, y des formules (3) se rapportent donc à AY', et ont pour cosinus b, &',&*}«', 6', y' se rapportent à AZ' et leurs cosinus sont c, c', é! ; ce serait l'inverse si l'ordre des trois axes était inverse.

Si donc on remplace, dans les formules (3),cosX, uosu, cos v, par a, a', a", on aura, dans l'hypothèse d'une disposition semblable dans les deux systèmes d'axes,

a = b,c" — d,b", a'=cb" — bc", a" = be~-eb', et, dans le cas d'une disposition inverse,

a ^e'b" — b'c" , «' = be" — eb" , a" = eb' — be' ,

équations qui ne différent des premières que par le change-

Imcnt de signe des seconds membres.

F.n agissant de la même manière pour les axes des/' et des z', on aura des équations semblables ; de sorte que les neuf quanti Ils "be, a' b' c',a" b" c" sont liées par les relations suivantes, dans le cas où la disposition des deux systèmes d'axes est la même :

f a = i V — c b", a" = cb" — be", a" = be' — eb',

{-) I J = c'it" — n'e", />' = ac" — ca" , b" =ca' —aé,

' c=a'b" — b' a" , c1 = ba" — ab" , r" = ab' — ta'.

Si IWTKOUUCTION.

Dans le cas on la disposition des axes sérail inverse, il faudrait changer les signes des seconds membres de ces neuf équations.

22. Les nouveaux axes x', y',z', au lieu d'être déterminés par neuf quantités entre lesquelles il existe six relations, pourraient l'être par trois seulement, et nous allons faire connaître les formules données à cet effet par Euler.

Nous supposerons que les nouveaux axes aient la même disposition que les premiers, et nous les déterminerons en donnant l'angle ty {fig. 5) que forme avec l'axe des X positifs la trace AR du plan Y' X'surXY; l'angle 8 que forme le plan X' Y' avec XY, qui est aussi celui des axes AZ, AZ'; et enfin l'angle y que forme AX' avec AR ; mais il est essentiel d'indiquer avec précision le sens dans lequel chacun de ces angles est estimé.

JVous compterons l'angle iji dans le sens du mouvement direct de AX vers A Y, et il pourra varier de o à 2jr; mais à laquelle des deux directions opposées AR, AR' se rapporlera-t-il? Pour la déterminer, concevons un mouvement direct autour de AZ qui amène AX en AR et AY ni AY,;

gnerons par xt , j\ , z les coordonnées comptées sur leurs directions. Après le second mouvement, ils ont la position AR, AYf, AZ', et nous désignerons par xt , jt , zf les coordonnées correspondantes. Enfin, après le troisième mouvement, ils coïncideront avec les axes AX', AY', AZ', pour lesquels les coordonnées sont x', y ', z'.

Nous pourrons ainsi passer des premiers axes aux nouveaux au moyen de trois transformations dans lesquelles un axe étant immobile, on n'a besoin de faire usage cfue de la transformation des coordonnées dans un plan.

Or on sait que, pour passer d'un système de coordonnées

rectangulaires m, i> à un système rectangulaire //, vr sem-

blablement disposé, c'est-à-dire tel, que quand la direction

des u positifs coïncide avec celle des u positifs, il en soit

de même des directions des v et v1 positifs, on a les deux

formules

u = «' cos a — c' sin a ,

p = 11! sin a -f- u' cos a;

a désignant l'angle dont il faut faire tourner l'axe des u dans le sens de u vers v pour qu'il coïncide avec Taxe des u' positifs. Ces formules varieraient dans les signes si la disposition des axes était inverse. D'après cela, on aura les équations suivantes :

x=rr,coS\[>— /,sin^, fl = yico*9 — z'sinG, x,=j'cosy— /sin?, /=j?tsin>}»-f»/iCos^, * =Ji sinO-H z'cosO, jr^x* sin f+y' cos f.

Eliminant les intermédiaires xt , > t , y% , on obtient les formules cherchées :

jc=z x' (cos f cos ^ — sin f sin ty cosô) -h y ( — sinocos^ — sinvpcosf rosô)-f- s'sin^sinG, (8) / jr=x,(cosf sin\J*-4- siny cos^cosG)

-h y ( — sinf sin\p -f- cos ^ cos ? cosô) — z'cos^sinO, z = j:' sin G sin? -+- r'cosçsinO -f- z'cosG. I. 3

34 i «TuonvcrioK .

1.3 comparaison des fut-mules (i) cl (S) rond un aux équations suivantes, qui ont la même généralité que colles d'où on les déduit :

a ~ — iiiif sin^cos9-J- ro«f ros-^, b ■= — cosf sin^citsS — sio?co$-|, c = sinÈ sin-|>, a'= siofcns+cosS-t- cM»sin^, 6*= «Mf cosifiCosO — vn»sin^, ,-• = — sin8cos|;

Os équations entraînent les suivantes, qu'il est lx>n de noter :

tMf<» JS* l»ng<J- = — -,■