CHAPITRE III

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bleineut, puis en laissant ce point fixe, et en faisant tourner le système autour de lui, jusqu'à ce que deux autres points, non en ligne droite avec ce centre, viennent prendre la position qu'ils doivent occuper.

Et il est bon de remarquer que ce point fixe autour duquel s'effectue le second mouvement est arbitraire, c'est* à4lire qu'un point quelconque de l'espace peut être regardé comme la seconde position d'un certain point lié au système. En effet, si Ton éloigne un point à volonté, qu'on le lie au système dans sa position définitive, et qu'ensuite on ramène ce système à sa première position, le poiut choisi sera alors celui qu'il aurait fallu lier au système primitif pour que sa position après le mouvement fut celle qui a été choisie arbitrairement dans l'espace.

Examinons maintenant chacun de ces deux mouvements, de translation et de rotation.

Il est évident que le point que l'on a considéré pourrait parvenir d'une position à l'autre, en décrivant uu polygone quelconque, qui commencerait à l'une et se terminerait à l'autre. D'où il suit que le premier mouvement pourra être remplacé par une suite d'autres mouvements de translation, représentés en grandeur et en direction par les divers côtés de ce polygone. Cette substitution de plusieurs mouvements successifs à un seul s'appellera composition, et l'inverse décomposition. On peut donc dire que les mouvements de translation peuvent se composer et se décomposer de la même manière que les vitesses d'un point.

Quant au mouvement autour du point fixe, il est facile de reconnaître d'abord qu'il peut être décomposé d'une infinité de manières, en deux mouvements, autour d'axes fixes; car on amènerait un point quelconque d'une position à une autre, en faisant tourner le système autour d'une droite quelconque passant par le point fixe, et située dans le plan mené par ce poiut, perpendiculairement à la droite

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qui joint les deux positions du point que l'on rousidcre. lesquelles sont nécessairement éipndistanles du centre. Le système ayant maintenant deux de ses points dans la position qu'ils doivent occuper, il est certain que tous les autres arriveront à la leur, par un mouvement de rotation autour de la droite qui joint les deux premiers. La question est done réduite a la considération des mouvements de rotation autour d'axes passant par le point fixe.

Les propositions que nous allons démontrer relativement à la composition et la décomposition de ecs mouvements sont extraites de la Théorie nouvelle âe In rotation des corps, de M. Poinsoi; mais, avant d'entrer dans cette ex|>osilîon, nous commencerons par faire une remarque trèssimple et nés-utile.

21. Hemarnne. — Lorsqu'un corps tourne autour d'un axe lixc, d'une quantité angulaire infiniment petite, les variations infiniment petites des coordonnées d'un point quelconque dépendent des coordonnées de ce point, et des autres données de la question. Pour un point infiniment

INTRODUCTION. i9]

lions des coordonnées de chaque poiut pourra être considérée comme la variation résultante des mouvements opérés, à la suite les uns des autres, et dans un ordre quelconque.

Il est encore facile de s'assurer que si le système tournait delà même quantité infiniment petite autour d'un axe infiniment voisin de celui qui est donné, les variations des coordonnées d'un point à une distance finie ne seraient altérées que de quantités infiniment petites par rapport à elles-mêmes, et qui pourraient conséquemment être négligées. En effet, les variations des coordonnéesVen se bornant aux quantités du premier ordre infinitésimal , sont le produit de l'angle de rotation infiniment petit, par des fonctions des quantités qui déterminent Taxe. Si donc ces quantités changent infiniment peu, il en résulte, pour les variations des coordonnées, des changements d'un ordre ' supérieur au premier.

Ainsi, il n'y a aucune erreur du premier ordre infinitésimal dans l'expression des variations des coordonnées des divers points d'un système rigide qui tourne successivement, de quantités angulaires infiniment petites, autour d'axes en nombre quelconque, lorsque l'on substitue à ces divers points, d'autres points infiniment voisins ; que l'on substitue de même à ces axes d'autres axes infiniment peu différents, et quel que soit l'ordre dans lequel on effectue ces différentes rotations. C'est a cause de ces avantages que l'on décompose toujours les mouvements effectués dans des temps finis, dans ceux qui s'accomplissent dans les intervalles infiniment petits, dans lequelson peut décomposer ces temps. Aussi tout ce que nous dirons sur la composition et la décomposition des mouvements se rapportera presque uniquement au cas où ces mouvements seront infiniment petits.