Vitegsv angulaire. — Considérons le mouvement

38 INTIlOUUCTIllfl.

continu de rotation d'un système rigide, et concevons un j.l.in passant par .l'axe et lié invariablement au sysicme. La position de ce plan détermine celle de tous les autres points, et peut être donnée à chaque instant par l'angle $ qu'il fait avec un plan fixe mené par l'axe.

Si les accroissements de cet angle sont proportionnels aux accroissements du temps, le mouvement angulaire du système est uniforme. Il en est de même des mouvements des différents points, et leurs vitesses sont proportionnelles n leurs dislances à l'axe. On nomme, dans ce cas, vitesse angulaire du système, l'angle décrit par le plan mobile dans l'unité de temps; c'est la vitesse de tout point situé à l'unité de distance de l'axe.

Si le mouvement angulaire est varié et nue l'angle fy suit une fonction quelconque du temps, on appellera vitesse angulaire à un instant quelconque la limite de la vitesse angulaire moyenne avec laquelle un angle intimaient peut serait décrit à partir de cet instant. Sa valeur est la dérivée

de l'angle par rapport au temps, ou — ; et l'angle décrit

rigide, qui lui-même eu a un, en même temps, par rapport k un autre système rigide, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on arrive à un système immobile. Il résulte de là, pour le corps, un certain mouvement dans l'espace, qui est continu si les autres le sont, et qui rentre dans les mouvements résultants tels que nous les avons définis. En effet, considérons tous ces mouvements correspondants à un même temps écoulé : concevons d'abord que le corps se meuve seul et accomplisse son mouvement dans le premier système; qu'ensuite ce -système exécute son mouvement dans le second, eu entraînant avec lui le corps dans la position qu'il y a prise; qu'après cela, le second système exécute son mouvement en entraînant le premier et le corps; et ainsi de suite : il est facile de voir que le corps se trouvera à la fin dans la position où il doit être d'après les données. Mais ebacun des mouvements, que nous venons d'indiquer, des systèmes qui entraînent le corps fixement lié à eux, n'est antre chose qu'un certain mouvement du corps lui-même, et décomposable en un mouvement de translation suivi d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe. D'où Ton voit que les mouvements simultanés en question, que l'on appelle quelquefois, assez improprement, des mouvements dont le corps est animé simultanément, le placent k une époque quelconque dans la même position où il arriverait par la composition de ces mouvements telle que nous l'avons définie, c'est-à-dire en les produisant successivement, et dans Tordre que nous venons d'indiquer.

27. Cas des axes concourants. — Soit OA (fig. 6) la direction d'un axe autour duquel un système rigide tourne, d'une quantité angulaire quelconque a a , le sens de la rotation étant déterminé de la manière indiquée précédemment.

Soit de même OB un secoud axe autour duquel le sys-

4'* iHTniiniitTios.

tenu: tourne d'une quantité angulaire a c, quand le premier mouvement est accompli. Mous allons démontrer que le système arriverait à la même position par Mine rotation unique, autour d'un axe passant par le même point O.

En effet, menons par OA un plan qui fasse avec le plan AOB un angle «, du eôlé" de OB; et pur OB un autre plan taisant avec AOB un angle 6, du côté de AO. Il est évident qu'après la première des deux rotations, l'intersection OP de ces deux plans aura pris la position symétrique par rapport au plan AOB, et qu'après la seconde rotation, elle aura repris sa première position. Donc le système parviendrait à la seconde position eu tournant autour de l'axe OD.

Si les rotations se faisaient en ordre inverse, l'axe de la rotation unique qui les remplace serait symétrique de OD par rapport au plan AOB.

28. Rotations infiniment peliie*. — Ces conséquences ont lieu, quels que soient les angles a#, ac; mais nous examinerons particulièrement le cas où ils sont infiniment petits. Dans l'angle triédie, formé par les arèlesOA, OB, OD, les sinus des angles BOD, AOD sont entre eux comme

1ATKODCCTIOK. 4*

la vitesse angulaire du mouvement résultant. Pour cela, on choisira un point quelconque I sur Taxe OÀ, autour duquel s'est effectuée la première rotation ; il ne se déplacera qu'à la seconde, et il décrira une ligne in fi ni meut petite IL perpendiculaire au plan AOB. Abaissons les perpendiculaires IK7 IH sur OB, OD. Les angles infiniment petits, dont le point I tourne autour de OB ou de OD, pour parvenir i sa position L, sont dus à des mouvements de même sens, et en raison inverse deIK et IH, ou de sin KOI et sin HOI, ou enfin de OP et ON. Donc la vitesse angulaire résultante sera représentée par la diagonale OP, puisque la vitesse angulaire autour de OB Test parON. De plus, d'après ce que nous avons dit, le sens de la rotation autour de OD est de gauche à droite, comme autour de OB. Donc enfin, si Von prend sur la direction de deux axes, à partir de leur point de concours, des grandeurs qui repré* sentent les vitesses angulaires des rotations successives autour de ces deux axes, la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux lignes représentera la direction de F axe de la rotation résultante, et la grandeur de sa vi+ tesse angulaire.

On conclut de là que la composition et la décomposition de rotations en nombre quelconque autour d'axes passant sur un même point, s^efftetuent de la même manière que celles de vitesses qui seraient dirigées suivant ces axes, et représentées en grandeur par les vitesses angulaires correspondantes .

29. Cas des axes parallèles. -~ Ce cas est renfermé dans le précédent et pourrait facilement s'en déduire, puisque des parallèles passant par des points donnés sont les» limites de droites passant par ces points et concourant en un même point qui s'éloigne à l'infini. Mais il n'est pas inutile de traiter directement ce cas particulier.

.\ï INTRODUCTION.

Soient A elB \fig.8) les projections des deux axes parallèles sur un plan qui leur est perpendiculaire, et 2a, x S, les angles de rotation respectifs <|ue l'on peut toujours supposer moindres que deux droits. Menons de part et d'autre de AB et sous les angles respectifs «, S quatre droites se cour pant aux points U,L', V, V, symétriques deux a deux par

'apport à AB. Remarquons i

t qu i

distin-

guer plusieurs ras différents, suivant le sens ou l'ordre des rotations.

Supposons-les d'abord de même sens, et, ce qui est toujours possible, directs pour l'observateur du roté présenté par la figure, et que nous nommerons le dessus du plan. H est évident que si la première rotation est autour de A, le point U sera amené par elle en U', et ramené en U par la seconde, ("e dernier point est donc dans sa première position après le mouvement total, ainsi que la droite dont il est la projection; et par conséquent le système prendrait la même position par une seule rotation autour de l'axe U. nul à l'angle de rotation, il est évidemment aa-hac. : la ligne AU, par exemple, considérée comme liée au lème, a d'abord tourné de l'angle a a, et est venue en

lequel la plus grande rotation est dans le sens direct, et soit A Mftt axe. Les points de rencontre V, V se projetteront en dehors de ÀB et du côté de À.

Cela posé, si la rotation autour de A s'efteclue la première, le point V sera transporté en V quand elle sera achevée: et la seconde rotation le ramènera a sa première position. Le mouvement total pourrait donc être produit par une rotation unique autour de Taxe V. Cette rotation sera la différence a et — a 6 ; car si on considère, par exemple, l'angle décrit par la direction AV, il sera a a après le premier mouvement dans le sens direct ; et comme dans le second mouvement toutes les droites du plan décrivent l'angle a S en sens contraire, il en sera de même de A V qui rétrogradera de ce même angle, et par conséquent n'aura tourné à la fin que de l'angle a a — a 6 dans le sens direct.

Si l'on avait commencé par la rotation rétrograde autour de B, c'est le point V qui serait revenu à sa première position, et serait par conséquent la projection de l'axe de la rotation résultante, qui serait toujours la même, pour le sens et pour la grandeur.

90. Si les deux rotations de sens contraire étaient égales, elles formeraient ce que M. Poinsot appelle un couple de rotations-, les points de rencontre V, V seraient à l'infini, et le mouvement ne pourrait plus réellement être considéré comme effectué par une rotation unique. Mais si Ton conçoit que l'angle 6, d'abord plus petit que a, tende indéfiniment vers cette valeur, les points V, V s'éloignent indéfiniment de A sur les droites AV, AV, et les rotations autour des axes V, V tendent à devenir des mouvements de translation perpendiculaires a AV, ou AV, suivant Tordre des rotations. Un couple de rotations peut donc être remplacé par un mouvement de translation perpendiculaire au plan mené parallèlement aux axes, et sous l'angle a avec AB.

Pour avoir ta grandeur de la translation, il sulliia de doubler la limite île la perpendiculaire abaissée sur BV ou BV, du point A qui ne se méat que dans la seconde rolatiou. Celle valeur esl aABsiu*.

Quant au sens de la translation, supposons que la première rotation s'elleclue autour de A, auquel eas l'axe résultant est en V; il suffira de considérer le mouvement de A dans la seconde rotation qui est rétrograde autour de li. Le mouvement de translation est donc du côté de AV qui correspond au mouvement rétrograde autour de B. Cette direo lion déterminée, qui est perpeudîculaire à AV, est celle de Vaxe rlu couple rie rotation. Si l'on s'y place de la manière convenue précédemment, et qu'on fasse tourner le plan des deux axes de rotation autour de cette droite, de manière que A et b commencent par se déplacer dans le sens des axes qui y passent respectivement, l'observateur apercevra un mouvement direct.

31. Rotations infiniment petites. — Faisons maintenant la supposition que les rotations autour des deux axes nlinimi'ii t petites

1KTRODUCTIOH. 4^

lions est indifférent, puisqne lès deux axe* correspondants aux deux ordres sont venus coïncider.

Les antres circonstances restent les mêmes que dans le cas de rotations finies. Il est évident que réciproquement une rotation peut se décomposer en denx autres, satisfaisant aux conditions qui viennent d'être établies, et que toute translation peut être décomposée en deux rotations formant un couple.

La composition des couples de rotation ne sera autre chose que celle des mouvements de translation représentés par leurs axes, et s'effectuera par conséquent de la même manière que la composition des vitesses ; il en serait de même de leur décomposition.

Enfin on remarquera qu'une rotation autour d'un axe À pourra toujours être remplacée par une rotation identique, autour d'un axe B parallèle au premier, plus un couple de rotations dont le bras de levier sera la distance de À à B; car il suffit pour cela d'introduire deux rotations autour de Taxe B qui soient égales à la première et de sens opposés, ce qui ne change rien au déplacement.

32. Réduction générale de rotations et translations quelconques, — Quelles que soient les rotations et translations infiniment petites opérées sur un système, elles peuvent se réduire à une rotation autour d'un axe passant par un point arbitraire O, et une translation dépendante de ce point.

En effet, toute rotation autour d'un axe peut être changée en une rotation identique autour d'un axe parallèle mené par O, plus une translation, ou un couple de rotations, dépendant de la position du nouvel axe. Toutes les* rotations composées donneront une même rotation résultante autour d'un axe de direction constante, quel que soit le point où Ton ait transporté tous les axes. Mais les mou-

4<> IftTkOUUCTlOW,

vemeiils de translation ou ion pics iliï rotations donné*, composés avec ceux qu'un a introduits, donneront un roupie résultant, ou une translation, variable de grandeur et de direction.

Comme il existe un point qui arriverait en O par l'effet de toutes ces translations, le double mouvement auquel nous venons de réduire tous les mouvementé partiels des deux genres, rentre dans celui que nous avons indiqué n"23, pour amener tout système rigide, d'une position à une autre.

33. Cas particulier oà le. mouvement fini est parallèle à un plan. — Si tous les points du corps se meuvent dans des lignes parallèles à un monte plan cl que l'on conçoive une section faite par un plan fisc parallèle au premier, "il en résultera une ligure qui se mouvra dans ce plan fixe ; et U position déterminant celle du corps même, il snfïira de considérer le inouvcmenlde cette figure.

lr, il est facile de démontrer que tout déplacement :11e subira peut être produit par une rotation autour i point déterminé. Kn eilet, ou pourra toujours pro-

le point B quitte sa première position, et par conséquent, par une simple rotation autour du centre B, dont la position est entièrement déterminée par la construction précédente. Le corps aura ainsi effectué une simple rotation autour d'un aie perpendiculaire au plan. Si la rotation précédait la translation, le résultat serait di lièrent, et ce serait B; qui serait la projection de Taxe de rotation.

La question que nous venons de traiter est renfermée dans celle du mouvement d'une figure sur une sphère, laquelle avait été traitée pour la première fois par Euler.

34. Réduction générale à un mouvement hélicoïdal. — Mous avons déjà réduit tout déplacement fini à deux autres, le premier de translation, le second de rotation, n° 23. Décomposons le premier en deux, l'uu parallèle à Taxe de rotation, l'autre perpendiculaire. Ces deux mouvements pouvant être effectués dans un ordre quelconque, nous commencerons par la translation parallèle à Taxe; il restera une translation et une rotation perpendiculaire à Taxe, qui se composeront, comme on vient de le voir, en une simple rotation autour d'un axe parallèle au premier.

Tout mouvement est donc réductible à une rotation autour d'un axe et une translation parallèle à cet axe; et par conséquent le déplacement peut être produit par un simple mouvement hélicoïdal.

On reconnaît facilement que cette translation parallèle a l'axe est la projection, sur cet axe, de la première translation à quelque point qu'elle se rapporte. Elle est toujours la même et égale à la quantité commune dont tous les points du corps, en passant de leur première position à la seconde, se sont éloignés d'un même plan perpendiculaire à la direction déterminée de Taxe. Enfin elle est la plus petite translation possible, puisqu'elle est la projection de toutes les autres.

48 IHTnODUCTIOM.

'.iH. Mouvement continu, parallèlement à unptttn fi.ce. — Ce mouvement peut ùlre réduit, comme nou.s lavons déjà dit, à celui d'une figure plitue dans son plan. Décomposons le temps eu éléments infiniment petits. Lt njouvemeiit opéré dans chacun de ces intervalles pourra, comme nous l'avons démontré, être considéré comme une rotatii effectuée autour d'un point déterminé, que l'on nomi centre instantané de rotation $ et l'ensemble de ces centres a pour limite un lieu géométrique continu, entièrement déterminé, et immobile sur le plan. Si maintenant on considère tous les points liés à la figure mobile, qui sont venus successivement coïncider avec les points du premier lieu à l'instant où ils étaient centres de rotation, on aura un second lieu, invariablement lié avec la figure mobile, et se déplaçant sur le plan. Si l'on connaissait le mouvement de ne lieu, il déterminerait réciproquement celui de la figure qui lui est liée. Or nous allons voir qu'il peut être trèssimplement défini.

En effet, soient A, B, C, D, E, F, etc. (Jtg. u>), les positions successives des centres de rotation correspondants aux divers intervalles de temps; A', h", C, D',etc. , les points

me

ioo me

courbes sont constamment tangentes; des arcs égaux de ces courbes s'enroulent les uns sur les autres, et, par conséquent, il n'y a pas glissement.

Si donc on'adaptait à la figure donnée la courbe lieu des centres instantanés relativement à cette figure, il suffirait de faire rouler, sans glisser, cette figure sur celle qui est le lieu des mêmes centres sur le plan fixe; et la figure prendrait ainsi Jte mouvement qu'elle doit réellement avoir.

Pour avoir le mouvement du corps lui-même, il suffira de considérer les deux surfaces cylindriques qui se projettent sur le plan fixe, suivant ces deux courbes, et de les faire rouler l'un sur l'autre sans glisser.

36. Mouvement continu autour d'un point fixe. — Ce mouvement peut être décomposé en une infinité d'autres effectués dans des intervalles de temps infiniment petits, et qui peuvent être considérés comme ayant lieu autour d'axes successifs infiniment voisins-, ebacun de ces axes peut être considéré comme lié au corps dans la position où il est relativement à lui à Fi ns tant où il devient axe de rotation. On a ainsi deux systèmes de droites, l'un immobile dans l'espace, l'autre fixement lie au corps mobile. Ce second système constitue une surface pyramidale, à faces infiniment étroites, qui viennent successivement coïncider avec celles d'une surface pyramidale fixe. Les deux systèmes forment à la limite deux surfaces coniques, l'une fixe, l'autre liée au corps et toujours tangente à la première suivant une génératrice, puisque les surfaces dont elles sont les limites avaient toujours une face commune.

Il est facile de voir, en outre, qu'elles ne glissent pas Tune sur l'autre. C'est en effet une conséquence immédiate de ce que des faces égales de surfaces polyédriques Rappliquant toujours les unes sur les autres, les surfaces coniques qui s'enrouleront les unes sur les autres seront

fît) IKTI10Ul'CTION>

elles-iuéiues égales, et, par conséquent, il n'v aura pas glissement.

D'ailleurs la génératrice commune étant l'axe instantané Je rotation a une vitesse nulle, et, par conséquent, ne peut se déplacer que d'un infiniment petit du second ordre, dans l'intervalle de temps du premier ordre, pendant lequel a lieu une rotation du munie ordre : ce qui exclut tout glissement.

On peut donc K représenter le mouvement d'un corps autour d'un point fixe, comme déterminé par le roulement d'un cône fixement lié à ce corps, sur un cône immobile dans l'espace, ayant, comme le premier, le point fixe pour sommet .

On rentrerait dans le cas précédent en supposant le point tixe à l'infini.

37. Mouvement continu en général.— Les mouvements infiniment petits dans lesquels on décomposera le mouvement, peuvent être ramenés d'une infinité de manières à une -ablation et une rotation; nous nous bornerons à cousîl'axc de iou- . M. I'oinsol n'a nas cm devoir narler de

INTRODUCTION. Si

Or, au moment où la rotation autour d'une génératrice commune a amené une seconde génératrice a coïncider, les deux surfaces ont deux génératrices communes, et, par conséquent, sont tangentes dans toute l'étendue de ces génératrices. On peut donc dire que le mouvement du corps peut être réalisé par le mouvement d'une surface réglée, liée à ce corps sur une autre surface réglée fixe dans l'espace, i laquelle elle est tangente suivant toute une génératrice! et sur laquelle elle roule en glissant le long de cette génératrice*

Le rapport du glissement à la rotation dépend de la nature du mouvement et peut même être nul. Si Tune des surfaces est développable, il est clair que l'autre l'est aussi, puisque leurs éléments coïncident dans toute leur longueur.

On rentre dans le cas précédent s'il y a un point fixe dans le corps; les deux surfaces deviennent des cônes, et le glissement est nul.

Démonstration, analytique des propositions précédentes.

38. II n'est pas inutile de voir comment les principales propositions qui viennent d'être établies sur le mouvement d'an corps solide peuvent être démontrées par le calcul. Nous déterminerons la position du corps à chaque instant, au moyen des coordonnées rectangulaires d'un point quelconque O lié â ce corps, et des angles formés avec les axes fixes desx, y, z, par trois axes rectangulaires de coordonnées xf,y> *', liés invariablement au corps et passant par le point O.

Soient a, i, c, a', A', c', «", b" , c" les cosinus des angles que forment les axes des x\j\ z' respectivement avec ceux des xtyyZ) et £, 72, £ les coordonnées du point arbitraire du système mobile par lequel on mène les axes des x' ,y\ z\ dont on a choisi la direction dans le corps, indépendant-

IKT11IHHCTIO*.

nt du point 0 par lequel on les tait passer. On aura. :re les coordonna» d'un point quelconque M dans les

ix systèmes d'axes, les relations connues

Considérons un point déterminé du système pour lequel, par conséquent, x',y', z' seront indépendants du temps t. Supposons que t augmente d'une quantité tinie Ai, et désignons par la caractéristique A les accroissements finis correspondants des autres variables. Les équations (i) don-

/ ij — aÇ + j'Afl -t-j-'ii +i'if, {■}-) \ A/ = ■!■ + *' A a' -H/'At' +ï'Ac',

' J: = Jt+.r'i(I"+/ii'* + i'Ac'.

Les premiers membres de ces équations sont les composantes du déplacement de ce point, parallèlement aux axes lises; les premiers termes des trois seconds membres sont

réel. Il suffit donc, pour amener chaque point dans sa véritable position, de faire exécuter au corps les deux mouvements successifs qui produiront ces deux composantes pour chaque point. D'où résulte celte proposition générale :

Tout déplacement fini d'un système rigide peut être produit en lui donnant d abord un mouvement de translation qui amène un quelconque de ses points dans la position qu'il doit avoir ; puis un mouvement de rotation autour de ce dernier point, mouvement qui est le même, quel que soit le point choisi, et ne dépend que des changements de direction des lignes du système.

Il est évident qu'on aurait pu effectuer d'abord la rotation autour du point O pris dans sa première position, puis effectuer la translation 5 les valeurs de Ar, Ajr, A* seraient les mêmes, et, par conséquent, le système arriverait à la même position. C'est ce que l'on reconnaîtrait d'ailleurs immédiatement par la géométrie.

39. Simplification du mouvement autour d'un point. — Il est facile de voir que tout déplacement du corps autour du point fixe O peut être produit par une rotation autour d'un axe passant par ce point.

En effet, en supposant le point O fixe, les équations (2) donnent pour Ax, Ay, A* des valeurs qui seront nulles pour tous les points du corps qui satisferont aux équations

Ix'Sa -+-/ bb -t-z'Ac =0, x'ba'+y±b'+ z'Ac'=o, , x*\a"-\-/ \b"+z!\c"=o.

Tous ces points auront donc la même position avant et après le déplacement. Si, en éliminant x\y\ et, par suite, £', entre ces trois équations, l'équation de condition résultante est satisfaite, il y aura une infinité de valeurs dex', y\ z' satisfaisant aux équations (3) et qui correspondront

ipr*-

INTRODrCTlON. 55

équations (3) successivement par

el par

c-f-jAc, c'+;-Af', c"-+-iAt".

On pourra ainsi remplacer les équations (3) par les suivantes :

S(atb + a'£ib'+a"bbl,+ \àa\b+l:ba'i!>b'+\àaHlb'') \' (aAc-f- «' A</+ a"lc" -f- 7 An Ar-h ± An' Ac'-h ^Ad'Ar") = o ,

6 » *'(6Ac-4-A,Ac'-+-^Ar^-f--;A*Ac-hf A^/Acf-f.{A^Ar/r) * ' j -f-^Aû-f ^Afl'-+-^A^4- jAAA^-HA^'Afl'-t-^^Afl^rro,

I Jt'(cAflH-c/A/i'-4-ci,,Aa*-f-|AcA/î-f-iAc'Afl'-H|A^Aa/r) \ 4-y (rA6 +c'A*'-f-c"A*"+7 ArA* + j A<?'A*'-+-| ^'A*") = o.

Nous poserons, pour abréger,

/rA&+c'Aà' + c"A&"+±AcA& + ±Ac'Aà'4-7Ac"AA''=/J,

(7) 7/?Ar-|-fl'Ac'-f-flAfAc/f + jAflAc-f- yA*'Ac'-t- | ba"bc" = q, ibAa-hb'ïa' hb"àa"+±bbb<i + ±M'ba'+±2kb"Aa"= r,

d'où résultera, d'après les équations (5),

;b±C + b'àc'+ b"Lc" -H {A^Ar+iA^Ac'-f-iA^Ac" :=—/>,

(8) « cA/i -hc'Aa' -h c"A/i"-4- ^ A<A*-4-T Ac'Afl'-f- ; Atf"A6"= — 7, '/?AÔ-H/ï'A6f-h«"û6,r4-7AaA^4-7Art'A^'-hi A<:"Art"= — r.

Cela posé, les équations (6), qui sont équivalentes aux équations (3), s'écriront ainsi :

(9) 'rx'-/;s'=o,

Or il est facile de reconnaître que ces équations se réduisent à deux; car, si Ton multiplie la première par p. la

seconde par q, la troisième par r, et qu'on les ajoute, on aura une équation qui pourra être substituée à l'une des trois; et comme elle est identique, les trois équations se réduisent à deux. Le nombre des solutions est donc intïni, et le lieu des points qu'elles représentent est une droite passant par le point de rencontre des axes X', Y', /'.

Les équations (g) sont donc, par rapport aux axes X', Y', Z', les équations de i"axe autour duquel il faudrait faire tourner le système pour l'amener dans la position où il arrive quand, le point O restant fixe, les cosinus a, 6, c, </'. etc., prennent les accroissements Aa, Ai, etc.

Il est donc démontré que :

Tout déplacement d'un système rigide peut être produit par un mouvement de translation qui amène un quelconque de ses points dans la position qu'il doit avoir, suivi d'un mouvement de rotation autour d'un axe passant parte dernier point, et indépendant du point choisi.

Les cosinus des angles de l'axe de rotation avec les axes X', Y', Z', sont proportionnels à p, q, r, et ont par conséquent pour valeurs

iMTnonucriOK. 5y

lance de ce point à Taxe est le sinus de l'angle de cet axe

avec OZ, ou , la droite qui joint la première

et la seconde position du même point est ^Ax'-hAv'-hAs*, les quantités Ax, Ay, A; étant données par les équations (a) dans lesquelles A£, Aï;, A£, x' <> y' sont supposés nuls, et z' = 1 •, ce qui donne, pour la longueur de celte droite,

v'Ac'-H Ac^-t-Ac"1.

Mais cette même longueur divisée par la distance du point à Taxe de rotation donne le double du sinus au demi-angle de rotation, que je désignerai par w, on aura donc

. i \/'àc*+ Ar'3-u Ar"1 vV -h <7a -+- r* 21 sjn - « = - ;

2 vV -H 7'

mais on aurait de même trouvé, en choisissant le point sur les axes des x' oujr\

\/±b-+ A //'-+- A//'2 ^'+7,+ rI

et

s/^H-r3 d'où résulte

Afl'-fAg^+Afl^ A^+A^+A^' Ac3-f- Ac''-4- Ar"' f/2-hr* p3-i-r* />*-*-'/*

Afla-f-Ao',-HA^a-+-A^-|-A^2-hAÔ/,,-|-Ac»-f-Ar'*-f.Ar/'2

L'angle a) sera donc exprimé par la formule suivante, au moyen des données immédiates,

(io; sin - t» ^ — î- v'iwV"^ :-t ■ Aa' '*-r a'&VA&'VAA'M-Ac --f-At^-t-Ac' \