jy^j

;>8 intriiiiuction.

41. Les déplacement» de tons les points ont ries projections égales sur l'axe rie rotation. — En eflét, concevons un plan fixe perpendiculaire à cet axe; lous les points du système s'en éloignent ou s'en rapprochent également par la translation commune. Or la rotation qui suit ne cliangc pas leur distance à ce plan qui est perpendiculaire à l'axe. Uonc 1rs déplacements de tous les points donuent une même projection sur l'axe. Il en résulte que si, par un même point de l'espace, on menait des droites parallèles et égales aux déplacements de tous les points du système, les extrémités de toutes ces lignes seraient dans un même plan perpendiculaire n l'axe; et, par conséquent, il suflirait, pour avoir la direction de cet axe, de mener par un même point des droites égales et parallèles à trois déplacements, non parallèles à un même plau; de faire passer un plan par leurs extrémités qui ne seront pas en ligne droite, et d'élever une perpendiculaire à ce plan.

Si l'on commence par donner au système un mouvement de translation parallèle à l'axe et égal à la projection des

1WTKODI ctiow. :>9

la forme connue

x = Ç -f-x'cosa — y' sina, r = ïï -+- *' sin a -|- y cos a ,

a désignant l'angle de l'axe des x' avec Taxe des x. Or il est facile de voir qu'il existe un point qui a la même position avant et après le déplacement ; car il suffit de déterminer x', jf par les conditions £ix =o, Ar=o, qui donnent

AÇ -+- •*' A coia — y' A sina = o,

Ajj -f- rf A sina -+-y' Acosa = o.

Ces équations déterminent un seul système de valeurs de x\ y\ et, par conséquent, un seul point du système» ayant la même position après et avant le déplacement. Les coordonnées de ce point ne peuvent jamais être infinies, parce que leur dénominateur commun est

(A cos a)' -h(Asina)%

et ne peut jamais être nul, à moins toutefois que Ton n'ait

Acosa = o, Asina = o,

ce qui supposerait que l'angle a est resté le même, et que, par conséquent, le mouvement consiste dans une simple translation. D'où se conclut cette proposition :

Tout déplacement d'un corps, dans lequel ses points restent dans des plans parallèles à un plan Jixe, et qui ne consiste pas dans une simple translation , peut être produit par une rotation autour d^un axe perpendiculaire à ce plan.

43. Tout déplacement peut dire produit par un mouvement hélicoïdal. — En eilet, tout déplacement d'un

6o IKTBUnVCTIOH.

corps peut être [iroduil par une translation suivie d'une rotation autour d'un axe de direction fixe. Or cette translation peut être remplacée par deux autres successives : l'gne parallèle à l'axe cl de grandeur invariable, l'autre perpendiculaire à l'axe et dépendant, ainsi que la position absolue

del'

xe, du pou

choisi pour déterminer la iranslaiioi

Celte dernière translation et la rotation déterminant un

mouvement parallèle à un plan perpendiculaire à l'axe, peuvent être remplacées par une simple rotation aulour d'une parallèle à ecl axe. Doue :

Tout déplacement d'un corps peut être effectué en le liant à une droite fixe et le faisant glisser le long de cette ligne, puis tourner aulour d'elle; et ces deux mouvements successifs peuvent être remplacés évidemment par un mouvement hélicoïdal.

Celle proposition est démontrée ici pour un déplacement fini quelconque. Elle u'avaît été considérée précédemment que dans le cas. le plus généralement utile, d'un déplacement infiniment petit.

INTRODUCTION. ({f

tion sera arrivé en At, et par conséquent AA, fera un angle droit avec Taxe OI.

Or les axes X', Y', Z', dans leur nouvelle position, font avec OXt les mêmes angles qu'ils faisaient primitivement avec OX, puisque OX, qui leur est lié coïncidait d'abord avec OX; les cosinus de ces angles sont donc a,b7c. Ces mêmes axes font avec OX des angles dont les cosinus sont a + Aa, b + Ai, c + Ac. Ces derniers sont les projections de OA sur les axes X', Y', Z', et les premiers, les projections de OA' sur les mêmes axes ; de sorte que A a, Ai, Ac ne sont autre chose que les projections de la droite A' A sur les axes X', Y', Z'; et, par conséquent, les cosinus des angles que la direction A' A fait avec les axes X', Y', Z', sont proportionnels à An, Ai, Ac, et respectivement de mêmes signes. Donc, puisque les directions OI et A' A sont perpendiculaires entre elles, on aura

En considérant les axes des y et z au lieu de Taxe des x, on aura deux équations analogues*, ce qui donne les trois suivantes :

/ p\a -\-q\b 4-rAc =0, "(tl) J /?Aû'-h q\b' -+-rlc' = o,

( p±a'+q±b"+ric"=o.

Si maintenant on fait pour les axes des x\y* , zr ce qu'on vient de faire sur ceux des x,y, z, c'est-à-dire si Ton prend sur chacun de ces axes un point a la distance I de l'origine, et que Ton exprime que la droite qui joint la première et la seconde position de chacun d'eux est perpendiculaire à OI, on aura trois équations nouvelles.

En prenant, par exemple, le point sur OX', les projections de son déplacement sur les axe* X, Y, Z seront Aa, Aa', A a", et seront proportionnelles aux cosinus des an-

glcs que l:ii avec X, Y, / la direction suivant laquelle Iv point s'csl déplacé. Si ou lis multiplie respectivement par les cosinus des angles que fait 01 avec ces mêmes axes, la somme de ces produits sera nulle, puisque l'angle des deux directions est droit. On obtient, de cette manière, les trois équations suivantes :

[«/<-+- t? + <v-)Aa -M «> + t'y -|-rV) An' j inp-hùj-herïbb-t-la-,, -+-£'</ +-c'/-)A&'

I (tip -k- bij -\- cr)Lr. -*- (a'/j ■+- A' r, ■+- & r) Ar'

45. Directions sur lesquelles les projections de tous les déplacements sont égales. — Nous avons déjà reconnu que les projections de tous les déplacements sur Taxe sont égales ; il n'est pas inutile de montrer comment cette question pourrait être traitée directement.

Soient 1, fi, v les angles que forme avec les axes des x', j ', z' une direction jouissant de cette propriété. Les coms du déplaremeut d'un point quelconque, parallèle-

IftTRODLCTIOK. 63

données aux quantités x',y', z' . Or il est nécessaire et suffisant pour cela que les coefficients de ces trois variables indépendantes , dans l'expression ci-dessus, soient nuls quand on y remplacera Ax, Ay, A z par leurs valeurs données par les équations (a). On trouve ainsi les trois équations

(flAfl4-û'Aa/4-fl^a,,)cosX^-(6A«-+-A/Afl/-f-^Afl/')cosjx -4- (eba 4-e' Aa'4- c"La") cosv = o,

, {aAb+a'àb'+a''ïb")cos\+(bbb + b,*b'+b"±b")cosli {}V\ -L-[cbb-h-c'àb'+c"ïb")cosv = Q,

{aàc +a'Ac'+a',bc,'}cos\-+-(bbc-\-b,bc,+-b,'bc')co*p 4-(cAc 4- c'ac' -f c"Ac") cusv = o .

Ces équations déterminent les rapports des trois quantités cosX, cos/x, cos v. Or il est facile de voir que ces rapports sont précisément ceux des quantités p, </, r; car, si Ton remplace les premières par les secondes dans les dernières équations, elles deviennent des identités en vertu des équations (12). Donc la direction unique déterminée par les équations (14) coïncide avec celle de Taxe de rotation ; ce qu'il s'agissait de vérifier.

Tous les déplacements ayant des projections égales sur Taxe, il s'ensuit que des déplacements faisant avec Taxe des angles égaux différents d'un angle droit, sont égaux, et réciproquement. Cette condition renferme le cas de déplacements parallèles.

46. Equations de l'axe de rotation et de glissement. — Les points de cet axe se distinguent de tous les autres par cette propriété, que leurs déplacements sont parallèles à la direction de cette même ligne. Or les cosinus des angles que fait avec les axes X, Y, Z la direction du déplacement d'un point quelconque, sont proportionnels à Ax, A), As; et ceux des angles que fait Taxe de rotation avec ces mêmes

xes sout proportionnels à

ap-h bq-i-er, a'p-hù'i} -t-c'r, a"p + l"q-\- C* r. Les points de l'axe cherché sonidonc déterminés par

ap -t- bq H

"*> + *'ïH

cL si l'on y remplace A.r, Ay, A; par leurs valeurs données par les équations (a), on aura deux équations du premier degré entre x',y', z', et. les données, qui représenleront la droite cherchée, rapportée aux axes X', Y', Z'. Nous allons réduire tes équalious à l'expression la plus simple; pour cela, nous commencerons par meure les précédantes sous rette forme,

}ifl)a.r

(a'+ljfl')A,r

fw"+-;-fln")as

nouvelles expressions

i -+- rx' — pz' k -\-py' — qc'

les quantités //, i, k étant déterminées par les équations suivantes :

/=(*-MAA)AÇ-M*'-T- * = (c-f-iAr)A5-+-(c'-4-

Aû')Aiî-f-(a,,H-;-A/i//)AC, A*')A„-4-(6"-+-lA6")AÇ,

Ac/)Au-^(c//-+-; Ac")AÇ.

Les équations de l'axe seront donc

A -f- qz' — ry9 / -f- rx' — pz' k -\- py' — qx'

Ces fractions sont égales à celle que Ton obtiendrait en multipliant les deux termes de la première par /?, de la seconde par g, de la troisième par /', et ajoutant termes à termes ces nouvelles fractions; ce qui donne

ph -+- ql-\- rk p'-hq'-h** '

Or, d'après les valeurs de A, i, A, on trouve, en tenant compte des équations (i i),

ph -h qi + rk = (ap -+- bq -+-<:/•) A* -h {a' p -h b' q -+- c' r) A*

{a'p + Vq+crr)àl.

Mais le second membre de cette équation, divisé par jp* -j- q* -f- r% , serait la projection du déplacement de l'origine sur la direction de Taxe de rotation. Si donc on désigne cette projection constante par v, on aura

ph H- qi-{-rk = u \lp*-\- q7 -H r*.

Les équations des projections de Taxe sur les trois plans I. 5

6(3 intu'hh'ctiok.

coordonna X'. V, E seront *WM

A + ?»' — O ' ' + rx' — jg»' it 4-/>7' — y-i

vWï'-f F»*

i". Si, dans tous les calcula précédents, on suppose les de pi a céments infiniment petits cl exécutés dans un temps A/ tendant vers zéro, tous les accroissements tendront aussi vers zéro, et les équations que nous avons obteuucs donneront des relations entre les limites des rapports des accroissements des variables, ou entre leurs différentielles. On les déduira des premières en négligeant les infiniment petits du second ordre, et changeant la caractéristique A en à.

points du système. Mous allons examiner rapidement ces diverses propositions.

Du mouvement infiniment petit d'un système rigide.

48. En diflerentiant les équations (i) du n° 38 par rapport à t et supposant x', y', zf constants, on obtient

dx d\ da , db .de

Tt=*+X Tt+3r -*+•*'

! dy dit ,da' , db' , de'

M "Zssm+'T+' lu** HT

rfÇ ,da" ,db" ,dc"

Ce sont les valeurs des composantes X, Y, Z de la vitesse d'un point quelconque du système, ayant pou r coordonnées invariables x',y\ z1 par rapport aux axes X', Y', Z'.

On. les obtiendra en divisant les équations ( a) du même numéro par Af et passant à la limite des rapports lorsque âl tend vers zéro.

40. Composantes de la vitesse dans le sens des rixes mobiles. — En multipliant les seconds membres des équations (i) respectivement par a, a', a!\ et les ajoutant, on aura la composante de la vitesse dans le sens des x'\ on aura de même les composantes dans le sens des/7 et des z'. Désignons-les par <i, e, w et soient A, *, k les composantes de la vitesse de l'origine mobile, suivant ces mêmes directions; c'est-à-dire posons

<*5 , / dn , „ dt> dt dî dt

dl , / dn . „d$ de dt dt

iiNTHOnvt'Tina.

u = /t + ,rJ — /.»', i •■ = , +rx' — /«', ' «-=*-(- pf — qx'.

pdt = cdb -\~ c' db' -+- c" db", ndt = nde -+- a' de' + a" de", n/i= bda -+- b'da' + b" do" .

Les premiers termes h, i, À sont les composantes île la vitesse du mouvement commun de translation; de sorte .|ue les eoniposanlcs dues au mouvement de rotation autour de l'origine supposée immobile, sont

1%' — rf, r-r1 — pz', pj' — qx' .

50. Axe instantané de rotation. — Les points dont la vitesse est nulle dans le mouvement autour de l'origine supposée fixe, seront donnés par les trois équations-suivantes, qui se réduisent à deux :

INTRODUCTION. 6g

sullent n'étant que des infiniment petits du second ordre, pour les points situés à une distance finie de cet axe.

11 résulte de là que tout mouvement infiniment petit autour d'un point fixe peut être considéré comme ayant lieu autour d'un axe passant par ce point.

Et, par conséquent,

Tout mouvement infiniment petit d'un corps peut être considéré comme résultant d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe.

51. Expression de la vitesse angulaire. — Dans ce mouvement autour d'un axe fixe, la vitesse angulaire est égale à la vitesse d'un point quelconque, divisé par la distance de ce point à Taxe. Si Ton choisit à cet eflet le point situé sur Taxe z' à la distance i de l'origine, ses coordonnées seront

les composantes de sa vitesse, parallèlement à ces axes, seront, d'après les formules précédentes, q, — p,o', sa vitesse

sera donc vV~r~7>a $a distance à Taxe sera le sinus de

l'angle de cet axe et de Taxe z\ ou ** -? — , Donc la

vV* -h 9" + r»

vitesse angulaire w aura pour valeur

52. «Se/i5 de la rotation. — II reste à déterminer le sens de la rotation du système, ou, ce qui est la même chose, le sens de la rotation qui s'effectue dans un plan quelconque perpendiculaire à l'axe. Il suffit, pour cela, de reconnaître si la direction de Taxe de cette rotation correspond aux signes supérieurs ou aux signes inférieurs des expressions (5). Nous considérerons, à cet effet, le plan mené par l'origine perpendiculairement à l'axe, et nous

Tioa .

allons chercher la dîrectiou de l'axe de la rotation effectuée dans ce plan par la droite menés de l'origine à l'un quelconque des points de ce plan, ayant pour coordonnées x\ y', z'. Ce point, à partir d'une quelconque de ses positions, se meut dans la direction de sa vitesse, qui fait avec les axes X', Y', Z' des angles dont les cosinus sont proportionnels à ii, i', %v; de sorte que, pour avoir l'aie de la rotation du rayon mené de l'origine à ce point, il suffit de recourir aux formules (i) du n" 19, en remplaçant la direction (*Sy) par celle du rayon, et la direction (a' S' /) par celle de la vitesse. D'où il suit que les cosinus des angles que fait la direction de l'axe de ta rotation avec celles des .r', y', z' seront de mêmes signes que les expressions

et il n'y a plus qu'à reconnaître si les signes de ces expressions sont les mêmes que ceux de n, </, r, ou contraires. Nous prendrons, pour plus de simplicité, z' '= o; d'où

trois cosinus, on aura ses composantes suivant les axes X', Y', Z'. Leurs valeurs en grandeur et en signes seront donc

' 53. Axe instantané de glissement et de rotation. — La proposition établie dans le n° 50 ayant lieu pour tout mouvement du corps, aura lieu lorsque ce mouvement sera infiniment petit; et Ton retrouve cette proposition, démontrée d'abord géométriquement ;

Tout mouvement infiniment petit d'un corps peut être produit par un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, suivi ou précédé d'un mouvement commun de glisse» ment le long du même axe.

Cet axe instantané de glissement et de rotation peut encore être envisagé autrement. En substituant, comme nous l'ayons déjà dit, aux espaces infiniment petits parcourus par les points du système dans un même temps, les vitesses mêmes de ces points, on a l'énoncé suivant :

Les vitesses de tous les points d'un corps à un instant quelconque peuvent être considérées comme résultant de la composition de vitesses égales et parallèles à une même droite, et des vitesses qu'auraient ces points dans un certain mouvement de rotation autour d'un axe parallèle à cette même droite.

La composante parallèle à l'axe n'est autre chose que la projection de la vitesse de l'origine mobile sur l'axe ; la vi -

tesse angulaire du mouvement de rotation est y7/?* -*-çf 4- /* ; et la direction de cet axe est celle qui fait avec les axes des x' ,y\ z' des angles dont les cosinus sont proportionnels à /;, qs r et de mêmes signes que ces quantités.

54. Équations de Vaxe instantané de glissement et de rotation. — Les équations de l'axe de glissement et de

J1 IfiTItOIJUrTIOll.

rota lion do d nées, dans le n" 46, pour un mouvement fini quelconque, se changeront dans les équations cherchées en divisaul les deux membres par A( et passant aux limites. Les quantités p, q, r se changeront en celles que nous désignons actuellement par ces mêmes lettres; /t, (, k deviendront les composâmes de la vitesse de l'origine dans le sens des axes X', Y', 11, que nous représentons encore par ces mêmes letrres; enlin, u, qui représentait le déplacement de l'origine estimé dans le sens de l'axe, deviendra la vilesse de cette origine estimée suivant cette même direction ou la vitesse de glissement. Nous la désignerons par la même lettre, et par u\ v", \>'" ses composantes suivant les axes X', Y', Z'. Les équations de l'axe instantané de glissement et de rotation seront donc, par rapport aux axes mobiles,

IWTROOUt.TIOH. 73