D*UN POINT

55. Lorsqu'un point a un certain mouvement continu par rapport à un système rigide, et que ce système a luimême un mouvement continu dans l'espace, le point est dit avoir un mouvement continu composé des deux autres. Et nous avons remarqué (n° 26) qu'en partant d'une époque quelconque, on aurait la position du point après un temps quelconque, en laissant se mouvoir le système pendant ce temps, le point y occupant toujours la même position ; puis faisant mouvoir le point dans ce système immobile pendant ce même temps, de manière à y prendre la position relative qu'il doit avoir. On pourrait aussi commencer par faire mouvoir le point dans le système laissé immobile, puis donner au système le mouvement qu'il doit avoir pendant le même temps, le point y conservant toujours la même position relative.

La manière la plus commode de déterminer ces deux mouvements consiste à prendre trois axes rectangulaires liés invariablement au système. La position relative du point se détermine par ses coordonnées par rapport à ces axes, et le mouvement du système par les positions successives de ces mêmes axes. Si Ton connaît les deux mouvements composants, les coordonnées du point par rapport aux axes mobiles sont des fonctions connues du temps, ainsi que les coordonnées de l'origine mobile et les inclinaisons de ces axes sur des axes fixes.

Cela posé, nous allons chercher comment on peut déterminer, dans le mouvement résultant, ou composé, du point, les deux éléments importants que nous avons considérés

^4 IHTBODUCTIOrf.

daus le mouvement en général, savoir,

56. f''itessc dans le mouvement composé. — Soient M [fig- ia) ta position du poiui n une certaine époque; Mli ta trajectoire du point du système qui coïncide avec M à cette époque; M, la position de ce point après un temps iutiulmenl petit 8; M,V la posiliou qu'occupe après ce temps la ligne liée au système rigide et sur laquelle reste le point mobile, autrement dit la trajectoire relative; M|M' l'are que ce point a parcouru sur celte courbe, depuis l'époque où Mi était en M, c'est-à-dire pendant le temps 6. M' sera la position du mobile après ce temps, et sa trajectoire absolue sera une ligue M Ml passant par M et M'.

Si maintenant on joint les points MM' M, par des droites, et que l'on lasse tendre 8 vers zéro, ces droites auront pour limites de leurs directions les tangentes aux trois courbes MU, MT et M, V, cette dernière étant prise dans sa position limite, c'est-à-dire quand M, est en M. Les rapports des côtés du triangle MM' M, auront les mêmes limites que les rapports des arcs MM,, M, M', MM' qui sont parcouru-'

rallélogramme dont les côtés adjacents seraient les tangentes CE M à la trajectoire relative du mobile et à la trajectoire du point coïncident du système, et auraient des longueurs proportionnelles aux vitesses de ces points sur ces courbes.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

La vitesse du mobile dans son mouvement composé est représentée, en grandeur et en direction, par la diagonale du parallélogramme dont les deux côtés adjacents représenteraient, en grandeur et en direction, la vitesse relative du mobile et la vitesse du point coïncident du système.

On peut donc dire, d'après la définition donnée n° 10 de la composition des vitesses, que :

La vitesse, dans le mouvement composé, est la résultante des vitesses dans le mouvement relatif et dans le mouvement du point coïncident du système.

57. Fitesse relative. — Soient MUTV (fig. i3) le parallélogramme construit sur les lignes MV, MU tangentes en M, la première à la trajectoire relative, la seconde à la trajectoire du point M appartenant au système -, les longueurs MV, MU représentant les vitesses sur ces deux trajectoires. Nous venons de voir que la diagonale MT représentera en grandeur et en direction la vitesse du mouvement absoivi du point dans l'espace.

Mais si Ton prend sur le prolongement de MU, MU; égal à MU, MV sera la diagonale du parallélogramme construit sur MU' et MT. On peut donc énoncer ce théorème :

La vitesse relative dun point, par rapport à un système rigide en mouvement, est la résultante de sa vitesse absolue et de la vitesse, prise en sens contraire, du point coïncident du système.

38. Déviation dans le mouvement composé. — Soient M ( /'£- ■ 3 } la position du point mobile à une époque quelconque ; MV la ligne sur laquelle il se meut dans le système, ou sa trajectoire relative; MU la ligne que décrit le point M du système. Supposons qu'après un temps infiniment petit 6 le mobile soit eu m sursa trajectoire relative, et le point M ■ lu système, en M,. Soient MT, MT, les parties des tangentes » ces courbes qui seraient décrites uniformément dans le temps S avec les vitesses qui ont lieu en M dans les mouvements sur ces courbes.

I.a déviation dans le mouvement du point, par rapport au système après le temps 0, est Tffl; elle eslï, M, dans le mouvement du poiut M du système.

La diagonale MT' du parallélogramme TMT, T' donne la direction de la tangente à la courbe décrite parle mobile dans l'espace; et sa grandeur représenterait la vitesse sur cette courbe, si l'on prenait MT, MT, pour représenter les vitesses sur les deux autres; et, par conséquent, MT' est l'espace que décrirait dans le temps ô un point qui se mouvrait sur cette tangente avec la vitesse que le mobile a en M sur sa trajectoire absolue.

translation commune, qui amène M en Mt, el une rotation autour d'un certain axe Mt I dont la direction , ainsi que l'angle de rotation, ne dépendent que du changement de direction des lignes du système. Cet axe peut être confondu avec Taxe instantané, lorsque 0 est infiniment petit; et l'angle décrit autour de M, I peut être considéré comme le produit du temps 0 par la vitesse angulaire correspondante à la position M. Or il est facile de suivre le point m, entraîné ainsi parle système auquel il est lié.

En effet, opérons la translation MM! au moyen des deux translations MT,, Tt Mt. Par suite de la première, la droite MT vient en T, T' ; par suite de la seconde, elle vient en Mifi,T'jx étant pris égal et parallèle à T, M,. Menant ensuite fifi' parallèle et égal à T/ra, (xf sera la position de m après la translation. Effectuant maintenant la rotation autour de Mt I, le point \i' décrira un arc de cercle jx' M7 perpendiculaire au plan IM, p', et ayant pour rayon la perpendiculaire abaissée dejx'sur Taxe Mt I. Alors toutes les choses se trouvent telles qu'elles doivent être dans le mouvement réel après le temps 0; M' est la position absolue qu'occupera le mobile : et, par conséquent, T' M' est la déviation cherchée.

Or, en considérant le polygone fermé T' fxfx' M', on voit que la ligne T" M' est la résultante des lignes T' p, pp', p'M' prises dans les directions suivant lesquelles elles sont décrites en partant de T'. La première n'est autre chose que la déviation T, Mt, transportée parallèlement à ellemême, sans changer de grandeur ni de sens; la seconde est la déviation Tm, semblable ment transportée. Quant à la tromème ligne p'M', sa direction a pour limite la perpendiculaire au plan mené parla direction limite de M, I, qui est celle de Taxe instantané, et par la direction limite de Mi jz', qui est celle de M, p, vu que fifi' est un infiniment petit du second ordre, et M, fi' du premier. Ainsi la ligne

7» iSTHimtCTlOl».

u' M ' peut être considérée roui nie perpendl valoir* au plan ijtii cou tient des parallèles à l'axe instantané de rotation et à la direction MT de la vitesse relative du mobile.

Il est essentiel de remarquer que le sens de celte direction est celui du mouvement de rotation. De sorleque si on le considérait comme axe d'un mouvement direct de rot*lion exécuté dans le plan auquel elle est perpendiculaire, le sens de ce mouvement serait de l'axe instantané vers la direction de la vitesse relative,

Il ne reste plus qu'à trouver la mesure de la grandeur fi' M'. Si l'on désigne paru la vitesse angulaire du système, pari',, la vitesse relative, et par â l'angle de la direction de cette vitesse avec celle de l'axe instantané, lerayondu cercle décrit par f/ sera M, j/'sin â, qu'on pourra remplacer par M.psind ou 0vr sin d; l'angle au centre sera 9w, et l'on aura, par conséquent,

iU'M'=8'»ïr»inJ.

l.a question est donc entièrement résolue, et le résultat

I suit :

Lu déviation ilans ie mouvement composé tTun point

INTRODUCTION. 7%v

viiesse relative sur un plan perpendiculaire à F axe instantané.

59. Il est bon de remarquer que la vitesse dans le mouvement composé ne dépend que des vitesses, du point mobile relativement au système, et du point coïncident du système; tandis que la déviation dans le mouvement composé n'est pas déterminée par celles qui ont lieu dans ces deux mouvemenU.il n'en serait ainsi que dans le cas où le mouvement du système se réduirait à une simple translation. S'il y a une rotation, il en résulte une influence qui ne peut plus être négligée, parce qu'elle est du second ordre infinitésimal, et que, dans la mesure de la déviation qui est du second ordre, on ne peut uégliger que les quantités d'ordre supérieur au second.

60. Cas particuliers. — i° Si le mouvement du système se réduit à une translation, suivant une loi quelconque, la vitesse angulaire devient nulle, et la troisième composante disparait* Dans ce cas, la déviation résulte de la composition de celles qui se rapportent au mouvement relatif et au point appartenant au système.

2° Si la translation avait lieu dans une direction constante et avec une vitesse constante, la déviation du point du système serait nulle, et, par conséquent, la déviation dans le mouvement absolu du mobile serait identique à celle du mouvement relatif.

3° Si le mouvement du système se réduit à une rotation autour d'un axe, le point appartenant au système décrit un cercle autour de cet axe. Si Ton suppose, de plus, que le mouvement soit uniforme, la déviation de ce point est dirigée vers le centre de ce cercle, et n'est autre chose que la déviation centripète.

61 . Déviation dans le mouvement relatif. — On déduit de la proposition précédente un corollaire très-impor-

ILCTIUN.

Uni, Dans 10 ut polygone fermé, un côté quelconque ponvani Être regardé comme la résultante Je tous les autre-;, il s'ensuit que daus le polygouc T'(/ju' M, la ligue fju/ est la résultante des trois lignes pT', T'M', M'ja' décrites cil parlant du point /i. Dansée mouvement, la dû via lion T' M' est prise dans sa véritable direction; mais la déviation T, M, ouT'fi est en sens inverse, et la direction ftl'f*' esi opposée à celle que cette même droite avait dans le cas précédent. D'où résulte ce théorème important :

Si un point a un mouvement absolu dans r espace et que l'on considère son mouvement relatif à un système rigide qui a lui-même un mouvement absolu; c'est-à-dire si Fou considère la suite des positions que ce point occupe dans ce système à chaque instant, et quart observateur qui croit le système immobile, regarde comme des positions absolues ; la déviation du mouvement sur cette trajectoire apparente, ou relative, est la résultante de trois lignes qui sont : i° fa déviation dans le mouvement absolu; aD la déviation, prise en sens contraire, danslemouvement du point coïncident du système; 3° une ligne égale ' du carré de F intervalle de temps infiniment

INTRODUCTION. 8l

Considérons trois axes rectangulaires OX',OY', OZ' faisant partie du système rigide en mouvement , et soient £, 17, f, les coordonnées de l'origine O. On aura, entre les coordonnées x', y\ z' du point mobile par rapport à ces axes, et ses coordonnées ar, y, z par rapport à des axes fixes, les équations connues

( x =r Ç -+- ax' 4- bf -f- <*',

( z = C -f- a"*' 4- 6'/+ c'V ; on trouve, éh les différen liant,

dx d\ ,da ,db , de

dt di dt J de de

dx' , dr' dz' + a — + b -^-+c— , dt dt dt

dx dn ,da' ,db' ,dc'

dt dt dt ^J dt ^ dt •

fdx' Ltdr' ,dz' dt dt dt

dz dl ,da" tdb" ,dc"

— = — --4-x' h y' hï —

dt dt^ dt J dt^ dt

, *dx' LKd?' „dz'

\ ^ dt dt^ dt

Les premiers membres de tes équations sont les composantes de la vitesse absolue du mobile, parallèles aux axes X, Y, Z.

Les quatre premiers termes des seconds membres de ces

équations sont les valeurs que prendraient — , -y-, — - si

x\y\ «'étaient constants-, ils représentent donc les composantes parallèles à X, Y, Z de la vitesse du point du système qui coïncide avec le mobile, à l'instant que Ton

considère. Si maintenant on observe que — r-5 -~, — -- sont

^ dt dt dt

8 a iktkodlctuj.v

les composantes parallèles à X.', ¥', Z de la vitesse relulive, ou apparente, du mobile dont nous représentons les coordonnées relatives par x', > ', z', on reconnaîtra immédiatement que les trois derniers termes des formules (a} représentent les composantes de celte vitesse relative, parallèles aux trois axes fixes X, Y, Z. On retombe ainsi sur cette proposition, déjà démontrée géométriquement :

La vitesse dans le mouvement composé d'un point est fa résultante de la zùtesse de ce point par rapport au système, et de la vitesse du point coïncident du sjstème. D'où l'on conclut encore que: •

La vitesse relative du point est la résultante de sa vitesse absolue, et de la vitesse, prise en sens contraire, du point coïncitlent du système.