DifTérenliant de nouveau les équations (a), nous

Si Ton suppose toutes ces expressions multipliées par - *

les premiers membres des équations (3) seront les composantes de la déviation, correspondante à l'intervalle 0, dans le mouvement absolu du point, estimées parallèlement aux axes X, Y, Z.

Examinons maintenant les trois parties dans lesquelles nous avons décomposé les seconds membres. La première exprime dans les trois équations les valeurs que prennent

d} x d* y d* z respectivement-—» -t^-> — lorsqu'on suppose x\j\ z'

constants; c'est-à-dire lorsqu'on suppose le point (oejz) lié invariablement au système. Ainsi, après l'introduction du

0* facteur ? les premières parties en question sont les com-

posantes de la déviation du point du système qui coïncidait avec le mobile : les secondes parties sont les composantes de la déviation dans le mouvement relatif du point, estimées de même parallèlement aux axes X, Y, Z. H ne reste donc plus qu'à interpréter les dernières parties, et à reconnaître de quelle ligne elles sont les composantes par rapport à X, Y, Z.

Pour cela nous chercherons les composantes de cette ligne par rapport à X', Y', Z'; ce qui se fera en ajoutant les projections des premières composantes sur ces nouveaux axes; on obtient ainsi, en négligeant le facteur 0% les trois expressions suivantes :

dz1 dy' dx' dz' dy' dx'

<♦> i-dF-r-ïïr' rin-p-dï' '-*-'-*'

et il suffit de déterminer la ligne dont elles sont les projections sur X', Y', Z'.

Mais, d'après les formules (4) du n° 19, on voit que, si par le point O on mène deux droites 01, OV, dont les

0(j INTRODUCTION.

composantes soient, pour la première, ft, q, r, cl pour la

, dx' dr' dz' . , , , ,

seconde, —r-t ^— » — -, k's expressions 4) représentent les ' dt dt ilt l y*t. ,r

projections de Taire du parallélogramme construit sur ces

deux lignes, sur les plans des x\y', s' : elles sont donc

proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec

X', V, Z' Taxe de celte aire, et leurs signes se rapportent

à la direction de Taxe de la rotation qui amènerait 01 vers

OV par le plus court chemin.

L'aire de ce parallélogrami

produit de ses deux côtés adja

glc : de sorte que la ligne dot

projections, et qui est dirigé:

vient d'être défini, est égale i

angulaire, vr la vitesse relall

peut eue remplacée par le nls et du sinus de leur anles expressions (4) sont les livant Taxe de rotation qui ivr si n <î, m étant la vitesse du mobile, et 3 l'angle de

la direction de cette vitesse et de Taxe instantané. En multipliant cette valeur par 0*, on aura la troisième eompo-

nle de la déviation dans le

ibsolu du mobile, déjà donnée

Si Ton connaît seulement une des deux trajectoires, absolue ou relative, on en déduira facilement l'autre. Si, par exemple, on donne deux équations entre ar, y, z seulement, qui déterminent la trajectoire absolue du mobile, il suffira d'éliminer x,y^ z, t entre ces deux équations et les équations (3), et Ton aura deux équations entre x\y\ z' seulement, qui seront celles de la trajectoire relative. Il en serait de même si l'on donnait d'abord deux équations entre x\ jr\ z1, et qu'on demandât celles de la trajectoire absolue.

U est facile de généraliser ces considérations en substituant à un point un système rigide dont le mouvement pourra être déterminé par trois de ses points, ou de toute autre manière. On verra facilement que son mouvement relatif peut être déduit de son mouvement absolu, et réciproquement. Nous nous écarterions de notre objet en entrant dans plus de détails à cet égard.

Autre manière d'envisager le mouvement relatif.

65. Dans ce qui précède, nous avons considéré le mouvement relatif comme un des mouvements composants d'un corps, ou d'un point matériel. Nous avons cherché comment les données de ce mouvement pouvaient servir à déterminer, soit la vitesse, soit la déviation dans le mouvement absolu; et il a été facile de déduire de là l'expression de ces mêmes quantités dans le mouvement relatif.

Mais on peut aussi se proposer directement l'étude du mouvement relatif, et Ton peut, pour cela, procéder de plusieurs manières. La marche que nous choisirons est celle dont l'idée générale se reproduit identiquement dans les questions les plus diverses, et qui ramène le plus naturellement à la considération du mouvement absolu.

$6 IHTRODICTIO».

Elle consiste à laisser s'clïectuer les deux mouvements, puis à lier entra eux le point ou le coq» avec le système par rapport auquel on le considère, et à donner à leur ensemble un mouvement qui ramène ce dernier à sa première position.

De cette manière, le corps aura toujours les positions relatives qu'il doit avoir dans le système en question qui s* trouvera rendu immobile. Et il sufGt d'ajouter un mouvement de plus à ceux auxquels le corps est assujetti ; savoir, le mouvement d'ensemble qui ramène constamment le système de comparaison dans sa première position. On voit ainsi qu'en ajoutant un nouveau mouvement au corps, et cherchant le mouvement absolu résultant, ce dernier sera préi isémeut le mouvement relatif, tel qu'il aura lieu dans le système, et que l'on se propose d'étudier. Toute la question consiste donc dans la détermination précise du mouvement à introduire, puisqu'uprès cela on rentre dans la considération ordinaire du mouvement absolu. Telle est la méthode depuis longtemps suivie, et que nous allons appliquer aux deux questions principales qui se rapportent au iveuieiil d'un seul point.

puisque MK esl du premier. Nous pourrous donc négliger cetle quantité et supposer que M; reste en K. Or, les directions des trois droites MK, MM', MM, ont pour limites celles des tangentes aux trajectoires, relative et absolue, du mobile, et à celle du point coïncident du système-, et les rapports de ces trois droites ont pour limites ceux des vitesses sur ces trajectoires. D'où Ton conclut, comme précédemment, que :

La vitesse relative est la résultante de la vitesse absolue, et de la vitesse, prise en sens contraire, du point coïncident du système.

67. Déviation dans le mouvement relatif. — La quantité 1 calculer étant du second ordre infinitésimal, nous ne pourrons plus négliger, comme nous venons de le faire, le mouvement de rotation qui introduit une quantité du second otdre.

Soient M (fig* i4) 1* position du mobile à un instant quelconque, M' celle qu'il occupe après un temps infiniment petit 0, et V celle qu'occuperait sur la tangente à la trajectoire un point partant de M en même temps que le mobile, et se mouvant uniformément avec la vitesse que celui-ci t en M; TM' sera la déviation dans le mouvement absolu. Soit de mêmeTtM, la déviation après le temps 0, dans le mouvement du point du système qui coïncidait avec le mobile en M. Les longueurs MT*, MT, pourront être prises pour représenter les vitesses en M sur oes deux trajectoires.

Or, pour avoir la déviation dans le mouvement relatif, il faut commencer par mener en M la tangente a la trajectoire relative, supposer un point qui s'y meuve uniformément avec la vitesse relative pendant le temps 0, tandis qu'elle est entraînée par le système avec lequel elle est fixement liée, puis joindre le point où il est ainsi parvenu

aa introduction.

avec le point M'; cette droite sera, en grandeur et en dîiei-

lion, la déviation dans le mouvement relatif.

Cela pose, considérons le point M' comme lié au système, et ramenons celui-ci dans sa position primitive; la déviation relative se sera transportée dans une position qu'il est très-facile de déterminer.

Donnons d'abord au système les deux mouvements de translation MjTj et T, M qui ramènent le point M, à sa première position M. En menant M' 77/ égal et parallèle à T,M, '."'/- égal et parallèle à M,T,, on aura la position de M' après les deux translations.

Lorsque ensuite le système tournera autour de l'axe instantané passant par M, avec la vitesse angulaire w, pendant le temps 9, le point jt décrira un arc infiniment pelil u . . que nous déterminerons tout à l'heure ; fi! sera la position du mobile lorsque le système sera revenu à sa première position.

Daus cette situation la tangente à la trajectoire relative sera daus la direction M(', et la longueur même Ml' sera l'espace parcouru uniformément avec la vitesse relative, pendant le temps 0, dans lequel les longueurs MT', et MT,

IHTRODUCTION. 89

perpendiculaire au plan IM^ mené par Taxe instantané et la vitesse relative, et le sens que Ton doit prendre est celui de la rotation elle-même. Sa valeur est le produit de l'angle de rotation (ùO par la distance de t! à MI, ou par le produit de M*7 par sinlMl7; et comme Mt'= 0fr, fr désignant la vitesse relative, l'arc fjtfx' a pour valeur d'cotvsinIMt', en négligeant Ifs quantités infiniment petites d'ordre plus élevé. On nttombe donc sur les résultats précédemment obtenus, et l'on retrouve la décomposition de la déviation relative, telle qu'elle est énoncée dans le n° 61.

COURS