NOTIONS ET PRINCIPES GÉNÉRAUX

1 . On dit qu'un point est en repos lorsqu'il occupe constamment la même position dans l'espace, et qu'il est en mouvement lorsque cette position change d'une mmanière continue. Nous ne pouvons par aucun moyeu reconnaître si un point est ^n repos ou en mouvement, parce que nous ne connaissons pas d'objets fixes auxquels nous puissions rapporter sa position : seulement nous pouvons affirmer que si Ul position relative de plusieurs points n'est pas restée la àême, il y en a nn certain nombre dont la position absolue a changé.

Lorsqu'un grand nombre d'objets conservent la même position relative, on est porté à les juger en repos, et si l'un d'eux change de place par rapport au système, c'est à lui qu'on attribue le mouvement. C'est ainsi que l'on a cru

pendant si longtemps la terre immobile dans l'espace. Lue élude approfondie des phénomènes peut modifier cette première impression ; mais on ne peut jamais avoir de certitude à cet égard, et les principes sur le mouvement absolu, auxquels on est conduit par l'observation des mouvements relatifs, ne sont que des inductions qui peuvent avoir une grande probabilité, .mais qui ont toujours besoin d'être vérifiées par l'accord entre les conséquences logiques auxquelles elles conduisent et les phénomènes ohservés direc-

1. Forces. — Le principe le plus simple auquel ou parvient de cette manière, consiste en ce qu'un point qui est en repos absolu y resterait indéfiniment s'il ne survenait certaines causes eu dehors de lui qui le missent en mouvement. Ces causes se nomment des forces, et la direction d'une force est celle de la ligne suivant laquelle le poiut se mouvrait en vertu de son action, s'il était eutièrement libre.

La notion des forces est une des plus simples et des plus incontestables; elle nous vient de l'expérience de tous les

nées expérimentales bien constatées, et nous n'emploierons le raisonnement qu'à en développer les conséquences. .

On dit que des forces sont égales lorsque, appliquées en sens contraires à un même point libre et en repos, elles ne lui font prendre aucun mouvement. La notion de l'égalité conduit à celle du rapport quelconque, en entendant par somme de plusieurs forces, la force qui peut remplacer V ensemble des premières sollicitant le même point dans la même direction. Les forces, pouvant ainsi être évaluées en nombres, peuvent aussi être représentées par des longueurs , et il sera commode de prendre ces longueurs sur la direction suivant laquelle elles agissent, et à partir du point auquel elles sont appliquées.

3. Masse. — L'expérience montre que la même force ne produit pas toujours un mouvement identique quand elle est appliquée à des corps différents. Ce fait donne lieu à une notion nouvelle qui est celle de masse.

On dit que deux corps d'espèce quelconque ont même masse, lorsque des forces égales produisent des mouvements identiques sur ces corps libres et partant du repos. Si on lie ensemble deux corps, on en forme un nouveau dont la masse est dite la somme des masses des deux autres. L'idée de masses égales conduit k celle de masses dans un rapport quelconque ; et les masses de tous les corps peuvent être représentées par des nombres, si on les rapporte à celle d'un volume connu d'une matière déterminée.

On voit par là que des corps formés d'une même substance homogène ont des masses proportionnelles à leurs volumes, et, par conséquent, aux quantités de matière qu'ils renferment. Mais, comme on ne pourrait attacher aucun sens précis à la comparaison des quantités de matière de deux substances différentes, ni surtout en tirer aucunes conséquences relativement aux effets des forces, on n'a dû

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admettre d'autres caractères distîaclifs entre les différents corps et les différentes substances, que ceux qui dépendent de la manière dont ils se comportent sous l'action des forces qui les mettent en mouvement.

La notion de la masse offre donc cette différence essentielle avec celle de la force, qu'elle ne peut s'acquérir que par le mouvement; tandis que la notion de la force peut s'acquérir, soit en produisant un mouvement, soit en l'empêchant de se produire.

4. Demi/à. — On appelle densité d'un corps homogène la masse renfermée sous l'unité de volume; elle est, par conséquent, le rapport de la masse renfermée sous un volume quelconque à ce volume.

Lorsqu'un corps n'est pas homogène, on appelle densité en un quelconque de ses points, la densité moyenne d'une portion du corps, infiniment petite dans tous les sens, dans laquelle se trouve ce point; ou, en d'autres termes, la limite du rapport de la masse renfermée dans cette portion à son volume, quand il tend vers la limite zéro. Cette limite devra être employée de la même manière que la densité

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pelle la statique; les lois du mouvement forment ce que Ton appelle ordinairement la dynamique; et la réunion de ces deux branches constitue la science à laquelle on a donné le nom de mécanique.

Principes d'un usage continuel.

6. Premier principe. — Lorsqu'un système de points est en équilibre, on ne détruit pas cet état en fixant un ou plusieurs de ces points, ou en établissant entre eux des liaisons nouvelles. En effet, on n'introduit ainsi aucune force -, ou donne seulement des moyens de détruire certaines forces nouvelles que Ton introduirait dans le système.

Nous admettrons encore, soit comme évident de soimême, soit comme résultat de l'expérience, que lorsqu'un système de points est en équilibre, cet état subsisterait encore si Ton ajoutait de nouveaux points ou qu'on en supprimât, pourvu que toutes les liaisons primitives ne fussent pas altérées. Ainsi, en supposant le système entièrement rigide ou solide, ce que nous désignerons quelquefois sous le nom de corps solide, on pourra y lier ou en retrancher une quantité de matière quelconque, pourvu que les points auxquels sont appliquées les forces ne puissent changer leurs distances mutuelles et qu'aucune force nouvelle ne soit introduite^ et l'équilibre ne sera pas troublé : de sorte qu'on n'a à s'occuper que du système des points d'application et de leurs liaisons extérieures, indépendamment de la matière qui compose le corps et de la forme qu'on lui donne.

7. Deuxième principe. — On peut, sans rompre l'équilibre d'un système, introduire de nouvelles forces telles, qu'elles se détruiraient si elles agissaient seules sur lui. Cela est évident, en supposant les résistances du système susceptibles d'une intensité indéfinie. On peut aussi sup-

primer des forces qui se détruisent effectivement par 1rs

efforts exerces par ce système.

Mais il faut bien rema ri [tier qu'il ne suffirait pas que ces dernières fussent en équilibre dans le cas où elles agiraient seules sur te système. Si elles ne produisent pas réellement les efforts qu'elles produiraient si elles étaient seules, elles ne se détruisent pas entre elles, et dès lors on ne saurait aflirmer que l'équilibre ne serait pas rompu si on les supprime.

8. Troisième principe . — On peut, sans détruire l'équilibre, supprimer un groupe de forces telles, que des forces respectivement égales, et appliquées aux mêmes points en sens contraire, seraient en équilibres! elles existaient seules sur le système. En effet, d'après le principe précédent, on ne dérange pas l'équilibre primitif en introduisant ces dernières forces; mais chacune d'elles détruisant la force égale et contraire appliquée au même point, on peut les supprimer l'une ci l'autre en chaque point sans déranger l'équilibre, et il ne reste plus que les forces primitives, moins le groupe en question.

11 est à remarquer que Ion peut ainsi supprimer un

9. Remarqua. — Quelque rigides que soient les corps, les forces qu'ils détruisent opèrent toujours de petits changements dans la position relative de leurs molécules. On n'en tiendra ici aucun compte; et Ton supposera que des forces qui se font équilibre sur un corps, et qui ont, par cela même, dérangé tant soit peu ses molécules, s'y feraient encore équilibre si, par des moyens quelconques, on pouvait rendre ce corps assez rigide pour que le dérangement fût encore bien plus insensible et même nul.

Exemples de l'application des principes précédents.

10. Avant d'aller plus loin, nous allons montrer, par an exemple très-simple, combien il est nécessaire d'avoir égard à l'observation que nous avons faite au sujet du second des principes précédents, et comment cette difficulté disparaît par l'application du troisième.

Soient A et B (fig. i5) deux points liés de telle sorte, qu'ils ne puissent s'éloigner l'un de l'autre , mais qu'ils puissent se rapprocher. Que Ton applique au point A deux forces égales et contraires P, P' dans la direction de la droite AB, et que l'on applique a B deux forces Q, Q égales aux premières, et agissant en sens contraire suivant la ligne AB. U y aura équilibre dans le système, puisqu'il y a équilibre en chaque point. Or les deux forces P, Q' seraient en équilibre si elles agissaient seules sur le système AB, et cependant on ne peut les supprimer sans rompre l'équilibre des quatre forces; car il resterait les deux forces P7 et Q, qui ne se détruiraient pas, puisque les deux points A et B peuvent se rapprocher par hypothèse. Or il est facile de reconnaître que le groupe P, Q' ne rentre dans aucun des deux cas que nous avons indiqués précédemment, comme permettant la suppression.

En premier lieu, les deux forces P, Q' ne se détruisent

pas elTcrlivcmeiil, et ne produisent pas sur AU l'cilbri qu'elles produiraient si elles étaient seules appliquées. La force P est détruite par P' et n'agit que sur le point A ; i) en est de ruème des forces Q, Q' en B, et il n'en résulte aucune action entre les points A et B, qui ne cesseraient pas d'être en équilibre quand même il n'existerait aucune liai-

En second lieu, les forces P' et Q, égales et opposées 11 P et Q', ne seraient pas en équilibre si elles agissaient seules sur le système, puisque les points A et B peuvent se rapprocher.

Donc enfin on ne pouvait afûrmer qu'en supprimant les forces Pil Q'on ne détruirait pus l'équilibre; ci nous aVons vu qu'ellectivcmeul 11 se trouvait détruit par celte suppres-

Cet exemple montre donc que dans un système eu équilibre on ne peut pas toujours supprimer un groupe de forces qui serait en équilibre sur le système s'il y était seul. Et il montre aussi qu'on peut supprimer un système qui ne serait pas en équilibre s'il était seul sur le système, mais qui est

STATIQUE. gg

que l'on supprime sont effectivement détruites par la résistance du système. Cette remarque peut être énoncée d'une manière différente en observant que supprimer un système de forces, c'est introduire le système contraire. On aura alors la proposition suivante :

On peut quelquefois introduire un groupe de forces qui ne serait peu en équilibre sur le système.

12. Remarque. — On lire des considérations précédentes cette conséquence, que si Ton introduit des forces dans un système, on ne peut pas toujours affirmer que leur effet sera le même que si Ton avait préalablement introduit certaines autres forces qui n'auraient pas détruit l'équilibre, mais qui cependant pourraient avoir de l'influence sur celles qu'on applique en dernier lieu. Et pour cette raison on ne peut, sans examen, conclure l'effet de forces introduites dans un système on l'on aurait légitimement remplacé un groupe par un autre. Un exemple bien simple le prouvera sans réplique.

Soit une force P appliquée à un point A d'un fil flexible AB ayant tous ses points en ligne droite (fîg. 16). Introduisons les deux forces égales et contraires P', P". L'effet de la force P sur le système ne sera pas modifié, soit qu'il y ait équilibre ou mouvement, pourvu que le fil reste constamment dans les conditions primitives qui ont permis Introduction de P', P7. Or si Ton applique en B une force égale et contraire à P', les quatre forces se détruisent, tandis qu'il en aurait été autrement si l'on avait appliqué la dernière force avant l'introduction de P', P".

Nous reconnaîtrons bientôt que les mêmes difficultés ne se rencontrent pas dans les systèmes rigides, que dans ceux dont les liaisons comportent des changements de forme ou de disposition. Mais il faut prendre garde, en commençant, d'attribuer aux principes une trop grande généralité.

Changement du point d'application dune forte.

1 3. Lorsqu'une force P est appliquée à un poinl libre A, nous allons démontrer qu'on peul, sans changer son effet, quel qu'il suit, l'appliquer à lout aulre poinl B de sa direction, si ce point est lié invariablement au premier.

El il n'est même pas nécessaire que celle liaison soit aussi complète.

Si, par exemple, le point B est siltié par rapport à A du côté où s'exerce l'action de la force P, il suflit que la distance AB ne puisse augmenter; ce qui sera le cas, par exemple, où ces deux points seraient liés par un corps extrêmement délié, éminemment flexible cl inextensible. Mous donnerons dorénavant le nom de Jil à un pareil corps, et nous le considérerons comme n'ayant de dimension que dans le sens de la longueur, en prenant sans résistance toutes les formes possibles, en conservant la même longueur. Nous considérerons plus tard des tils élastiques, qui sous l'action des forces peuvent changer dt longueur.

On raisonnerait d'une manière analogue si le point B était situé de l'autre côté du point À, et que la distance AH ue pût pas diminuer.

Les raisonnements précédents ne seraient plus applicables dans le cas où, le système des points étant en mouvement, la distance AB ne resterait pas la même.

Enfin si les conditions respectives de ces deux cas sont réunies, c'est-à-dire si les points A et B sont invariablement liés l'un a l'autre, comme cela arrivera, par exemple, s'ils font partie d'un système rigide, on pourra transporter la force en un point quelconque de sa direction, supposé toujours invariablement lié au système.

14. Remarque. — Il est important d'observer que, quand on a fixé des points, ou introduit toute autre espèce de liaison dans un système en équilibre; on peut supprimer des forces telles, que les contraires seraient en équilibre sur le système modifié. C'est une conséquence immédiate du troisième principe. Si, par exemple, dans un système rigide, on fixe un de ses points, on pourra supprimer toutes les forces dont la direction passera par ce point, puisqu'on peut les y supposer appliquées.

Si, au lieu de fixer un point du système, on en fixe deux, et par suite tous ceux de la droite qui les joint, soit qu'ils appartiennent d'abord au système, soit qu'on les y introduise et qu'on les lie invariablement aux autres, on pourra supprimer toutes les forces dont la direction rencontrera cet axe fixe, puisque chacune d'elles peut èlre appliquée à son point de rencontre qui est fixe.

Postulaium. — Nous venons de voir que quand un système rigide avait un point fixe autour duquel il pouvait se mouvoir d'une manière quelconque, toute force dont la direction passait par ce point était détruite et ne pouvait produire aucun mouvement. Nous admettrons comme ré-

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sullal d'expérience, ou comme axiome, que toute force dont lu direction ne flânerait pas par le point fixe, ne serait pas détruits, et mettrait le corps en mouvement.

.Aous admettrons encore qu'il an serait de même dans lu cas d'un axe fixe.

Il en résultera nécessairement que si uu corps a un point unique ou un axe fixe, el qu'on sache qu'une force appliquée seule à ce corps est détruite, on poura affirmer que sa direction passe par le point fixe, ou rencontre l'axe fixe, à une distance finie ou infinie.

lî). Réciproque d'une proposition précédente. — Il est important de remarquer qu'une force agissant sur un système libre ne saurait être transportée parallèlement à ellemême en un point qui ue serait pas sur sa première direction ; et, plus généralement, qu'elle ne peut être remplacée par une autre qui n'agirait pas suivant la même ligne droite.

Kn ellet, supposons qu'une force P puisse être remplacée par une autre Q qui n'agisse pas suivant la même ligne droite. Fixons un point sur la direction de P, qui soit jinl de rencontre des directions de P et Q,

reclion passait par ce point. Il est facile de reconnaître, en outre, que cette nouvelle force doit être égale à la première; car il a été démontré que, dans la position où elle se trouve, elle pourrait remplacer la première si elle lui était égale; donc, si elle était plus grande ou plus petite, elle ne produirait pas le même effet que la première, ce qui est contre l'hypothèse .

46. Deux forces qui ne sont pas égalas et directement opposées ne peuvent se faire équilibre sur un système rigide libre. Cela résulte immédiatement des raisonnements précédents ; car, en fixant sur la direction de Tune un point qui ne serait pas sur la direction de Vautre, l'équilibre ne devrait pas être rompu; mais la première serait détruite, et la seconde mettrait le système en mouvement; l'équilibre n'existait donc pas. Il est donc nécessaire, pour qu'il feriste, que tout point pris sur la direction d'une des forces soit sur la direction de l'autre, et par conséquent que ces deux directions se confondent; il est évident alors qu'elles doivent agir en sens contraire et être égales.

Systèmes équivalents ou qui peuvent se remplacer. — *•

Composantes et résultante.

17. Soit A un certain groupe de forces, et B un second groupe qui pourrait le remplacer sur un système donné de points, sans déranger son état d'équilibre ou de mouvement. Introduisons le groupe B et l'opposé que je désignerai par — B sans attacher aucun autre sens au signe — . Les trois systèmes A, B, — B ne seront autre chose que A. Or, pour que B puisse le remplacer, il faut qu'on puisse supprimer A et — B, ce qui aura lieu si le contraire — A et B est en équilibre quand il existe seul sur le système. D'où l'on cou-

clul {[il un groupe de forces B peut toujours en remptact un autre A, lorsqu'il serait en équilibre sur le sysièm avec l'opposé — A à cet autre.

Mais cela n'entraîne pas que A puisse remplacer I parce que A ne serait peut-élre pas en équilibre MM — B, et alors on ne pourrait prononcer.

Si, par exemple, on considère un fil flexible MN et uue force P appliquée an point ]\ suivant NM, on pourra la remplacer par une force égale et de même sens P* appliquée en M, pane que celte dernière serait en équilibre avec P" égale et contraire à P. Mais on ne peut affirmer que P pourrait remplacer P', parce que P ne serait pas eu équi bre sur le fil avec la force égale cl opposée à P' et appliqi en M, laquelle cependant équilibre P' qui peut remplacer P.

Et, en effet, P ne pourrait pas toujours remplacer V.

Remarque. — Ou voit par cet exemple qu'il est possible qu'un groupe de forces B soîl équivalent à un autre groupe A, sur un certain système, sans que A soîl équivalent à B. sur le même système.

libre au système contraire, c'est-à-dire an système qui consisterait dans les forces primitives prises en sens contraire, et appliquées respectivement aux mêmes points. Et, par conséquent, le problème de la composition des forces rentre dans celui de l'équilibre.

Si Ton a trouvé une résultante, il n'y a pas à en chercher une autre, puisque nous avons vu qu'une force ne peut être remplacée identiquement que par une autre qui ne aérait que la première transportée en un point de sa direction lié invariablement au système.

19. Mais peut-on dire réciproquement qu'une force puisse être remplacée par plusieurs autres, par cela seul qu'elle pourrait les remplacer. Nous avons vu, en effet, des cas où un groupe de forces A pouvait être remplacé par un autre B, sans pouvoir réciproquement le remplacer. L'exemple que nous en avons donné s'appliquait, il est vrai, à un système non rigide; mais nous n'avons pas encore le droit d'affirmer que cette réciproque est toujours vraie quand il s'agit d'un corps solide.

Nous prouverons bientôt qu'il en est ainsi, c'est-à-dire que si un groupe A peut être remplacé par un antre B sur un système rigide, réciproquement il pourra remplacer B. Mais dans les cas simples que nous étudierons avant d'avoir établi cette proposition générale, nous reconnaîtrons sans peine que cette réciprocité a lieu.

Remarques diverses.

20. Lorsque plusieurs forces, situées ou non dans un même plan, sont appliquées à un même point, et que/les ne sont pas en équilibre, elles ont toujours une résultante. En effet, supprimons ces forces, et introduisons à leurs places des forces respectivement égales et contraires. Le

loti LIVRE t.

point tendra, par leur action, à se mouvoir daus une certaine direction déterminée; et, si l'on appliquait en sens contraire une force d'une intensité convenable, on empêcherait évidemment le mouvement de se produire, el l'équilibre aurait lieu. Donc, d'après ce que nous venons de dire, celte force pourra remplacer les premières.

21. Lorsque trois forces appliquées en un même point sont en équilibre, leurs directions sont dans un rnt'tne plan.

Trois forces respectivement égaies et opposées aux premières seraient aussi en équilibre.

Chacune des trois forces est égale et opposée à la résnltante des deux autres.

i" Si les trois forces n'étaient pas dans un même plan, et qu'on fixât deux points liés au point donné et situés sur les directions de deux de ces forces, l'équilibre ne serait pas détruit. Or ces deux forces seraient détruites et la troisième ne léserait pas [voy. n" 14), l'équilibre serait donc détruit, ce qui est contradictoire. Il n'est donc pas possible que les trois directions ne soient pas dans un même plan.

STATIQUE. lO^

inutile de faire remarquer qu'il n'y a qu'une seule force qui puisse faire équilibre à deux autres appliquées à un point, car cette force doit être opposée à la résultante, qui est unique (n° 18).

Rappelons encore qu'en introduisant une force égale et opposée à la résultante de deux forces appliquées à un point, il y a équilibre. En effet, on a démontré que l'équilibre est possible en introduisant une troisième force convenable, et ensuite que cette troisième est égale et opposée a la résultante. D'où il suit que la force égale et opposée a la résultante établit l'équilibre.

Si des forces en nombre quelconque sont appliquées à un même point, et que leurs directions soient toutes dans un même plan et d'un même côté dune droite passant par ce point, il est impossible qu'elles soient en équilibre.

En effet, soient  le point donné {fi g* 17), XAX' une droite telle, que toutes les directions des forces P, P/, P", F*,..., soient d'un même côté de cette droite; et supposons que ces forces sojent en équilibre. Fixons un point O situé sur AX et lié invariablement à A, l'équilibre ne sera pas troublé.

Or, si l'on conçoit un rayon vecteur tournant autour de A, et parlant de la direction AX pour arriver à AX' en se mouvant du côlé où sont les directions des forces données, on reconnaît immédiatement (n° 14) qu'une force qui serait appliquée seule au point matériel A dans une quelconque de ces directions, le ferait tourner autour de O dans le même sens, et que toute force appliquée à A, dans une direction située de l'autre côlé de XX', ferait tourner le point dans le sens contraire autour de O.

^11 sait de là que chacune des forces P, P', P", ..., tendant \ faire tourner A autour du point fixe O dans le même sens.

rien ne s'opposera à ce que le mouvement ait lieu, et < par conséquent, tes forces ne seront pas en équilibre c< cela devrait être d'après l'hypothèse.

Cette hypothèse était donc fausse et les forces ne pouvaient être en équilibre, ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. — Il suit de là que lorsque trois forces P, P", F', appliquées à un point libre A, sont en équilibre, la direction contraire à celle de l'une quelconque des trois est dans l'angle des deux autres.

Eh effet, si la direction opposée à AP, par exemple, n'était pas dans l'angle FAP", on pourrait mener par A une droite telle, que les directions des trois forces seraient d'un même côté de cette droite; les trois forces ne seraient doiu: pas eu équilibre, ce qui serait contraire à l'hypothèse.

23. La direction de la résultante du deux forces appliquées à un même point, est située dans l'angle formé par les directions de ces forces.

Bu elïel, la force égale et opposée à la résultante établissant l'équilibre, la direction qui lui est opposée, c'est-àdire celle de la résultante, sera dans l'angle des deux forces. •i les doux forces sont ézales, la

STATIQUE. lOp

En effet, si R peut remplacer P et Q, nous venons de voir qu'il y aurait équilibre entre P, Q, — R; donc P et Q peuvent remplacer R puisque leur système est en équilibre avec l'opposé de R (n° 17 ).

25. Lorsque deux forces égales sont appliquées à un même point, elles peuvent être transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque de la bissectrice de leur angle, pourvu qu'il soit lié invariablement au premier. Car ces forces peuvent être remplacées par une seule, dirigée suivant cette bissectrice, et qui peut être appliquée en un quelconque de ses points : or, en ce point, d'après le numéro précédent, elle peut être décomposée comme elle aurait pu l'être au premier point d'application, et l'on aura ainsi deux forces égales et parallèles aux premières, appliquées en un point quelconque de la bissectrice.