COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DE FORCES APPLIQUÉE^ A UN MÊME POINT

26. Résultante de deux forces. — Nous cod sidérer un s d'abord deux forces commen su râbles. Soient P, Q {Jig. 18) ces forces, A leur point d'application; A M, AN des longueurs proportionnelles à ces forces; m, n deux nombres entiers, tels que l'on ail P:Q:;m :«:: AM ;AN; partageons les longueurs AM, AN en parties égales Alî, RC, AFI, etc., dont les nombres soient respectivement m, n ; ces diverses parties représenieront des forces, dans lesquelles on pourra décomposer les premières. Menons par les points

leur effet soit changé. Or elles donneraient en I une résultante égale et parallèle à celle qu'elles donnaient en A ; donc, d'après ce que nous avons démontré précédemment (n° 15), le point 1 appartient à la direction de cette dernière.

Il suit de là que la résultante de deux forces commensurables est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent ces forces en grandeur et en direction.

27. On peut passer de là au cas des forces incommensurables par la considération des limites. On peut encore employer la réduction à l'absurde, comme il suit.

Si la diagonale AI (fig. 19) n'est pas la direction de la résultante des forces incommensurables AM, AN, soit AB cette direction. Par le point H, où elle rencontre l'un des deux côtés du parallélogramme, menons la parallèle HK à l'autre côté; nous pourrons prendre entre M et K un point B, tel que AB soit commensurable avec AN, et alors la diagonale AC du parallélogramme NABC donnera la direction de la résultante des forces AN, AB. 11 faudrait donc qu'en la composant avec la force représentée par BM, et qu'on peut supposer appliquée au point A, on trouvât la résultante des deux forces données,. qui est dirigée suivant AH par hypothèse; ce qui est absurde, puisque cette direction n'est pas comprise dans l'angle CAM des deux forces composantes.

Donc, quel que soit le rapport des forces, leur résultante est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les droites qui les représentent.

Il résulte de là que, si Ton connaissait la direction de la résultante -ainsi que celles des deux forces, et que d'un point quelconque de la résultante on menât des parallèles à ces forces jusqu'à leur rencontre avec leurs directions, les distances des deux points de rencontre au point d'applica-

Z.1YBE I.

es foires servent dans le mente rapport que In îuls île celles-ci.

28. 11 reste encore à déterminer l'intensiléde la résultante des deux forces P, Q. Pour cela nous obserrerom que si nous appliquons suivant la direction AX (Jîg. ao), opposée à celle de la diagonale Al, une force R égale à la résultante, il y aura équilibre entre les trois forces P, (^, R. La force Q, par exemple, sera donc égale et opposée à la résultante des deux autres P, R (n° 21 ) ;e(, par conséquent, si par le point P nous menons une parallèle « AX. qui coupe en lî le prolongement de AQ, et que, par le point B, nous menions BC parallèle à AP, les longueurs AP, AC seront dans le rapport de P à R ; et connue AP représente P, AC représentera la force R. Mais AC = BP = AI ; donc la résultante des deux forces P et Q est égale à AI ; et, par conséquent, la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces représente, en grandeur et en direction, fa résultante de ces forces.

Les deux forces P, Q, et leur lésultanlc B, sont donc les

STATIQUE. Il3

On a de plus

R» = P> + Q' -+- 2PQ cos PQ.

Si l'angle PQ est droit, ces relations deviennent

P = RcosPft, Q = RcosQR, R'rrP'-hQ*.

Toutes les questions que Ton peut se proposer sur la composition de deux forces appliquées à un même point, ou sur la décomposition d'une force en deux autres, sont donc ramenées à la construction ou à la résolution d'un triangle; et il serait superflu d'entrer dans plus de détails,

29. Les deux composantes et leur résultante jouissent d'une propriété remarquable que nous allons faire connaître.

On sait que la somme des distances de deux points a une droite dans le même plan est égale au double de la distance du milieu entre ces deux points à cette même droite. Cette proposition est indépendante de la position relative des deux points et de la droite, a la condition que si celle-ci passe entre les points, les distances seront considérées comme des coordonnées, positives d'un côté et négatives de l'autre.

On conclut de là que si l'on a dans un même plan un parallélogramme et une droite indéfinie, la somme algébrique des distances des sommets situés sur une des diagonales à cette droite est égale à la somme de celles qui se rapportent aux deux autres; car les diagonales se coupant en deux parties égales, le milieu entre les deux premiers sommets est le même qu'entre les deux autres.

Et si la droite donnée passe par un des sommets du parallélogramme, la distance du sommet opposé est par suite égale à la somme algébrique des distances relatives aux deux autres.

Cela posé, soient AP, AQ, AH deux forces et leur résultante [fig. ai) et O un point quelconque de leur plan; joignons-le aux quatre sommets du parallélogramme; la somme algébrique des dislances de P et Q à la droite AO sera égale à la distance du point R à AO. Or ces distances sont les hauteurs des triangles ayant AO pour base commune et pour sommets P, Q, R \ on a donc les mêmes relations entre les aires de ces triangles : cl comme ils peuvent être considérés comme ayant O pour sommet commun, et pour bases les trois lignes AP, AQ, AU, leurs aires oui pour mesures les produits de ces trois lignes respectives par les perpendiculaires abaissées deO sur leurs directions. Désignant ces grandeurs par/;, q, r, et par P, Q, R les trois forces, les aires des trois triangles seront Pp. Qq, Rr; et d'après ce qui précède, la somme algébrique des deux premiers produits seta égale au troisième.

Or il est facile de reconnaître les signes qu'il faut donner à ces trois produits dans cette équation.

En effet, nous avons vu qu'il fallait considérer avec les mêmes signes ou avec des signes dill'éreuts les perperidica-

STATIQUE. Il5

ou, en d'autres termes, si les perpendiculaires abaissées de P et Q sur ÀO soni de mêmes signes ou de signes contraires. Les produits Pp, Q<y, Rr doivent donc être pris avec les mêmes signes ou avec des signes contraires, suivant que les forces correspondantes tendent à faire tourner autour de O dans le même sens ou dans des sens différents.

On donne à ces produits le nom de moments des forces par rapport au pbint O. Le théorème que nous venons de démontrer peut donc s'énoncer de la manière suivante :

La somme algébrique des moments des deux forces concourantes, par rapport à un point quelconque de leur plan, est égal au moment de la résultante par rapport à ce même point.

Composition et équilibre de forces en nombre quelconque

appliquées à un point libre.

30. La résultante de deux forces appliquées à un même point étant représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les droites qui représentent ces forces en grandeur et en direction, il s'ensuit que pour avoir la résultante d'un nombre quelconque des forces P, F, P", etc., appliquées à un point À, et représentées par les droites AP, AP', A F', etc., on pourra composer d'abord les deux forces P et P', puis leur résultante avec F7, cette nouvelle résultante avec F9, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière force. D'où il suit que si Ton construit un polygone APBCD (/lg. a?), dont les côtés soient égaux et parallèles aux droites AP, AP', etc., et que l'on joigne le point A au dernier sommet D, la ligne AD représentera, en grandeur et en direction,' la résultante de tontes les forces.

On conclut delà que la condition nécessaire et suffi-

itG um i.

santé pour que le» força appliquées à un point libre s

ru équilibre, ronsisie en ce que le point extrême Bien foesde aTec le poiu A, c'est-à-dire que le polvgone APB.. soii fermé.

lorsque 1» forces sont an nombre de trois, et que Ici dire» lions ne sont pas dans un même plan, il est facile d voit que la construction indiquée donne, pour la grandet et U direction de la résultante, celles de la diagonale c paralldipipéde construit sur ces trois forces.

Si l'on change le sens de toutes les forces sans changer leur grandeur, le nouveau polygone que l'on construirait formerait a»ec le premier une ligure dont A serait le ernire. Donc si les premières forces étaient en équilibre, 1rs opposées J seront aussi : el si elles n'y étaient pas, leur rclultante changerait de sens sans changer de grandeur.

31 Le théorème des moments démontré dans le cas de deux forces a lieu quel que soit leur nombre. Car la somme des moments de P et P' est égal au moment de leur résultante; composant celle-ci avec P". le moment de la nou-

quelle il est parcouru, avec Une direction fixe, est égale à zéro.

Donc, lorsqu'un système de forces appliquées à un point libre est en équilibre, la somme des produits de ces forces par les cosinus des angles formés par leurs directions avec une même direction quelconque est nulle. Réciproquement, si cette propriété avait lieu relativement à une direction quelconque, le polygone serait nécessairement fermé; et, par conséquent, il y aurait équilibre. Mais il est facile de voir qu'il suffit pour cela qu'elle ait lieu pour trois directions partant d'un même point et non comprises dans un même plan ; car, si le polygone n'était pas fermé, la somme dont il s'agit ne pourrait être nulle que pour les directions perpendiculaires à la droite qui joindrait les deux sommets extrêmes; or cette droite ne peut pas être perpendiculaire à trois directions parlant d'un même point, et non comprises dans un même plan. Donc, si la somme est nulle pour ces trois directions, le polygone est fermé, et il y a équilibre. On peut donc énoncer la proposition sui-

▼ante :

Pour que des forces appliquées à un point libre se détruisent, il est nécessaire et suffisant que les sommes des projections de ces forces sur trois directions .non comprises dans un même plany soient séparément égales a zéro.

Il est clair, d'après ce qui précède, que dans cet énoncé nous regardons comme positives les projections des forces qui font un angle aigu avec ta direction fixe, et comme négatives, celles des forces qui font un angle obtus. Le plus ordinairement, on prend ces trois directions perpendiculaires entre elles. Si donc on désigne par a, 6, y les angles formés par la direction d'une force quelconque P, avec les directions des axes positifs X, Y, Z, et que l'on désigne par le signe £ la somme des termes semblables relatifs à toutes

les forces, les conditions de l'équilibre seront exprimées

par les équations

sPcosS = o,