Si les foi

i pas en équilibre, désignons

par R leur résultante, et par a, b, c les angles formés par sa direction avec les axes : il y aura équilibre en introduisant dans le système une force égale a R et directement opposée, c'est-à-dire faisant avec les axes les angles 7T — a, r. — i, jt — c, dont les cosinus sont égaux et de signes contraires à a, b, c\ on aura donc

£ P cos <* — R cos a = o , I P cos 6 — R cos i = O , ZPcos? — Rcosr = o,

R cos a = £ P ci

ftcosÉ = £P cosS,

r = !Pco*7.

Ces équations s'obtiendraient immédiatement par la considération du pulygoiie APBDA, qui montre que la projection de la résultante sur une direction quelconque est égale

el que pour les directions de deux fortes P et P' faisant entre elles un angle désigné PF, on a

cos a cos *' H- cos 6 cos €' -4- cos 7 COS 7' = cos PF,

on obtiendra .

R* = 2 F -4- 2 2 PP/ cos PF.

35. On peut obtenir ces résultats par des considérations différentes. Si, suivant la règle du parallélipipède des force», on décompose chacune des forces P, P', etc., suivant les trois axes rectangulaires, les composantes de la force quelconque P seront P cos a, P cos 6, P cos 7, et Ton remarquera que, d'après les signes des cosinus, ces composantes seront positives quand elles agiront dans le sens des axes positifs, et négatives quand elles agiront en sens contraire. Donc, si l'on fait la somme algébrique des composantes qui sont dans le même axe, on aura la grandeur et le signe de la force à laquelle elles se réduisent. Ainsi toutes les forces seront remplacées par trois autres, agissant suivant les axes, et ayant pour valeurs respectives

ZPcosa, 2 P cos 6, ZPcosy.

Or il ne pourrait y avoir équilibre, si elles n'étaient pas nulles séparément, car elles se composeraient en une seule qui ne serait pas nulle; les conditions nécessaires et en même temps suffisantes pour l'équilibre sont donc

ZPcosa = o, ZP cos 6 = 0, ZPcos7 = o.

S'il n'y a pas équilibre, ces trois forces donneront pour résultante du système, la diagonale du parallélipipède dont elles seront les arêtes. Si donc on pose

ZPcosa=X, ZPcosS = Y, 2Pcos7 = Z,