SÈ

36. Cas général ou les axes sont obliques. — Si les irois directions, choisies pour la décomposition des forces, ne sont pas rectangulaires, îl sera toujours nécessaire ei suffisant que les sommes algébriques des composantes soient nulles suivant chaque axe, en alVectant de signes contraires celles qui sont eu sens opposé. Les trois équations de l'équilibre n'ont pas la même forme, parce que les parallélïpîpèdes sont obliques; mais elles constituent un système équivalent à celui que donneraient trois axes rectangulaires, puisque l'un et l'autre système sont nécessaires et su (lisants pour l'équilibre. Si l'on désigne par X,, Y,, Z, les composantes positives ou négatives de l'une quelconque des forces données, toutes ces forces pourront être remplacées par trois forces dirigées suivant les axes et représentées, en grandeur et eu signe, par les irois sommes

Remarque. — Nous appellerons quelquefois force estimée suivant une direction, la projection de cette force sur cette direction-, c'est la composante déterminée que Ton trouve en décomposant la force en d'autres, dont Tune soit dans cette direction et les autres dans le plan perpendicu* laire. Ainsi, dans les. formules précédentes, P cos a, P cos 6, P cos y sont respectivement les valeurs de la force P estimée suivant les axes des x, des y et des z.

Équilibre d'un point assujetti à rester sur une surface

ou une courbe fixe.

37. Si un point, situé sur une surface qu'il ne peut quitter, est sollicité par une force normale à cette surface, il restera en équilibre ; car toutes les directions suivant lesquelles il pourrait se mouvoir étant semblable ment placées par rapport à la force, il n'y a aucune raison pour qu'il prenne l'une plutôt que l'autre, et, par conséquent, il n'en prendra aucune : ce principe est confirmé par toutes les expériences. Mais si le point est sollicité par une force oblique, on peut la décomposer eu deux autres, dont Tune soit normale et l'autre dans le plan tangent; la première est détruite par la résistance de la surface, mais rien ne s'oppose à ce que la seconde mette le point en mouvement, si Ton suppose qu'il puisse se mouvoir librement sur la sur* face dans toutes les directions. C'est ce qui n'aurait pas nécessairement lieu s'il y avait ce que Ton appelle un frottement; mais nous en faisons abstraction pour le moment, et nous supposons tous les mouvements entièrement libres sur la surface.

Une surface ne pouvant donc détruire que les forces qui lui sont normales, produit toujours le même effet qu'une force égale à la somme de celles qu'elle détruit et agissant

dans la direction normale opposée. Il en est de même de la résistance d'une courbe sur laquelle un point peut se mouvoir librement. Elle détruit les forces dont la dire comprise dans le plan normal mené au point d'appltc et n'en détruit aucune autre. Sa résistance pourrait donc toujours être remplacée par une force normale, égale et contraire à la résultante de celles qu'elle détruit.

Cela posé, soit F(.r, y, z) = o l'équation d'une surface sur laquelle doit rester un point sollicité par des forces quelconques P, F, etc. ; jl n'est plus nécessaire, pour son équilibre, que ces forces se détruisent ; il suffit que leur résultante soit normale à la surface, et, par conséquent, que les cosiuus des angles formés avec les axes par la direction de la résultante soient proportionnels à ceux qui se rapportent à la normale. Or les premiers sont entre eus commis les quantités désignées précédemment par X, Y, Z. Les autres peuvent s'exprimer en fonction de x, y, S au moyen de l'équation de la surface; désignoos-Ies par cos fl, cos ft, cos ('.

Les conditions d'équilibre sout donc exprimées par les équations

STATIQUE. 1 a3

38. Si le point étail assujetti à rester sur une courbe donnée, il faudrait, pour qu'il fût en équilibre, que 1a résultante fat perpendiculaire à la tangente. Or cette dernière ligne fait avec les axes des angles a, ft, c dont les cosinus sont déterminés en fonction de x, y, z par les équations de la courbe. La condition d'équilibre sera donc exprimée par l'équation

Xcosa -f- Ycos6 -f- Zcosc = o.

Si cette équation n'était pas satisfaite pour le point donné, il n'y aurait pas équilibre. On déterminerait le point de la courbe où les forces données seraient détruites, en cherchant les valeurs de x, y, *, qui satisferaient à cette équation et aux deux équations de la courbe.

Autre manière d'avoir égard à la résistance des surfaces

ou des lignes.

39. La résistance d'une surface ou d'une courbe produis sant toujours une force normale, on pourrait substituer cette dernière à la surface ou à la courbe, et considérer alors le point comme entièrement libre. La grandeur de cette force sera une des inconnues de la question ; sa direction sera dans l'un ou l'autre sens de la normale, s'il s'agit d'une surface, et ne sera assujettie qu'à être perpendiculaire à la tangente, s'il s'agit d'une courbe.

Considérons d'abord le cas d'une surface dont l'équation soit F (x, y, z) = o ; soient N l'intensité de la force normale qui la remplace, et a, £, c les angles qu'un des deux sens de la normale fait avec les axes ; les composantes de N seront

± N cos a y ± N cos b, ± N eus r.

I a4 LIVRE |.

les signes supérieur* correspondant à l'un des sens de normale, et les signes inférieurs à l'autre. Mai

pou

nt dei

sidén

libre, les deux forces

qui le sollicitent doivent être égales et opposées, ainsi que leurs composantes respectives; les équations d'équilibre seront doue

X±KloSû — o, Y±Ncos* = o, Z±NcoS£=o,

liuant N,

Ces deux équations sont nécessaires et suffisantes pour l'équilibre, parce qu'elles en remplacent deux des précédentes, el que la troisième sera toujours satisfaite en prenant une valeur convenable de S et un signe couvenable pour le second terme.

Mais on calculera plus facilement N en observant que, puisqu'elle est égale et opposée à la force donnée, sa valeur

et les équations de Fjéqui libre seront