R = P -H Q, P:Q:R ::OB:OA;AB
Elles équivalent à trois équations distinctes, et donnent lieu à divers problèmes très-simples que nous nous dispenserons d'examiner. Il suffira toujours, pour les résoudre, que l'on connaisse trois des six quantités P, Q, R, OA, OB, AB.
Réciproquement, si la force R élait donnée, on pourrait la remplacer par deux forces P, Q satisfaisant aux conditions précédentes. En effet, introduisons ces deux forces P, Q et leurs contraires, l'état d'équilibre ou de mouvement ne sera pas altéré. Or on a le droit de suppiimer le groupe R, — P, — Q, car le contraire serait en équilibre (n° 8) sur le système en repos ou en mouvement. Donc, au lieu de R, on aura P, Q appliquées au système r
on aura
Ainsi, en exceptant le cas où P = Q, deux forces parallèles, et de sens contraire, ont toujours une résultante, qui leur est parallèle, dirigée dans le sens de la plus grande, en dehors des directions des deux forces, et du côté de la plus grande; elle est égale à leur différence, et chacune de ces trois forces est proportionnelle à la distance des deux autres. Le point X, situé sur la droite qui joint les points d'application des deux forces, est encore indépendant de la direction et de la grandeur absolue de ces forces; et c'est encore lui que nous désignerons sous le nom de point cT application de la résultante.
Si les deux forces étaient égales, l'inconnue AX deviendrait infinie, ce qui annonce une impossibilité. Il n'y a donc pas alors de résultante, et il est facile de s'en convaincre directement.
En effet, supposons que les deux forces égales P et Q aient une résultante R, et faisons tourner le système entier PQR de deux angles droits autour du milieu O de A6, de manière que les deux forces P et Q se remplacent Tune l'autre, et, par conséquent, doivent donner encore la même résultante. Mais la résultante primitive, après ce déplacement, sera appliquée en un point placé symétriquement par rapport au point O, et sera la résultante de P et Q dans leur dernière position qui est identique à la première; elle pourrait donc remplacer la première, ce qui a été démontré impossible puisqu'elle n'est pas cette première transportée en un point de la direction. Les deux fofcea proposées n'ont donc pas de résultante, puisque cette supposition conduit à une absurdité.
Un pareil système de forces a été nommé couple par
L1VHR I.
a Tait un élément essentiel de la méca-
M. Poinsoi, qui nique.
1t. Les cootdi innées du poînl d'application de la résultante peuvent facilement être, calculées, d'après celles des points d'applicailon des deux forces parallèles.
Supposons d'abord ces deux forces de même sens, désignons-les par P, F"; soient M', M" [Jîg- a5) leurs points d'application, M] celui de la résultante qui sera situé entre les deux; et z', z", z, les coordonnées parallèles à l'axe des s, de ces trois points.
On aura, par ce tjui précède,
Or, quels qu,
proportion gt
signes des coordonnées, on a la
îerale M'M.lM.M":
L'équation ci-dessus devient donc, en rempla< MiM" par les (juantités proportionnelles, P'(;i-z')aP"(.-.
STATIQt'E. 1 3 I
Mais on a généralement
donc
ou
(P* — P/)s, = P«V — PV;
et, en désignant par R la résultante qui est dans ce cas V— F,
Rzi=PV— PV.
On aurait deux équations semblables, pour les coordonnées parallèles aux deux autres axes; et Ton connaîtra encore les coordonnées xi9 yu zl9 obliques ou rectangulaires du point d'application de la résultante.
45. Moments» — Les équations dont nous venons de tirer les coordonnées du point d'application de la résultante, expriment un théorème qui sera généralisé tout à l'heure, et qui est d'une application continuelle. Chacun des termes qui les composent est le produit d'une force par la coordonnée positive ou négative de son point d'application, et par rapport à un plan quelconque. Un pareil produit se nomme le moment de cette force par rapport au plan, et diffère, comme on le voit, de ce que nous avons nommé moment par rapport i un point.
D'après cela, les équations précédentes expriment que le moment de la résultante de deux forces parallèles est égal k la somme des moments des composantes quand elles agissent dans le même sens, et à leur différence quand elles sont de sens contraire. Dans ce dernier cas, le moment qui a le signe — est celui de la force qui est de sens contraire k la résultante.
Pour réduire ces deux énoncés k un seul, il suffit d'employer la considération des signes pour les forces parallèles,
l3a LIÏBE I.
et de regarder comme positives celles qui agincut, par
exemple, dans lu sens de la plus grande qui est celui de la résultante, cl connue négatives celles qui agissent en sens rontmire.
Cela pose, en appelant moment le produit d'uni- force, positive ou négative, par sa coordonnée, de signe quelconque, on aura les propositions générales suivantes :
La résultante de deux forces parallèles est égale à la somrne algébrique de ces forces ; son moment par rapport à un plan quelconque est égal à la somme algébrique des moments de ces forces.
De celle manière les équations précédentes généralisées
R = P+P, Rî = Pï+P'i'.
Si on prenait comme positives les forces dans le sens de la plus petïlB, les membres de ces équations ne feraient que changer de signes, et par conséquent on peut leur conser-
STATIQUE. l33
donnée et appliquée seule au système, elle pourrait être remplacée par l'ensemble de toutes ces composantes.
Si les forces ne sont pas toutes dirigées dans le même sens, on composera en une seule toutes celles qui sont dans un même sens, et le système sera réduit d'abord à deux forces respectivement égales à la somme de celles qui tirent dans chacun des deux sens, si elles sont inégales. Elles se composeront en une seule égale a leur différence, et tirant dans le sens de la plus grande, c'est-à-dire représentée en grandeur et en signe par la somme algébrique des forces données. Son point d' application ne dépendra que des positions des points d'application de toutes les forces, de leurs rapports et de leurs sens respectifs. On lui donné le nom de centre des forces parallèles.
Si les deux résultantes partielles étaient égales, mais non directement opposées, le système n'aurait pas de résultante; il se réduirait à un couple, et il n'existerait plus de centre des forces parallèles. Si elles sont égales et opposées, il y a équilibre.
47. Théorème des moments des forces parallèles. — La proposition que nous avons démontrée tout à l'heure pour deux forces parallèles s'étend facilement à un nombre quelconque. Pour plus de simplicité, partageons le système de toutes ces forces en deux autres, dont le premier renferme toutes les forces P7, P77, P777, etc., qui sont dirigées dans un même sens; et le second, toutes les forces Q7, Q*, Q*", etc., dirigées dans le sens opposé. Soient S la résultante des forces P7, P", etc., et T celle des forces Q7, Q77, etc.
En composant d'abord P' et P77, on a une résultante Pt dont le moment, par rapport à un plan quelconque, est égal à la somme des moments de P7 et P77, d'après ce qui a été démontré précédemment. Composant ensuite Pt et P^
onti-
* ià
en une nouvelle résultante P,, le moment de celte demi sera égal à la somme des moments de P, et P"', et, par séquent, à la somme des moments de P', P", P". En conti munit ainsi, ou arrive évidemment à celle conséqi que le moment de la résultante S est égal à la somme de ceux des forces du premier groupe P', P", etc. De même, le momeut de la résultante T est égal à la somme des moments des forces Q', Q", Q"", etc., du second groupe, qui sont tomes dirigées en sens contraire des premières.
Or, si les deux forces S, T ne forment pas tm couple, elles se réduisent a une seule force B qui sera la résultante définitive du système proposé, el dont le moment sera égal à la somme algébrique des moments de S el T, en considérant comme positive celle qui est dirigée dans tin certain sens, et comme négative celle qui est dirigée en sens contraire. Supposons, par exemple, que celle dernière soit T. et que les coordonnées du point d'application de S et soient respectivement S, t, le moment de la résultante système sera, en supposant implicitement à S le signe — ,
STATIQUE. l35
xn /n *i les coordonnées de son point d'application, c'està-dire du centre des forces parallèles; on aura les quatre équations suivantes pour déterminer R et J7, Ti, zx :
R = P-hP'-+-P" + ..., Rxl==Px + PO/ 4- P"*"-|-. . . , Rr, == Pj + P'.r'H- F/ + . . . , R *, = P s 4- P V 4- r s" + . . . .
Il faut excepter, comme nous l'avons dit, le cas où le système se réduit à un couple; ce qui ne peut avoir lieu que si l'on a R = o.
