COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DES COUPLES

oO. La considération des couples est due à M. Poinsot, qui a fait connaître les lois remarquables de leur composition et leur usage dans la mécanique. Nous ne ferons, à cet égard, que reproduire la théorie de cet illustre géomètre.

On nomme bras de levier d'un couple la perpendiculaire comprise entre les directions des deux forces qui le composent, et aux extrémités de laquelle on peut supposer ces forces appliquées. Le moment d'un couple est le produit de l'une de ces forces par le bras de levier.

Il y a à distinguer deux sens pour les couples qui sont dans un même plan. A cet effet, on imaginera que Ton fixe le milieu du bras de levier de chacun d'eux, et que ces bras de levier prennent le mouvement que tendent à leur imprimer les forces qui sont appliquées. Il peut y avoir deux sens différents pour ces mouvements, et les couples pour lesquels ils seront les mêmes, seront dits couples de même se ru.

Pour désigner d'une manière commode le sens d'un couple, nous concevrons, par le milieu de son bras de levier, une perpendiculaire à son plan, du côté où un observateur, placé le long de cette ligne, les pieds contre le plan, verrait le mouvement s'exécuter de gauche à droite. La directiou de cette perpendiculaire, prise à partir du plan, est ce que

nous nommerons la direction de l'axe du couple. D'où l'on vnîl (pie tes iluiix directions opposées sur celle perpendiculaire correspondent à deux mouvements de sens oppo-

Cela pose, nous allons démontrer ce premier théorème.

51 . Un coupla peut, sans changer d'action, être transporte d'une maniera quelconque, pourvu que son axe reste parallèle et de même sens, et que son nouveau bras da fei'ier soit lié invariablement au premier.

JVous nous assujettissons ici à cette dernière condition ; il y a cependant des cas parliculiers où elle n'est pas remplie, et où l'on peut encore faire le transport du couple. Si on veut alors l'effectuer, il faudra une discussion spéciale.

Le plan du couple reste alors parallèle à lui-même, mais les forces peuvent changer de direction. Nous examinerons d'abord le cas où elles restent parallèles à elles-

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milieu : elles se détruisent donc, et il ne reste que le couple

P*, A'iy, qui n'est aulre chose que le couple primitif transporté parallèlement à lui-même.

Considérons maintenant le cas où le second bras de levier A'B* ne serait pas parallèle au premier. Nous pourrons, d'après ce qui vient d'être démontré, transporter le couple proposé parallèlement à lui-même, de manière que le milieu de son bras de levier coïncide avec le milieu O de

À'B* (J*g* 28) ; et il reste à démontrer que le couple P, AB aurait la même action sur le système, si on le faisait tourner dans son plan, de manière que son bras de levier AB vint coïncider avec A'B' qu'on supposerait lie invariablement avec le système. Pour cela, appliquons en A' ainsi qu'en V deux forces P/, P" perpendiculaires à A'B', égales à P et en sens contraire l'une de l'autre \ ces quatre forces rie changeront rien à l'action du couple proposé, puisqu'elles se détruisent deux à deux. Mais les deux forces égales P, P*, que Ton peut supposer appliquées au même point D lié au système, donnent une résultante dirigée suivant la bissectrice DO de leur angle, qui est égale et opposée à celle des forces P, P", appliquées en C : il ne reste

donc plus que le couple P', A' B'.

Donc l'action d'un couple reste la même quand on le transporte de manière que son axe reste parallèle à luimême et de même sens, et que son nouveau bras de levier soit lié invariablement au premier.

52. Un couple peut toujours être remplacé par un autre de même sens, situé dans le même plan et ayant même moment.

Soit un couple quelconque P, AB (fig. 29) \ prolongeons son bras de levier d'une longueur quelconque BC, et appliquons aux points B, C des forces égales et opposées Q, Q7, telles que Ton ait Q X BC = P X AB-, ces quatre forces ne

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changeront rien à l'action du couple proposé. .Mais les deux forces P, Q' appliquées en A et C, auront une résultante (gale à leur somme, et appliquée en B, en venu de l'égalité précédente. Cette résultante sera égale à la somme des forces P, Q1 appliquées à ce même point en sens contraire; ces forces se détruisent, et, par conséquent, il ne reste plus que deux forces formant un couple Q, UC de môme sens et de même moment que le couple proposé. Et comme on peut ensuite le transporter de manière que son axe reste parallèle à lui-même, on arrive, en réunissant ces divers résultats, à la proposition suivante :

Un couple peut être remplacé par tout autre dont l'axe est parallèle au sien, et de même sens, et dont le moment est le mente.

L'action d'un couple est doue complètement déterminée par la direction de son axe et par son moment. Nous supposerons dorénavant que le moment soit représenté par une longueur portée sur la direction de l'axe, à partir de son origine; de cette manière, les couples seront figurés géométriquement, comme les forces, par une ligne donnée en

andeur et en direction. Seulement, dans le cas des cou-

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mêmes moments, on peut leur donner à tous un bras de levier égal, et les placer de manière que tous les bras de levier coïncident. Les forces relatives aux couples de même sens coïncideront alors en direction, et celles qui se rapportent aux couples de sens différents seront directement opposées aux premières. A chacune des extrémités du bras de levier commun, elles se. composeront en une seule égale à la différence entre la somme de celles qui agissent dans un sens et la somme de celles qui agissent en sens contraire, et dirigée dans le sens de la plus grande de ces deux sommes. Ces deux résultantes formeront donc un couple ayant le bras de levier commun, et pour moment le produit de Tune de ces résultantes par ce même bras de levier : ce moment sera donc évidemment égal à la différence entre la somme des moments des couples agissant dans un sens, et la somme des moments des couples de sens opposé, et il agira luimême dans le sens des couples qui ont donné la plus grande de ces deux sommes : ce que nous exprimerons en disant, pour abréger, que son moment est la somme algébrique des moments des couples composants, en regardant comme positifs ceux des couples qui agissent dans un sens, et comme négatifs ceux des couples qui agissent en sens contraire. Ce couple résultant pourra, d'ailleurs, être transporté et transformé d'après les principes précédents. Ce résultat peut s'énoncer de la manière suivante :

Pour composer des couples dont les axes sont parallèles, on transportera tous ces axes de manière qu'ils aient leur origine en un même point; on les composera comme s'ils représentaient des forces en grandeur et en direction; et la résultante ainsi obtenue représentera en grandeur et en direction l'axe du couple résultant.

54. Cas des axes non parallèles. — Considérons d'abord deux couples seulement, et ramenons leurs axes à

avoir leur origine en un même point A. Soient AB, AC ifië' 3°) ces aics ''" grandeur et en direction. Les plans de ces couples couperont le plan BAC suivant deux droite* AM, AN respectivement perpendiculaires à AB, AC et passant au point A. Donnons aux deux couples des bras de levier AM, AN respectivement égaux à AB, AC, qui représentent leurs moments-, les forces appliquées à ces bras de levier auront alors une même intensité égale à l'unité. Enfin, transportons ces couples de manière qu'ils aient chacun une force de même sens appliquée en A . Les droites MA, .Y\ . qui représentent les momctits des couples, sont disposés de raauière que si l'on tait tourner leur système d'un angle droit autour de A, de mauière que AM vienne coïncider avec AB, AN coïncidera alors avec AC; et U diagonale AO du parallélogramme construit sur AM et AN coïncidera avec la diagonale AD du parallélogramme BACD.

Cela posé, transportons le couple qui est sur AM de manière que son bras de levier soit le côte ON; une de ses forces détruira celle qui est appliquée en V et les quatre ircea se réduiront à un couple ayant pour bras de levier

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couplet, el Fou renfermera les deux cas dans une seule proposition qui s'énoncer.a comme il suit :

Pour composer un nombre quelconque de couples dont tes axes ont des grandeurs et des directions quelconques, il faut transporter ces axes parallèlement à eux-mêmes, de manière quils aient tous leur origine en un même point , et les composer comme s'ils représentaient des forces en grandeur et en direction. La résultante, ainsi obtenue, sera, en grandeur et en direction, Vaxe du couple résultant.

Toutes les questions relatives à la composition et décomposition des forces appliquées en un même point se reproduiraient ici pour les couples. On aurait le théorème du & parallélipipéde des axes comme on a eu celui du parallélipipède des forces, et les relations entre les axes composants et Taxe résultant seraient les mêmes qu'entre les trois arêtes d'un parallélipipéde et sa diagonale; nous ne croyons pas nécessaire de revenir sur ces détails.

On remarquera que pour décomposer un couple eu trois autres situés dans des plans donnés formant un angle trièdre, il suffira d'appliquer ce qui vient d'être dit en prenant pour axes des couples composants les perpendiculaires respectivement à ces trois plans.

Conditions d'équilibre des couples.

55. -Si les axes des couples sont parallèles, c'est-à-dire si ces couples sont dans un même plan ou dans des plans parallèles, la condition nécessaire et suffisante pour leur équilibre est que la somme algébrique de leurs moments soit nulle, puisque cette somme est le moment du couple résultant.

Si les axes des couples ne sont pas parallèles, il faudra,

d'après l'identité de la

isition des

s et de celle des

for<

île!

algébriques des projections des axes ■ trois droites non situées dans un même plan, soient

nulles. Si tous les a plan, il suffirait que ces somme meut à deux droites non parallèle cas est celui où les plans de tous l cillai res à un même plan.

liaient dans un même fussent milles relativesiluées dans ce plan. Ce s couples sont perpendi-

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