CHAPITRE V
CONDITIONS ET ÉQUATIONS D ÉQUILIBRE D'UN SYSTÈME RIGIDE QUELCONQUE, ENTIÈREMENT LIBRE.
56. Réduction générale. — Toute force peut être remplacée par une force égale et parallèle, appliquée en un poiut quelconque lié a son point d'application, et par un couple formé d'une force égale et opposée à cette dernière et de la force proposée. Car cela revient à introduire deux forces qui se détruisent.
Si Ton fait cette décomposition pour t ou les les forces d'un système, en choisissant le même point pour toutes, on aura toutes ces forces transportées parallèlement à ellesmémes, en un même point, et de plus autant de couples situés, en général, dans des plans différents.
En composant, d'une part, toutes les forces, et, d'une autre, tous les couples, le système se trouvera réduit à une seule force et un seul couple.
Or un couple ne peut être détruit par une force. En effet, on peut le transporter de manière qu'une des deux forces qui le composent ail son point d'application coïncidant avec celui de la force en question. Ces deux forces, appliquées au même point, auront une résultante qui ne sera pas égale et directement opposée à la seconde du couple, et qui par conséquent (n° 16) ne pourra être en équilibre avec elle sur le système rigide libre. Donc il ne peut y avoir équilibre entre une force et un couple ayant des I. 10
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valeurs quelconques dillérenies de téta. Donc les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système rigide soit en équilibre, sont que la force el le couple soient séparément nuls- Chacune de ces conditions s'exprime en général par trois équations. L'équilibre du système est donc exprimé par six équations.
57. Corollaires. — i° Si un système rie forces est en èrjuilibrr sur un corps solide libre, le système contraiie y
En effet, on peut substituer à chaque force de l'uii et de l'autre une force égale et parallèle appliquée eu un même point A et un couple. Les deux forces correspondantes donneront en A des forces égales et opposées, et en outre des couples de même moment et des axes dans des directions contraires. Les résultantes des forces en A seront donc contraires el égales pour les deux systèmes; et il en sera de même des axes et des moments îles deux roupies résultants. Donc si l'un des systèmes est en équilibre, ce qui exige que la résultante soit nulle, airixï que le moment résultant,
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lèmc y serait en équilibre, et par suite aussi — À. — A étant en équilibre, on peut supprimer  du système AB sans troubler l'équilibre ; par suite B appliqué seul serait en équilibre, et par conséquent il en serait de même de — 6.
El réciproquement, si un groupe M appliqué seul à un corps solide est en équilibre, on pourra le supprimer dans tout système de forces en équilibre sur ce corps et dont il ferait partie. Car il suffit pour cela que — M soit en équilibre seul sur le système, ce qui est en effet, puisque M y est.
4° «Si dans un système de forces en équilibre sur un corps solide, on peut introduire un groupe A sans rompre cet état, ce groupe appliqué seul serait en équilibre.
En effet, on peut d'abord introduire les deux groupes A et — A qui se détruisent. Si ensuite on supprime — A, c'est comme si Ton avait introduit seulement A, et par conséquent, d'après l'hypothèse, cette suppression ne rompra pas F équilibre. Donc, d'après le corollaire 3e, le groupe — A serait en équilibre si on l'appliquait seul sur le corps; et par conséquent il en est de même du groupe A : ce qu'il . fallait prouver.
Quant à la réciproque de cette proposition, elle avait été admise parmi les principes.
5° Si des forces sont en équilibre sur un système non rigide, et qu'on puisse introduire un groupe A sans rompre cet état, ce groupe serait en équilibre sur le même système rendu rigide.
En effet, les premières forces en équilibre sur le système non rigide y seraient encore sur le système rigide; et il eh serait de même après l'introduction de A sur le système non rigide. De sorte que A, introduit sur le système rigide déjà en équilibre, ne rompt pas cet état. Donc A serait en équilibre, appliqué seul sur le système rendu rigide : ce qu'il fallait démontrer.
tt" Si l 'on peut supprimer un groupe A faisant parité de forces en équilibre sur un système non rigide, A serait en équilibre seul sur le système rendu rigide.
Nous avons précédemment démontré que si — A était en équilibre sur le syslème non rigide, on pourrait y supprimer A ; mais nous n'avous pas démontré la réciproque, qui entraînerait la proposition en question : et même nous avons fait voir que cette réciproque n'était pas toujours vraie. Remarquons maintenant que la suppression de A peut s'effectuer par l'inlroduclion de — A, Or, cette introduction ne troublant pas l'équilibre, il suit du corollaire précédent que —A, et par suite A, serait en équilibre, s'il était appliqué seul au eorps solide.
Equitihre de forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace.
58. Quoiqu il soït plus commode pour le ealcti) dr des axes de coordonnées rectangulaires, il est
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coqples on exprimera que le moment du couple résultant, ou la somme algébrique des moments des couples situés dans un même plan, est nulle pour chacun des trois. Cette décomposition du système en trois forces et trois couples se fera simplement de la manière suivante.
Soient P, P*, F7,... les forces données', (X, Y, Z), (X', Y', Z'),... leurs composantes positives ou négatives, menées parallèlement aux axes par leurs points d'application respectifs, dont les coordonnées sont (x,y, *),
Considérons Tune quelconque des forces données, par exemple la force P (Jig. 3i), appliquée au point M; supposons, pour fixer les idées, que ses trois composantes X, Y, Z soient dans le sens des axes positifs, et, de plus, que les coordonnées x, y, z du point d'application M soient positives. La force Z peut être remplacée par une force égale et parallèle appliquée en A , et un couple situé dans le plan MÀZ; ce couple peut être décomposé en deux
autres, Z,AB, Z,AC, situés dans les plans £*, zy. On remarquera que A6, AC ne sont pas les bras de levier de ces couples, puisqu'ils font avec les forces de ces couples des angles égaux à ceux des axes des coordonnées situés dans Jeurs plans. Mais pour les couples que chaque force P donnera dans un même plan coordonné, l'angle des forces et do bras de levier oblique sera toujours le même, puisqu'il sera celui des axes de coordonnées, et par conséquent il n'y a aucun inconvénient à prendre, au lieu de leur moment, le produit de la force par le bras de levier oblique 5 car ces produits ne différeront des moments que par un facteur constant, et Ton aura la même équation en égalant leur somme algébrique à zéro. Quant aux signes de ces moments, nous considérerons comme positifs ceux des couples dont l'axe serait du même côté de leur plan que Taxe de coordonnées positives qui n'y est pas renfermé.
>So uni i.
Les moments des roupies Z,AB, Z,AC seront donc exprimés par — Zx et -\-"ty.
Chacune oes forces X et Y donnera sembl.iblement une forte cf;ale et parallèle appliquée en A, et deux couples dont les moments se déduiront des précédents par des changements de lettres dont la loi est facile à saisir; ils seront, jioiir la première, — X?, +Xi; et, pour la secoude, — ï:,+ ÏJ.
Réunissant les moments des roupies situés dans le même plan, on aura, au lieu de la force P, ses trois composâmes X, Y, Z, appliquées au point A, et trois couples situés dans les plans coordonnés, et ayant respect ivo ment pour moments, ;i des facteurs constants près.
rZ..
Une discussion semblable à celle que nous avons faite
dans le cas des forces parallèles démontrerait la généralité de ces expressions, en considérant les coordonnées x, y, z i'i les composantes X,Y,Z comme positives quand elles
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Dans le cas où les axes sont rectangulaires, désignons par a y 6, y les angles que la direction de la force quelconque P fait avec les axes positifs; on aura
X = Pco$a, Y = Pcos6, Z = Pcos7,
P désignant la valeur absolue de la force; et ces six équations d'équilibre deviendront
. 2Pcos«=o, 2Pcos6 = o, 2Pcos7 = o,
(2) ZP(/cos7 — scos6)=ro, ^P(zcosa — jtcosy) = o,
£P(xcos6 — jcosa) = o.
Cas où les forces sont situées dans un même plan.
59. Si toutes les forces étaient dans un même plan, on le prendrait pour un des plans coordonnés, par exemple celui des x et j', les composantes Z seraient nulles ainsi que les coordonnées z, et les six équations générales se réduiraient aux trois suivantes :
sX=o, zY = o, ï(j:Y-jX) = o,
et, <*n supposant les axes rectangulaires,
lPcosa = o, . 2Pcos6 = o, SP(j;cos6 — /cosa)=o.
Si Ton voulait traiter directement ce cas particulier, il n'y aurait qu'à suivre la même marche que dans le cas général, en pariant des données plus simples de la question actuelle. On prendrait deux axes AX, ÀY {fîg- 3a), dans le plan des forces, et Ton substituerait à une force quelconque P ses deux composantes X, Y, parallèles aux axes. On remplacerait ensuite X par une force égale et parallèle
appliquée en A, et le couple X, BM; de même Y pourrait être remplacée par une force égale et parallèle appliquée
eu A, ei le couple Y, AB. Les bras de levier obliques de ces couples faiaanl avec les forces un même angle, qui esl celui des axes des coordonnées, on pourra prendre pour les moments les produits des forces par ces bras de levier, qui sont tes coordonnées des points d'application des forces. Dans le cas où les deux composantes X, Y, ainsi que les coordonnées x, y, sont dirigées dans le sens des axes positifs, ou a deux couples de sens contraires dont la somme des moments est xY — vX, eu considérant comme positifs ceux dont le sens est celui de la rotation de l'axe des x positifs vers l'axe des y positifs; et l'on reconnaîtrait, comme précédemment, que si le sens des composantes et des coordonnées change, il faut conserver cette même expression, en y considérant comme négatives les quantités dont la direction a changé. De celte manière, les résultantes des forces dirigées suivant les axes seront ZX, 2Y, et lu moment du couple résultant sera £ (xY — J'^-)- t*" coo dilions nécessaires cl suffisantes pour l'équilibre seront
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La troisième est la seule dont la 'forme soit changée; elle exprime que la somme algébrique des moments des forces , par rapport à un point quelconque du plan, est nulle.
Cas où les forces sont parallèles.
60. Pour simplifier les équations, nous prendrons Taxe des z parallèle aux forces, laissant arbitraire la position du plan XY. Les composantes X, Y seront nulles, et Z sera la force P elle-même. Les trois premières des équations (i) se réduiront à £P= o; la sixième sera une identité, et les deux autres deviendront 2Pj = o, 2Px= o.
Les conditions d'équilibre de forces parallèles appliquées à un corps solide, d'une manière quelconque, seront donc
(3) 2P = o, 2Px=ro, 2P/ = 0.
Si toutes les forces étaient dans un même plan, on le prendrait pour plan des * et x\ les coordonnées^ seraient nulles, et les équations (3) se réduiraient à
2P = o, ZPx=o.
On parviendrait au même résultat, en partant des équations données dans le n° 59, pour l'équilibre des forces dirigées d'une mauière quelconque dans un plan.
