CHAPITRE VII

CONDITIONS POUR QUE DES FORCES APPLIQUÉES A IN SYSTEME tlIGWE AIENT UNE RÉSULTANTE. - DETERMINATION DE CETTE RÉSULTANTS.

HT. Pour qu'un système de forces, non on équilibre, soit réductible à une force unique, 11 est nécessaire el suffisant qu'en introduisant une certaine force, on établisse létjuilibre. Car si le système proposé peut être remplacé par une force unique, il serait un équilibre si Ton introduisait une force égale et contraire : et réciproquement, si le système se est mis en équilibre par l'introduction d'une cerforce S, ce qui entraine qu'il y ait équilibre entre le

STATIQUK. |<M

qu'elle fût eu équilibre avec le couple résultant des deux autres. Les deux forces doivent donc former un couple qui détruise le couple résultant du système donné. Il faut donc que la force résultante soit parallèle au plan du couple résultant, et ne soit pas nulle. Et réciproquement, s'il en est ainsi, il existera évidemment une force qui formera, avec la force résultante, un couple qui détruira le couple résultant; et, par conséquent, le système proposé sera réductible à une seule force.

68. Cherchons maintenant à détenniner la résultante totale du système; et prenons les axes de coordonnées de la manière la plus générale.

Soient xtJ yty zt les coordonnées de son point d'application, et X|, Y,, Z| ses composantes; il y aura équilibre en introduisant dans le système une force appliquée au même point, ayant pour composantes

d'où Ton tire, d'après les équations générales de l'équilibre,

ZX — X, = o, ZY — Y, = o, ZZ — Z,=o,

Zfj-Z-sYl-tr.Z, — »,Y) = of Z(*X — rZ)- (z,X,— .r,Z,) = o,

3(*Y — rX)— («.Y,— r,X,) = o;

et réciproquement, si l'on satisfait à ces équations, il y aura une résultante appliquée au point (X|,y,, s,), et ayant pour composantes X,, Yn Z,. Les trois premières font connaître les composantes de la force cherchée, et, par suite, la direction de cette force et son intensité. Elles donnent

X, = 2X, Y, = zY, Z, = zZ.

Les trois autres déterminent les coordonnées de son I. ii

: 'I ap|lliC8lWI, et deviennent, cil ïflrtll des pi i luièl ■. ■ .

', — ;,iy — i„ i,ïX-j,ïz^ji, r,;Y— .r,sx = w.

iiis EX, 2 V , HZ, respeci;i[ unions précédentes *!»■-

n-épei', iinus représen ! par X, Y, Z, elles

Si l'on multiplie ces trois dernières équations respective ment |i;ir X, V, Z, en supposant toutefois que ces trois quantités no soient pas nulles à la fois, puisqu'on ajoute )v

LX + MY + NZ = o,

équation entre les données seulement et uéeessaire pour que les équations soient compatibles, et par suite pour qu'il

Les trois équations se réduisent alors ;'i doux quelconques d'entre elle», et comme elles sont du premier degré

STÀTlOtK. lt>3

le système n'a pas de résultante, maïs il peut être réduit à deux forces non situées dans un même plau. Eu effet, il peut être remplacé par un couple et une force non parallèle au plan «lu couple: et l'on peut toujours faire en sorte «piécette force rencontre l'une de celles qui foi nient le couple: il suffit de transporter cou\cnablcmciit ce dernier. Or, M Ton compose ces deux forces appliquées au même point, et dont Tune n'est pas comprise dans le plan du couple, elles donneront nue résultante qui ne sera pas située dans ce plan. Le système sera donc réduit à deux forces non situées dans un même plan.

Une construction inverse ferait voir réciproquement que deux forces non dans un même plan peuvent être remplacées par un couple et une force non parallèle à son plan, et que par conséquent elles n'ont pas de résultante, comme nous Taxons démontré précédemment.

Résultante de forces dans un même f>l<m.

70. Si toutes les foi ces sont dans un même plan, on prendra les axes des x et des y dans ce plan ; les composantes et les coordonnées parallèles à Taxe des z seront nulles; on aura donc Z = o, L = o, M = <>, et la résultante sera déterminée par les équations

X,=-.X, Y, -Y, Y.rl — X.r, = N.

Les deux premières déterminent la grandeur et la direction de cette force; la troisième est celle d'une droite dont tout point peut être considéré comme le point d'application de la résultante : c'est donc l'équation même de la résultante. Elle deviendrait impossible si Ton avait X = o, Y=o, sans avoir N = o; ce qui s'accorde avec la remarque gêné* raie faite précédemment : les forces se réduisent alors à un

toupie. Toutes les fois que l'on n'a pas X = o, Y = o, la résultante existe sans autre condition, et l'on peut remarquer que la condition générale exprimée par l'équation

71. La troisième équation, qui détermine la résultante, peut Être mise sous une autre forme, en introduisant. comme précédemment, les moments des forces par rapport

Soient R l'intensité de la résultante, et Rr positif on négatif; la force opposée à R aura pour i ment

équatio;

STATIQUE. l65

quelconque, xX — yX = -r^r» 0 désignant l'angle des axes.

En effet , une force P peut être remplacée par une force égale et parallèle appliquée à l'origine, plus le couple Pp\ et elle peut aussi être remplacée par les deux forces X, T appliquées à l'origine, plus deux couples dont les moments sont xYsinO et — jrXsïnQ. Les deux forces X et Y se composent en la force P, appliquée à l'origine : il est donc nécessaire que les deux couples se réduisent au premier ; d'où Ton conclut

■rYsinfl — y\ sinO = Pp, ou

sioG

et l'on voit clairement comment les équations

2(.rY — yX) = q et ZP/> = o

peuvent se remplacer l'une l'autre.

Si les axes sont rectangulaires, l'équation précédente devient

x Y — y X = P ( x cos 6 — y cos a) = P/j ou

x cos 6 — y cos a = p.

Remarques sur la réduction dun système de forces.

73. Nous avons démontré qu'un système de forces appliquées à des points liés invariablement entre eux, mais libres dans l'espace, pouvait toujours être réduit à une force unique et un couple ; cette force est la résultante de toutes celles du système, transportées parallèlement à ellesmêmes en un point choisi arbitrairement, et que nous

<t>5 Livne i.

rectiuns dans le jilan perpendiculaire à AR; aucune ne scia celle de A M si l'angle <? n'est pas droit, c'est-à-dire si !c système des forces n'a pas de résultante unique: ainsi, en l'Mi'pi.iui ce cas particulier, la direction de l'axe du couple résultant scia différente de AM si A' n'est pas sur AR. Les directions diverses de t'axe du couple Rit' feront avec AM, le> unes un angle aigu, les autres un angle obtus, si AM et AK n'uni pas la uiêtue dircclïou. Les aies qui feront un angle WgU ■•«' AM donneront un couple résultant plus grand que AM; eeu* qui feront un angle obtus pourront donner un couple résultant plus graud ou plus petit que AM. suivant la uiaudeur du moment du couple R. R',qui peut varier de r.cro à I iuliui, en changeant la distance de A' a Alt. D'où l'on voit que le niomeul maximum relatif au point A. compare* ceux qui correspondent aux divers axe» (■assaut par A', sera plus petit que les uns et plus grand que Ira autres, si 1rs dii-ectious AM, AR sout différentes; mais si elles se cou tondent t les deux couples à composer auront

essairement leurs axes perpendiculaires entre eux, et, conséquent, donneront uu couple résultant plus grand

: AM. D'où résulte cette proposition ;

forces par rapport à lui soit plus grande que par rapport à toute autre droite menée par un de ses points, et en même temps soit moindre que la somme maximum, relative à tout point situé en dehors de lui. C'est à cet axe que M. Poinsot donne le nom d'are central des moments.

77. Détermination de l'axe central. — Pour obtenir Taxe central, il faut choisir le point A', de telle sente que la perpendiculaire au plan RAA', ou l'axe du couple RR', soit dans le plan MAR, et par conséquent dirigée suivant la ligne AN, intersection du plan MAR avec le plan mené par A perpendiculairement à AR, et telle, que AR soit dans l'angle M AN; il faudra donc prendre A7 sur la droite menée par A dans ce dernier plan, perpendiculairement à AN, et du côté de AR pour lequel le sens du couple donnera à Taxe la direction AN et non la direction opposée, puisqu'il faut que AR soit dans l'angle des directions des deux axes composants. Cela posé, il suffira de prendre le point A' à une distance de AR telle, que le moment du couple soit égal au côté MB du parallélogramme M6AN.

Désignons par G le moment du premier couple résultant AM; par K celui du nouveau couple résultant*, par p la distance de A' à AR ; par 0 l'angle MAR, le moment du couple RR' sera R/>. Les cosinus des angles de AR et A M avec les axes étant proportionnels respectivement à X, Y, Z et L, M, N, on aura d'abord