CHAPITRE VIII

ÉQUILIBRE DE SYSTÈMES DE FIGURE VARIABLE, COMPOSÉS DE PLUSIEURS SYSTÈMES RIGIDES.

80. Lorsque tous les points d'un système ne sont pas invariablement liés les uns aux autres, on ne peut plus faire les compositions et décompositions qui réduisent toutes les forces à une seule force et un seul couple. Le* principe général d'après lequel on ramène ce cas au précédent, consiste en ce qu'il est évidemment nécessaire et suffisant que chacun des systèmes rigides partiels soit en équilibre, au moyen des forces qui agissent sur lui, et qui se composent tant des forces données que de celles qui naissent de sa liaison avec les autres systèmes.

Pour fixer les idées, supposons que ces liaisons consistent en des fils flexibles, ou des liges rigides, dont les extrémités soient fixées à deux points appartenant à des systèmes différents; ou bien encore que des surfaces appartenant à deux systèmes soient en contact Tune avec l'autre et se pressent mutuellement.

Lorsque l'équilibre est établi, chaque fil étant lui-même en équilibre doit être tiré dans le sens de sa longueur, par deux forces égales et contraires, dont Tune agira sur le premier des systèmes, l'autre sur le second, chacun des deux étant tiré par l'autre.

Si les fils devenaient entièrement rigides, et ne pouvaient ni augmenter ni diminuer de longueur, Féquilibre d'une

174 i.iv«h i.

quel cou qui' de ces verges, ou liges rigides, exigerait que les deux forées appliquées à ses extrémités fussent égales, conl rai ies et dirigées suivant celle verge; niais la force appliquée à chaque corps ne sera pas nécessairement une traction exercée par l'autre, connue dans ]e cas d'un fil llexible; elle pourra être dans le sens opposé.

S'il s'agit de deux surfaces en contact, tes forces détruites par une surface étant toujours supposées normales n celle surface, il en résulte que chacun des deux système! est sollicité par une force dirigée suivant la normale omniumces deux forces sont de sens contraire*, et chaque système, au lieu d'être tiré du côté de l'antre, comme dans le cas d'un fil, est au contraire poussé par lui. Quant à l'intciisité des deux forces normales, elle est évidemment la même: car la résistance d'une surface un peu! détruire une force ipi'eu en développai": une entre exactement égale m opposée. Ainsi, dans tous les ca.H où la communication de» Rt> ternes partiels s'effectue par des fils tlexihles, des tiges ri-

nlacts de surfaces rigides, il se éà n I..,.. d'un système à un autre des forces inconnue*, celles (iejtl

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directions, quand elles ne seront pas données immédiatement.

Dans le ras particulier où l'équilibre de chaque système n'exigerait qu'une équation, et où la communication de l'un à l'autre ne donnerait lieu qu'à deux forces égales el contraires, il est facile de voir qu'il n'y a qu'une seule équation nécessaire pour J'équilibre des forces données.

En effet, soit m le nombre des systèmes ; on aura m équations d'équilibre, et /// — i forces inconnues, développées par la communication du premier avec le second, du second avec le troisième, et ainsi de suite jusqu'au m""".

Soient Xi , Xj ,. . . , Xf„! ces m — i forces. La première équation renfermera X, , la seconde Xt et Xt, la troisième X, et X3, enfin la dernière ne renfermera que XM, sans compter toutes les forces données.

Tirant Xt delà première et le reportant dans la seconde, puis X, de celle-ci et le reportant dans la troisième, el continuant ainsi, on arrivera à une dernière équation ne renfermant plus que les forces données. Ce sera la condition unique de leur équilibre \ et toutes les équations précédentes feront connaître X, , X,,..., Xm j.

/exemples divers.

82. Premier exemple. — Considérons eu premier lieu deux leviers, c'est-à-dire deux systèmes rigides liés respectivement à deux points fixes O, O' ( fig. 35) autour desquels ils peuvent tourner librement, et sollicités par des forces quelconques. Un fil ilexible a ses extrémités fixées en deux points M, M' de ces corps. On demande les conditions d'équilibre de ce système, qui est dans une position donnée où le 61 a tous ses points en li^ne d roi Le, el peut avoir nue tension inconnue quelconque.

fin désignant celle tension inconnue par X, le levier MO gara E« équilibre sons l'action des forces qui y sont dirertenit'iil appliquées et de la force X qui agit de M vers M'; il résulte de In les trois équations connues, qui renferment chacune \ au premier degré. De même le corps M'O' sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont appliquées et de la forre X qui agit de M' vers M. On trouve ainsi trois nouvelles équations qui renferment encore X au premier degré.

Tirant la valeur de X de l'une de ces six équations, on Connaîtra ta tension du fil; ei la reportant dans les cinq les équations de condition auxquelles doi-

,alisf'ai

.1 forces doi

M àpitihr

* pour que le système soit

83. Deuxième exemple. — Considérons maintenant le vstème composé d'un levier et d'un treuil, c'est-à-dire L'un corps qui ne peut que tourner amour d'un axe fixe; le premier pouvant tourner librement autour du point O,

et l'aul.

c autour de l'axe AZ (ftg. 36). Us sont sollicités forces quelconques et se louchent en un point M.

valeur, trois équations de condition entre les quantités données.

8i. Troisième exemple. — Prenons maintenant pour exemple un polygone formé par des droites rigides, dont les angles peuvent varier sans opposer de résistance, et dont les extrémités sont assujetties à rester sur des courbes données*

Soient ABCDE {Jlg. 3j) ce polygone-, P, Q, R, S, T les résultantes des forces appliquées respectivement aux points A, B, C, D, E.

Chacun de ces points doit être en équilibre au moyeu des forces qui agissent immédiatement sur lui , et de la résistance de la courbe; et, par conséquent, la résultante de ces forces, abstraction faite de cette résistance, doit être normale à la courbe.

De même, chaque côté doit être en équilibre au moyen des forces de tout genre qui y sont appliquées *, ce qui exige que les deux résultantes de toutes celles qui agissent sépar rément en A et en B sur cette tige, soient égales et directe' ment opposées, et, par suite, que celte direction soit celle du côté lui-même : d'où il résulte que ce coté produira deux forces égales et contraires, agissant dans la direction de cette tige.

Cela posé, désignons par X, Y, Z, U les forces que produisent ainsi les divers côtés du polygone. Soient a, £>, c, fi9 e les angles que font les directions des forces P, Q, R, S, T avec les tangentes aux courbes données, considérées dans des sens déterminés; a, a' les angles que les directions des deux forces X font avec les tangentes en A et B; 6, 6' les angles des forces Y avec les tangentes en B et C} et ainsi de suite.

L'équilibre du point A donnera la condition .

P cos a 4- X cos a =: o.

m B do:

- Y eus 6 = o

.■i I -m trouvera ae même, pour les autres points Y cos6' + R cosr -l-ZcoS7 = o, Z ras/+S cosrf+U cmS = a,

Kliminaul \, V, Z, U entre mutes ces équations, il en resta une seule entre les forces données, qui sera la condition d'équilibre du système. Les autres feront connaître les intensités des fucces X, Y, 7,, U.

Quant au sens dans lequel elles agissent, et qui n'est pas connu d'avance, il sera déterminé par les signes que devront avoir les cosinus des angles «, «', G, 6', etc. Aiusi, la première équation faisant connaître le signe decos x, dêenuine le sens de la force X provenant de la tige AB et gissant eu A; d'où résulte le sens de la seconde forée X nuliquce en li, cl par suite le siyne de cosa'. La seconde

liées aux deux premières courbes. Cela devait être, en effet, puisque la force Y étant détruite par la résistance dç la courbe en B, doit être regardée comme n'existant pas pour les points situés du coté de B que Ton considère.

Les trois autres équations donneront par l'élimination de Z et U, une équation qui sera celle de l'équilibre du système C, D, E considéré isolément, et dans lequel il y aurait une force indéterminée Y agissant en C suivant la ligne BC, dans l'un quelconque des deux sens, et qui sera déterminée par cette équation. En effet, cette tige BC peut être sollicitée par une force quelconque en C dans le sens de sa longueur, sans qu'il en puisse résulter aucun déplacement, vu qu'elle sera détruite par la résistance de la courbe à laquelle elle sera normale en B.

86. Quatrième exemple. — Considérons maintenant un système de points liés entre eux par des fils flexibles et inexteusibles, et formant ce que Ton appelle un polygone funiculaire* Dans ce cas, les systèmes rigides partiels se réduisent à des points. Soient A, B, C, D (fig- 38) ces points ; U, P, Q, R, S, V les forces qui y sont appliquées, et dont les deux extrêmes U, V agissent par l'intermédiaire des fils ou cordons AU, DV .

Pour que ce système soit en équilibre, il faut que ebacun des points A, B, C, D soit en équilibre au moyen des forces qui y sont appliquées. Ainsi, par exemple, le point B est sollicité par trois forces qui sont les efforts exercés par les cordons BA, BC, et la force Q; ces trois forces devront donc être dam un même plan, et chacune d'elles proportionnelle au sinus de l'angle des deux autres. Mais l'équilibre de chacun des cordons exige encore qu'il soit tiré par des forces égales et contraires, et dont l'intensité se nomme la tension du cordon. Au moyen de ces conditions, on pourra déterminer les tensions de tous les cordons, cl les

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87. On peut déterminer très-simplement la tension T d'un cordon quelconque CD, en observant qu'il y a équilibre en tri celle force T et la partie du système qui est située d'un côté quelconque de CD. Considérons par exemple les forces U, 1', Q, R etT; elles ne cesseront pas d'être en équilibre si Ton rend inflexible le polygone ABC; et, par conséquent, la forée T est égale et opposée à la résultante dis forces [', P, Q, R. Et comme on peut transporter des foires en mi point quelconque de leur résultante sans changer leur effet, on obtient le théorème suivant :

La tension d'un cordon quelconque est la résultante • le. taules les forces situées d'un même calé de ce cordon, et traïu/jortées parallèlement à elles-mêmes en un tfuclvo/tifue de ses points.

88. Lorsque le polygone est en équil ii l'on rend sa figure invariable; <-i

,iiT.

STATIQUE. l8l

jusqu'au dernier sommet D : la direction et l'intensité qu'il faudra donner à la force qui tiendra ce point en équilibre, seront telles, que le polygone entier y sera lui-môme; elle sera donc égale cl opposée k la résultante des forces U, P, Q, R, S, transportées en D, et, par conséquent, sera la force donnée V, On peut donc toujours donner au polygone une forme telle, que des forces données de grandeur et de direction s'y fassent équilibre, pourvu que, transportées en un même point, elles s'y détruisent. Cette conséquence étant indépendante du nombre des côtés du polygone, aura lieu encore à la limite lorsque, les côtés tendant vers zéro, il sapproebera indéfiniment de se confondre avec une courbe.

89. Si les extrémités du cordon sont fixes, les forces U cl V ne sont plus données, et Ton peut encore se proposer de déterminer la forme du polygone en équilibre, ci les valeurs de ces deux forces.

Pour cela, on partira de la première extrémité fixe U, et Ton supposera connues les trois composantes de la tension U; on déterminera, en conséquence, la position du point A, ainsi que les positions des autres points et les tensions de tous les cordons. Les coordonnées du point extrême du dernier cordon seront donc exprimées en fonction de celles du premier point que Ton peut supposer nulles, et des trois composantes de la force U. En égalant ces expressions aux valeurs données des coordonnées du second point fixe, on aura trois équations qui détermineront ces composantes, ainsi que toutes les tensions, et les positions de tous les sommets.

90. Si les directions des deux cordons extrêmes se rencontrent, les forces U, V ont une résultante : d'où il suit que les forces P, Q, R, S en ont une égale et opposée; et,

les deu:

sur cba

fkjuent, lorsque le polygone est en équilibre, et que extrémités sont fixes, du connaîtra l'effort exercé

■ d'elle

i prolongeant les cordot

•qu'y

abou-

tissent, jjiiis Lran^ix > riant à leur point de concours les forces données, et les décomposant en deux forces dirigées suivant ces mêmes coi dons. Chacune de ces composantes mesurera la tension du cordon correspondant, et l'effort oui sera exercé sur le point fixe où il est attaché.

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P, y, K,S(/,s.3y)soul ■a Hèles, il est facile de voir que Liml le système est coinii'isdans un même plan. Supposons, de plus, que l'un des unions, fiC par exemple, soit [lerpendiculaire à la direcion des forces; i cm plaçons-le par une force éj;ale à sa te»- .ioii, cl ne considérons que les forces siluées d'un même *{'ilé de ce cordon. La tension d'un cordon quelconque DE *sl la résultante de toutes les forces situées d'un même Ole ei lin u s portées au point U ; donc la composante perii taire aux forces sera conslante pour tous les eort égale à la tension de ISC; et la composante parallèle ils sera la somme de toutes ces forces depuis R jus-

5TAT1QIK. l83

s'allonge, et chaque point de contact d'un corps sur le plan cède plus ou moi us. Ces circonstances, jointes aux propriétés physiques de la matière qui les forme, font connaître chaque force en particulier; mais ces recherches sont étrangères à notre Cours, et nous ne nous en occuperons pas.

Equilibre d'un fil flexible et inextensible dont tous les points sont soumis à l'action de forces quelconques.

93. Delà constitution d'un fil. — Les corps de la nature étant réellement composes de molécules très-petites, séparées les unes des autres par de très-petits intervalles, la continuité géométrique que nous leur supposons est une pure fiction propre à simplifier les questions, dans les cas très-nombreux où les forces mutuelles qui agissent entre toutes les molécules, et qui peuvent être très-considérables, permettent de considérer les corps comme conservant, sinon tout à fait leur première figure, du moins celle à laquelle ils arrivent après la légère déformation produite par les forces qu'on leur applique.

Un (il, ou un corps aussi délié que possible, est donc une suite de molécules disjointes, retenues à des distances trèspetites que nous regarderons comme constantes, et même égales. Il ne présentera donc pas la figure d'une ligne continue, mais d'un polygone dont les côtés pourront être considérés comme excessivement petits et de longueur invariable, si le fil est supposé inextensible.

Nous resterons dans la réalité de cette conception lorsqu'elle facilitera les raisonnements; mais nous finirons toujours par substituer une courbe au polygone, parce que cette hypothèse simplifiera beaucoup les expressions analytiques.

On voit donc ici, contrairement à ce qui arrive ordînai-

l8.( LIVRE 1.

renient ilans la géométrie, que c'est la courbe qui est lu fiction, a» lieu que ce soit le polygone.

8*. Equations tir. l'équilibre. — Soient X. Y, Z les composâmes de la force qui sollicite nu point quelconque (lu (il, et qui «si rapportée à l'unité de longueur; de sorte qu'un arc infiniment petit ils soit sollicité par nnc fnretd< ni les composa ni es soient Xeis, \'ils, ïits. Les extrémités du fil peuvent Être lixi's, ou solliriiées par des forces données de direction et d'intensité; il s'agit de trouver le* conditions de l'équilibre du système, qui n'est autre iaVase qu'un polygone funiculaire d'un nombre infini décotes.

Or, dans cet élat, un élément infiniment pi-lii quelconque du fil doit lire en équilibre au moven des force» qui \ v.'iit appliquées; et réciproqucmeui, si cela s lieu, le fil entier sera en équilibre.

Soit donc <h un clément quelconque; il ne cessera pas d'être en équilibre si l'on rend sa figure invariable. Or 1rs forces qui le sollicitent sont les tensions excitées à ses vxtrcmilcs, qui sont dirigée* respectivement suivant le» tangentes en ces points el en scus inverse, et de plus les forces .\i/«, Xds. 'Lds.

STATIQUE. l85

Supposons les arcs s comptés à partir de l'extrémité À {fie- 4°)) et s°it MN l'arc infiniment petit ds. Les directions des deux forces tangentes aux points M et N se rencontrent si la courbe est plane, et elles peuvent être considérées comme se rencontrant môme dans le cas d'une courbe à double courbure, parce que leur plus courte distance est du troisième ordre infinitésimal, ds étant du premier. Elles peuvent donc être considérées comme ayant une résultante située dans le plan osculateur, en négligeant le troisième ordre infinitésimal. Les forces qui agissent en tous les points de MN doivent donc avoir une résultante égale et opposée à la première, et, par suite, comprise dans le plan osculateur de la courbe. Les conditions cherchées de l'équilibre sont donc celles de forces appliquées à un même point, et elles doivent exprimer que les sommes des composantes parallèles à ebaque axe sont séparément nulles. Si donc on

observe que les composantes T-t->T~>T j doivent être

ebangées de signe, on aura les équations suivantes :