X (6s — 7 j) + Y(7* — az) -f-Z(«r — 6a

ou, en réunissant les coefficients des mêmes indéterminées,

Z(X 8* -f- Y *r 4-ZJ*) = «12X 4- 6 2 Y -f- c2Z

-4-a2(.rZ — zY)4-.6 2(zX — xZ)-r-7Î(*Y— rX).

Or si le corps est en équilibre, les coefficients de a, fr, c, a, 6, y sont nuls (n° 38); et par conséquent Z(Xcî a: -f-Ydyn-ZJz) est nul pour tous les déplacements infiniment petits de ce

3<>4 LIVBB I.

corps. Réciproquement si ctMltt dernière condition a lien, 11 faut que le serontl membre suit nul, quels que soient a, A, c, a, ë, y ; ce qui exigu que leur» coefficients soient nuls séparément, d'où résultent les six équations HBMM de l'équilibre. On couclul de là que :

Pour qu'un système rigide libre, sollicité par des forces quelconques, soit un équilibre, il est nécessaire et suffisant que, pour tous les déplacements injhiimcitt pvtits de ce système, la somme des moments virtuels tins forées soit égale à zéro.

108. Considérons maintenant un corps solide qui ne soîl pas en tièrcineni libre, et dont certains points soient, ou fixes, ou assujettis .1 rester sur des lignes ou des surfaces fixes ; et supposons des forces en cquililibre sur un pareil système. Les surfaces ou lignes lixes ne pourront produire que tics forces qui leur seront normales, et les points fixes pourront en produire dans des directions quelconques. Or, si l'on introduisait ces différentes forces inconnues, l'équilibre aurait lieu entre elles cl les proposées, en supposant ce système entièrement libre; et, par conséquent, il est nécessaire et suffisant DOlir 1 eauilibrc une la somme des mo-

résultante sera égal à la somme de ceux des composantes. Car il y aurait équilibre en introduisant une force égale et opposée à la résultante; la somme des moments serait donc nulle : et comme celui de la force introduite est égal et de signe contraire à celui de la résultante, il s'ensuit que ce dernier est égal à la somme de ceux des forces données.

Réciproquement, si la somme des moments virtuels des forces données est nulle pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons, le système sera en équilibre.

En effet, supposons qu'il n'y soit pas et que sous l'action de ces forces il prenne un certain mouvement. On pourra, en introduisant de nouvelles liaisons, s'il est nécessaire, rendre ce seul mouvement possible, par exemple en fixant les courbes décrites parles différents points, et assujettissant ces points à ne pas les quitter. Ces nouvelles liaisons n'empêcheront pas le mouvement d'avoir lieu; et par conséquent dans la supposition où nous nous sommes placés il faut admettre que les forces données ne seront pas en équilibre malgré l'introduction de ces nouvelles liaisons. Or, si cela est, on pourra introduire une force qui mettra le système en équilibre; car il suffira de la faire agir suivant la tangente à la courbe décrite par un quelconque des points, en sens contraire du mouvement de ce point, et avec une intensité égale à celle que produirait un obstacle fixe opposé en ce point sur la courbe. Mais l'équilibre ayant lieu, la somme des moments virtuels des forces données, et de cette dernière, devrait être nulle, pour le déplacement en question; et comme le moment de la dernière force n'est pas nul, puisque le déplacement est dans sa direction même, la somme des moments des forces données ne serait pas nulle; ce qui serait contraire à l'hypothèse. Il ne peut donc y avoir aucun mouvement si la somme des moments des forces est nulle pour tous les déplacements compatibles avec

31)6 L1VBE I.

les liaisons du système. 0» peut donc énoncer la proposition suivante :

Lorsqu'un corps solùia n'ait pal en'ièremeiit lilirv, il est nécessaire et suffisant fiour qu'il suit en éijujlihtm. que. la somme algébrique des moments ■virtuels îles Jbrcei qui y sont appliquées, mit nulle, pour tous le' déplacements infiniment petits campa! i/'/es avec les liaisons données.

110. Remarque. — Le tas d'une droite rigide dooi les différents points soin sollicites par de* forces quelconques, rentre dans le cas général qui vient d'être traité et par conséquent les mêmes conclusions t'y appliquent. Rien ne serait plus facile d'ailleurs que de le traiter directement. On eonimenccraÎL par remplacer toute forée appliquée en un point quelconque de la droite, par deux autres parallèles appliquées à ses extrémités, ce qui n'altérerait pas la somma des moments virtuels. On remplacerait ensuite par une seule force toutes relies quî sont appliquées à chacune des extrémités, ce qui n'altérerait pas la somme des uniment* virtuels. La démonstration s'achèverait alors sans ditlieul té. puisque ces deux forces, en y comprenant les résistances

anneaux, ou par des points fixes : et dans la réalité ces deux derniers cas rentrent dans le premier. Ainsi dans la question qui nous occupe, les deux forces en équilibre sur le fil sont égales, et. tirent le fil en sens contraires*

Or la liaison des deux points extrêmes où sont appliquées les forces consiste en ce que le fil soit toujours tendu, sans quoi il n'y aurait aucune action transmise par lui, et au* cime liaison entre les deux extrémités. Nous prendrons donc comme condition des déplacements virtuels, que la somme des distances des deux points extrêmes du fil au point fixe sur lequel il peut glisser, soit constante.

En entendant de cette manière la liaison des deux points extrêmes, les projections des deux parties du fil sur leurs directions avant le déplacement virtuel donneront donc aussi la même somme, aux infiniment petits du second ordre près \ et par conséquent les projections des déplace* ments virtuels des extrémités sur ces mêmes directions seront égales, en négligeant les infiniment petits du second ordre, et de plus seront dirigées d'une manière différente par rapport aux deux forces. D'où il suit que la somme des moments virtuels de ces forces sera nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons.

Réciproquement si cette dernière condition était remplie, les forces seraient égales et tendraient à faire mouvoir le fil en sens contraire; il y aurait donc équilibre.

Remarque. — Tout ce que nous venons de dire s'applique aux cas où le fil passerait par plusieurs points fixes, et sur des courbes ou sur des surfaces fixes.

Démonstration générale du principe des vitesses virtuelles.

412. Nous commencerons par définir avec précision le système sur lequel les forces données sont en équilibre.

ao8 LivnF. i.

Ce système peut être composé do parités rigide) d'm éli n'Iiif finie, ou corps solides, et de points sans étend m sensible. Ces puints ou des points particuliers des solides peuvent être liés les uns aux autres par des droites inflexible» et inextensibles, ou par des fils flexibles; ils peuvent èM assujettis à rester sur des surfaces ou des courbes fixes ou mobiles, sans résistance langentîellc. 1 <■■■ corps faisant partie du système peuvent toucher et presser suivant la dir lion de la normale commune d'autres corps mobili-s et faisant aussi partie du système, on des corps fixes dans IV> pace. Knfin les surfaces de corps appartenant au système, peuvent être assujetties à passer par des points fixes, sur lesquels elles peuvent librement g 1 User.

Cela posé, des forces i| i ici conq lies clam supposées appliquées à des points d'un pareil système, il s'agit de ( montrer que pour tout déplacement \iilucl, cVst-s-dire compatible avec les liaUons, la somme des moments virtuels infiniment petits est égale à zéro; et récipioquciniui.

Soit M un point quelconque, auquel sont appliquée* do

forces données P, Q, R, Soient F, F",. . . de» nctioi

exercées sur M par d'autres points M, M',... du sysième r

teudant ainsi ces déplacements, on aura

+ Fêl{mm') + Y,3l(mmv)... + Kt* + K'*n'+...=:o9

la caractéristique $t désignant la variation correspondante au déplacement du point m seulement.

On aura des équations analogues pour chacun des autres points. Considérons ceux qui fournissent des termes dans l'équation (1). Dans l'équation relative au point m\ le terme introduit par Faction de m sera Fât (mm') , dt désignant la variation relative au déplacement de mf seul, m restant fixe. De sorte que par l'addition de l'équation (1) et de cette seconde , les deux termes renfermant F se réduiront a Fâ (mm') , â désignant la variation de la distence mm' quand les deux extrémités se déplacent pour parvenir aux positions qu'elles doivent avoir après le déplacement virtuel donné au système entier. Or, d'après l'hypothèse, mm' a une valeur constante, donc â(mm') est nul, et la force F n'entrera pas dans l'équation résultant de l'addition.

Noos n'avons fait ici aucune distinction entre une tige inflexible et un fil flexible restant rectiligne et de longueur constante. Mais s'il s'agissait d'un fil passant par un point fixe sur lequel il pourrait glisser, ou qui pourrait glisser sur lui, les deux parties rectilignes ne seraient plus constantes/, mais leur somme le serait. Les projections des espace» parcourus par les deux extrémités sur les directions respectives des fils seraient encore égales, ainsi que les deux forces provenant de la résistance du fil : leurs moments virtuels seraient encore égaux et de signe contraire, et disparaîtraient encore dans l'addition des équations.

Supposant donc qu'on ait ajouté les équations analogues

aïo Livn* i

à (i) et relatives a tous le* point* ilu système, luula» 1rs forces F, F' auront '!<•(* r n . Voyons te que deviennent Ici moments qui proviennent de* force* Pi.

Si la surfera qui jiimluii la fortv itorru.de N M fiw, le déplaecmenl du point d'application sVllci tuant sur cettr surface mi'innr, jii »era uni, le montent Ndn sera nul; ti il en sera de même «le lotis teuv uni proviendront de la ivaisUace de surfaces lises.

Si la surface est mobile, an ne sera, plus nul, et le nn> ment iW« restera dans l'équation (i). Uait U point o\em sur la surface une réaction «gale et opposée, dont le wv m. m virtuel serait par emiséquciit — (\ in. Or le corjH solide d'uil la surface produit la force N, doit Cire vn équilibre bu moyen de toutes les forées extérieure» qui y sont appliquées, et parmi lesquelles il faut compter U réaction du point. Doue, d'après ce que nous avons va précédemment, U somme des ra'niiaiis virtuels de toute» ces Corées est nulle, ei dans cette équation se trouvei j le le: — Ndn; de sorte que dans la somme de* équations deux termes rcnfcrin-tni M m- détruiront. odvMU foire connue disparaîtra. Il en serait de même pour tous

stati^ui;. an

forces de pression sont égaux et de signes contraire!, oa nuls, et disparaissent dans Ja somme.

La même conséquence s'applique au cas où la surface de l'un des corps serait assujettie à passer par des points fixes sur lesquels elle pourrait librement glisser. Carres points peuvent être considérés comme des surfaces infiniment petites, auxquelles la surface du rorps serait assujettie à être tangente.

11 résulte de cette discussion que dans la somme des premiers membres des équations fournies par l'équilibre des diverses parties du système, il ne reste que les moments virtuels des forces données ou des forces mutuelles exercées par les points les uns sur les autres, suivant des lois données.

Désignant ces diverses forces sous le nom de forces extérieures, pour les distinguer des forces inconnues provenant des liaisons, et que nous appellerons intérieures, les conséquences précédentes conduisent à cette proposition générale :

Lorsqu'un système assujetti à des liaisons quelconques, du genre de celles que nous avons définies, est en équilibre, sous Faction de forces extérieures quelconques, la somme des moments virtuels de ces forces est nulle pour tout déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons du système.

113. Réciproque. — La réciproque de cette proposition est vraie, c'est-à-dire que si, pour tous les déplacements infiniment petits compatibles avec les liaisons, la somme des moments virtuels est nulle, le système est en équilibre. En effet, s'il n'y était pas, il prendrait un mouvement déterminé, et chaque point décrirait une certaine ligne en vertu des forces données et des liaisons» Quelles que soient ces lignes, on ne changera rien au mouvement en introduisant de nouvel les liai sons qui ne permettraient au système

<iue île ]>rcndn le mouvement même qu'il prend , tir telle sorte tjue le mouvement d'un »eul de »cs points déferai iu crail celui des autres, et que la lisile d un point déiermi lierait celle des autres. Ces liaisons étant supposée* fcflnr* duites. prenons le déplacement virtuel suivant ce mouvement devenu seul possible. Pour ce déplacement, par hypothèse, la somme des moments virtuels sci i Dalle, c'est-à-dire sera un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier; et le premier ordre sera déterminé en général par le déplacement de chaque point. Si cependant, dan» un cas particulier, quelques point» décrivaient dans té mouvement des espaces infiniment petits par rapport au* autres, ce sont ces derniers qu'on choisirait pour délcrminer le premier ordre. Maintenant consiiléron» un drs points correspondant à un moment virtuel infiniment petit dupiemierordre; et ctiipèi-hotis son mouvement, par exemple par un obstacle place sur la ligne qu'il décrit, ci qui produira une force opposée au mouvement qu'il irtidnit ,1 prendre. Le point, et par suite le système, restera en repu», et la force introduite jointe aux forces donnée* produira 1 énuilibre. Donc, d'après la urtino>itii>n nrécédente. la

STATIQUE. 2l3

nies, est sollicité par des forces quelconques, il est nécessaire et suffisant pour qu'il y ait équilibre que la somme des moments virtuels des forces extérieures agissant sur le système, soit nulle pour tout déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons. »

C'est en cela que consiste ce qu'on appelle le principe des vitesses virtuelles.

114*. Deux systèmes de forces appliquées à des points liés entre eux d'une manière quelconque, sont dits équivalents lorsqu'ils pourraient être détruits séparément par les mêmes forces ; et il est clair que la même propriété ne se conserverait pas en général, si la nature des liaisons changeait. Or il résulte du principe des vitesses virtuelles que la somme des moments virtuels de deux systèmes équivalents est la même, puisqu'elle est égale et de signe contraire à une même somme. *

Si deux systèmes peuvent être détruits séparément par un troisième, il est évident que tout autre système qui détruirait l'un des deux détruirait l'autre, puisque la somme de leurs moments virtuels serait la même, en vertu de la première condition. Réciproquement, si la somme des moments virtuels de deux systèmes est la même, ils feraient évidemment équilibre aux mêmes systèmes..

115. Pour exprimer celle proposition générale par une formule algébrique, désignons par P, Q, R les intensités des diverses forces appliquées aux points du système, et par p, q, r, . . . , les distances de ces points a des points* fixes pris sur les directions mêmes de toutes les forces ou sur les directions contraires : la condition d'équilibre sera exprimée par l'équation

Pa/>4-Q<ty-hR<Jr-4-. . . =o,

(*) I ou

ai4 t.ivitf. i.

la soumit' £ se rapportant à lonlr* les lunes extérieures,

c'est-à-dire à <■■■!!- ...ni ne proviennent pas des liaisons du

système.

Si l'un remplace ehucune de» farom par ses OOfeipOWlKM parallèles aux axes X, Y, Z, et qu'on se rappelle la

V$l> = XeU + Ycï,rH-Z*»,

démontrée générale (n" 101 ), en tenant compte des signe-. de X,Y, Z, x,y^ *, l'équation (a) pourra être remplacée par la suivante :

(3) s(&4> ■+- YJrH-za»] = o.

[Voua allons soir éliminent celle équuliim peut donner les conditions de l'équilibre d'un système quelconque-

Supposons d'abord, •comme on le fait ordinairement, que les liaisons du système puissent être exprimée!* par de* équations entre les coordonnées de ses différent» point», et soient

STATIQUR. Îl5

et qu'on les reporte dans l'équation (3), elle en renfermera encore 'im — >#, qui seront entièrement indéterminées. Et comme celle équation doit avoir Heu pour tous les déplacements qui satisfont aux conditions du système, elle sera satisfaite, quelque valeur que Ton donne à ces indéterminées; ce qui exige que les coefficients de chacune d'elles soient nuls séparément. On aura ainsi 3#w — n équations, nécessaires et suffisantes pour F équilibre. En les joignant aux n équations données, on aura uu nombre d'équations égal au nombre des coordonnées des points du système.

Elles pourront servir à déterminer les positions d'un certain nombre de points d'application, ainsi que les grandeurs et les directions d'un certain nombre de» forces, de manière à ce que l'équilibre ait lieu.

L'élimination de n variations entre les équations (3) et (4 ) peut s'effectuer de différentes manières : on pourrait tirer leurs valeurs des n équations (4) et les substituer dans l'équation (3), puis égaler à zéro les coefficients des 3/7i — n restantes. Mais il vaut mieux multiplier les équations (4) par des facteurs indéterminés 1, V, A", etc., pujs les ajouter à l'équation (3). On égalera ensuite à zéro les coefficients des n variations qu'on voudra éliminer; ce qui déterminera A, X', 1", etc., et enfin on égalera a zéro les coefficients des autres variations. On voit donc qu'après avoir ajouté toutes les équations, on devra annuler séparément les coefficients des 3 m variations; n de ces équations détermineront A, 1' , X", etc., et, en substituant leurs valeurs dans les autres, on aura les conditions d'équilibre du système.

116. L'avantage de cette méthode n'est pas d'abréger le calcul, mais de faire connaître les efforts produits par les liaisons, et les forces qui pourraient remplacer les équation» qui expriment ces liaison».

MMMHH^HHHIH^HHH^E

3l6 LIVRE I.

Eu effet, les im équations auxquelles ou parvieut, sont

rii dj (M

„ WL ,,</L' ,-rfi,"

Y+1 — -+-V — -t-V— -M-... = tt, nj" "y dy

dL , </L' „</L"

Z + X—-|-i' — -t-V" — +...=<>, </z rtï ai

v, , dL vdL! .„ dL" dx' rfj- tir'

„, , dL „rfL' ,„rfL"

dy dy dy

Or ces éV

nations seraient les mimes, si les équations L = o,

L'= o, etc., n'existaient pas, e'cst-à-dirc si tous les points

étaient libres, el qu'on appliquât au point M une force ayant

pour composantes

,l\ Al. 4M. Jt:

serait L = o, mais dans laquelle a/, y*9 z1 seraient seules variables, et ainsi de suite pour les autres points.

Ce que nous venons de dire de l'équation L = o peut se dire de toutes les autres; et dès qu'on aura déterminé, comme nous Pavons dit, les valeurs de X, X', 1", etc., on connaîtra les grandeurs et les directions des forces dont les diverses liaisons tiennent la place, et qui réciproquement pourraient remplacer ces liaisons.

Cas où L, L', . . . , ne dépendent pas seulement

des coordonnées.

117. Nous avons supposé que les équations L = o, etc., qui expriment les liaisons des points du système, ne renfermaient de variables que les coordonnées de ces points, de quelque nature qu'elles soient. Mais il pourrait arriver que les équations de condition fussent d'une autre forme, même quand elles seraient réductibles à celle-là, et il est possible aussi qu'elles n'y soient pas réductibles.

Pour donner un exemple du premier cas, supposons que le point dont les coordonnées sont x, y, z soit assujetti à rester sur une surface engendrée par une courbe mobile dont les deux équations sont

a étant un paramètre variable qui détermine chaque génératrice de la surface, et qu'il faut éliminer entre ces deux équations pour avoir celle de cette surface.

Si l'on faisait l'élimination de a, on rentrerait dans le cas précédent; mais si on ne peut pas, ou si on ne veut pas la faire, on peut s'en dispenser. En effet, pour passer du point donné jr, y, z à un point inCnimenl voisin de la surface, il faut d'abord augmenter l'a qui s'y rapporte

ai8 livre i.

d'une quantité iiilinimcui petit* Sa pour passer i une génératrice voisine; cl changer x, y, r en jr-t-$T. Y -t-ir. x-hàz, en exprimant que ces nouvelles coordonnées fc*tisfout aux équation* de la nniivillr gfaéwUrta : ce qui donne, en retranchant les équations deux à deux,

dV ,