IV

Sa = o

>fy

--fia.

On aurait aiusî deux équation» au lieu d'une cuire le» variations; mais aussi il y a de plus In variation 3a, ce qui laisse le même nombre de variations arbitraires. On ■ entrerait dans le premier cas eu lilimiiuni ou entre In deux dernières équations.

118. Donnons maintenant un exemple du C*6 "ù tes liaisons ne pourraient être exprimées par des équaiious où les coordonnées des points seraient les seules variables.

Supposons que certains points du système soumis à l'action de forces X, \, Z, X', Y', Z'. etc., soient assujettis

cette équation. Il s'agit de trouver les relations qui en résultent entre les déplacements virtuels Sx, ây, iz, dx' , dy\..., des points assujettis a rester sur cette surface, dans toutes les positions infiniment voisines de celle qui correspond à l'équilibre. Or les coordonnées x^ y, z, après être devenues x-î-âx, y + dy, z-{-dz, doivent satisfaire à l'équation de la surface dont les paramètres sont devenus a -+- da, b -h âb,. . . , et l'on aura par conséquent, en retranchant les deux équations,

dY % dY % dY % dY , dY „ dY % dx dy dz da db de

df %A dY . dY -,

On aura de même pour le point oc!, y1, zf dY dY dY dY' dY'

en entendant que -7— > —7- ne ai itèrent de — » -jr- que par

le changement de xy y, z en j/, y*9 Z*.

On agirait de même pour tons les points assujettis à rester sur la même surface.

Cela posé, soient X, p, v, . . . , les divers facteurs par lesquels on multipliera ces équations, pour les ajouter à celle des vitesses virtuelles, d'après la méthode précédente 5 eu égalant à zéro les coefficients des variations dfr. ây9 àz, da/, . . . , 3a, $b, ... , on aura d'abord

dY dY dY

X + )t- = o, Y-f-X— -=0, Z-h>-3- = o, «X djr dz

(6) { v, <** v, <*F r.. àY

|Xf+^s> = °. Y'+^

aao livre i.

«ii nuppu pie x, y, «,..., n'enirenl pas dans d'auir»

équations-, sans quoi on ajouterait les termes qui en pruviendraienl aux précédents. Et l'on aura en outre

Le» équations (6) font voir que les forées appliquée» aux points x, j, s, a', jr\ z',. . ., doivent cire normales n la surface mobile : eu les combinant avec les équations {7), ou aurait par l'élimination du X, fi, v. . . . , les conditions de l'équilibre des forces appliquées à ta surface mobile.

Cet exemple suffit pour montrer comme m il faudrait faire dans des cas plus compliqués.

Remarques sur tes forces produites par tes ttnisvtn. H9. Nous avons va (n° 110) quelles forces pouvaient

STATIQUK. 221

appareils sont définis dans tous leurs détails, et qu'on ne se borne pas à donner les équations entre les coordonnées, qui en sont la conséquence.

Si, par exemple, un point est lié à un point fixe par une tige rigide, on aura entre les coordonnées x9 jy z du premier et les coordonnées a, &, c du second l'équation

(x - a y + [y — by -h (z — cy s? F,

l désignant la longueur de la tige. Mais on aurait aussi la même équation en assujettissant le point à rester sur une sphère matérielle ayant pour rayon / et pour centre le point a, ft, c. Cette sphère pourra être rendue immobile en fixant trois de ses points, et Ton voit combien, dans ces différents cas, seront différentes toutes les actions partielles exercées dans ces divers appareils, et qui cependant donneront toujours au point mobile une résultante normale à la sphère déterminée par l'équation précédente. Il serait superflu d'insister davantage sur un point aussi évident.

120. Conséquence relative au mouvement géométrique d'un point. — Si, par suite de certaines liaisons, un point ne peut se déplacer que sur une certaine surface ou une certaine courbe purement idéale, on peut, d'après ce qui précède, supprimer toutes ces liaisons et assujettir le point a ne pouvoir quitter cette surface ou cette courbe devenue matérielle. En effet, il en résultera les mêmes relations entre les déplacements virtuels et les conditions d'équilibre seront par conséquent les mêmes.

Ainsi, sur un plan, le sommet d'un angle constant dont les côtés passent par deux points fixes ne peut que se mouvoir sur un arc de fcêrcïe; et s'il est soumis à l'action de<certaines forces, il faudra que leur résultante soit détruite par les résistances des points fixes, lesquelles seront normales aux côtés de l'angle rigide, s'il n'y a pas

322 LIVBR r.

de ïrolienucnt. Mais si l'on veut taire abstraction <]<• rc* liaisons, on pourra supposer l'arc de cercle rendu matériel el fixe, et le point assujetti A lie pouvoir que «lisser librement surlui. Cette considération conduira plu* simplement n la même condition d'équilibre que donnerait l'autre mode de liaison, savoir que la résultante u>it normale au

Le plus ordinairement, on regarde comme évidente l.i possibilité de remplacer ainsi les liaisons par la surfin ■•• DD la courbe, rendue matérielle et lixe, et qui n'est cependant qu'une conséquence purement géomiUl ique de liaisons d'un autre genre; et l'on fait servir ce principe à la démonstration même du principe des vitesses virtuelles, dont, |Q contraire, nous venons de le déduire. Sans Voitlou Lrop condamner cette manière de procéder, que noiiA avoua nous-raême suivie quelquefois autre pari que dans «et ouvrage, nous nous bornerons à dire que ce n'est qu'après mûre réflexion qu'elle omis a paru uti pru livpiilbélique.

Ce n'est pas qu'il me paraisse impossible d'ét;ili!ii R principe, mais couimc ion séquence et non a priori; ci alors on aurait une exposition théorique moin» simple «y-

qui exprime la somme des moments virtuels devant être nulle, elle aura sa dérivée nulle. Il s agira doue de déterminer la forme de la courbe par la condition que la variation d'une intégrale déGnie, prise dans toute son étendue, soit nulle en passant de cette courbe à toute autre infiniment voisiné; pourvu que ses points n'aient fait que se déplacer, et que les éléments infiniment petits qui la composent aient respectivement conservé leur grandeur. Or ce problème est du genre de ceux que le calcul des variations a pour objet de résoudre.

Soient \ds,Y <ls, Xds les composantes de la force qui sollicite l'élément ds\ le principe des vitesses virtuelles donnera l'équation

fds(X9* + YSy + Z<J*)=o,

cette intégrale étant prise dans toute l'étendue du. (il, et les variations Jjr, âjr, i z étant telles, que l'élément quelconque ris conserve la même longueur, c'est-à-dire que Ton ait

$ds = o, ou — dàx 4- —■ de y -f- —- dSz =r o.

tls ils ds

Cette équation a lieu pour tous les éléments, et l'on a, par conséquent, autant d'équations de condition que d'éléments. D'après la théorie précédente, on doit les multiplier par des coefficients indéterminés, variant de Tune à l'autre, et qui, par conséquent, dépendent de 5; de sorte qu'on peut les représenter tous par une fonction quelconque de sy que nous désignerons par A\ et, ensuite, ou doit ajouter tous ces produits à la somme des moments virtuels, puis égaler à zéro les coefficients de toutes les variations. Cette somme sera une intégrale prise entre les mêmes limites que la première, et l'on aura ainsi l'équation de-

X, txt + Y, <r, ■+- Z, ii, + X, Sx, + Y, Jr> -+■ z,3«,

a-, j'i z, , x» jj', Si étant les coordonnées des extrémités, et X, Yi Z, , X, Y, Z, les composantes des forces qui y loril appliquées.

Maïs on a

J A ils J eh

l'équation précédente devient donc

et, pour les points extrêmes,

Les équations (i) sont les mêmes que celles du n° 91, dans lesquelles T est changé en — X. Kliminanl entre elles X, on aura les deux équations de la courbe, et la valeur de X s'ensuivra. Les équations (a) feront connaître les grandeurs et les directions des forces qui doivent être appliquées aux extrémités.

On peut remarquer que l'équation précédente, fournie par le principe des vitesses virtuelles, serait la même si chaque élément, au lieu d'être lié aux autres, était entièrement libre, pourvu que sa première extrémité fût sollicitée

par les forces X — > X — > ^7T' 4U^ se Nuisent à u°e force

tangente égale à X, dirigée en sens contraire de l'élément, et que la seconde extrémité fût sollicitée par une force tangente égale à X H- JX, et dirigée suivant le prolongement de l'élément. D'où il résulte que l'indéterminée — X mesure en chaque point la tension du fil, ce qui s'accorde avec ce qui a été dit n° 94.

Remarques sur l équilibre d'un système quelconque.

122. Lorsque l'expression £ (X àx H- Yd^-f- Z$z) sera la variation d'une certaine fonction de x, j\, s, .r', y\ s', etc., traitées comme variables indépendantes, l'équation donnée par le principe des vitesses virtuelles montre que, dans la position d'équilibre, cette fonction est, en général, un maximum ou un minimum par rapport à toutes les va- I. i5

aafi LIY1IK I.

leurs qu'elle peut prendre lorsque le système subit mi déplacenient infiniment petit quelconque, compatible, avec ses liaisons; le minimum correspond sa rus île l'équililire instable, et le maximum au cas de l'équilibre stable. Mais cette discussion nous écarterait trop île notre objet, et bolU nous bornerons à examiner le cas simple d'un système quelconque de points sollicites par des forces parallèles. proportionnelles aux masses.

Si I ou pr de ces forces, □

md l'a

ntrairede la din

X = o, Y = o, Z=-gdm,

dm désignant la masse d'un quelconque des éléments, et g le poids de l'uni té de masse. L'expression £ (Xox-t-\âj-i-Zàz) devient alors — gïïrlrtii s; vl l'équation d'équilibre sera

ïtlntSz

(îlw/m = (i

doiic£zr//ii est maximum ou minimum. Mais Xstlni est égal au produit de la masse du système par le r du centre des forces parallèles-, donc ce centre est le plus haut, ou le plus bas possible, lorsque le système est en équilibre. Le

Le théorème que nous voulons démontrer consiste en ce que la somme p* H- pf* -h . . . ou 2/>f sera un maximum ou un minimum, parmi toutes les valeurs qu'elle peut prendre lorsque, les points N, N'y etc., restant fixes, les points M, M', etc., subissent un déplacement virtuel quelconque, compatible avec les liaisons du système.

En effet, soient L [fi g- 3i ) une position infiniment voisine que peut prendre le point M \ H sa projection sur la direction de la force P; 0 l'angle PML; faisons ML = r, MH = ty.

Le principe des vitesses virtuelles donne pour tous les déplacements possibles ZPdp = o } et, par conséquent, en multipliant tous les termes par À,

(i) iP$p = o,

équation qui équivaut à

(a) 3ip* = o,

d'où il suit que généralement Zp* sera un maximum ou un minimum pour tous les déplacements infiniment petits des points M, compatibles avec les liaisons du système ; car c'est avec cette dernière condition que les $p sont entendus dans F équation (i).

Pour reconnaître si Zp* est un maximum ou un minimum, calculons exactement son accroissement. Si nous désignons par pi la valeur NL de p après le déplacement virtuel arbitraire, nous aurons

p] = p1 — ipr cosÔ -+- r% d'où

2/?}= ïp* — 2lprcosQ -h 2ra.

L'accroissement de 2>p* est donc

(3) 8lp* = — 22/>rcosd -f- ïr*.

Or («premier terme tl««ettfl expression H*Wt aulrc fflttMf

que — y £/> 'j/'. puisque l'un n

rcbaVâs ?/*;

donc, si l'on mail rigoureusement 1 Yq n.it in n (l), #£/»' se réduirait à £»J qui eat essentiellement positive, d'où il suivrait que E/j* sérail toujours minimum. Mais nous avons l'ail remarquer, liant In dénmiisiratinn ilu principe des \ ilesses virtuelles, nue Xpôp n'était pat L;éuéialcmctil nul, mais infiniment petit du second ordre ; *ft comme 5r* 4M du même ordre, les deux parties de ù£ji* sont comparables, et l'on ne peut rien dire d'absolu sur It: signe du résolut Cependant on peut faire quelques remarques importante! » cet égard.

Supposons d'abord que SPtfp snii de initie signe pom tous tes déplacement» virtuels, il faudra distinguer deux cas.

S'il est négatif, les deux termes de l'expression (3) serunt positifs, et, par conséquent, £/'' sera un minimum, quelle que soit la valeur du rapport A, depuis /éiu jusqti'.i l'infini.

STATIOUK. 2 2()

port À, et, par suite, aux longueurs /;, //, etc., des valeurs assez voisines de zéro pour que la première partie de (3) soit incomparablement plus petite que Zr*. 11 suffit, en effet, de supposer que /?, p' soient des infiniment petits du premier ordre, parce que la première partie de l'expression (3) deviendra infiniment petite du troisième ordre, et l'autre n'étant que du second, son signe prévaudra. D'où il résulte que 2^' sera minimum, puisque son accroissement sera toujours positif. Cette dernière proposition est due à M. Gauss; elle n'est qu'un cas particulier d'un théorème que cet illustre géomètre a donné dans le cas d'un mouvement quelconque : c'est celui où Ton supposerait que le mouvement se réduirait à zéro. On peut dire aussi que ce théorème est renfermé dans la proposition précédente, en vertu du principe de d'Âlembert, dont nous parlerons plus tard.

H est bon de remarquer que ce n'est pas seulement dans le voisinage de h -= o que Epf sera nécessairement un minimum*, il en sera ainsi depuis cette limite jusqu'à une certaine valeur finie de Zr, pour laquelle la première partie de dEp* cessera d'être inférieure à la seconde pour tous les déplacements virtuels.

On peut observer encore que lorsque, pour une valeur de h. E/>* sera maximum, il suffirait de porter les quantités p dans le sens opposé, pour que Hp* devint minimum ; car alors cosd changerait de signe sans changer de valeur, et les deux parties de dUp* seraient positives. Il y aurait donc minimum en considérant cette même valeur de k avec le système des forces égales et contraires aux premières, et qui seront en équilibre en vertu du principe des vitesses virtuelles.