CHAPITRE X

APPLICATION DE LA THÉORIE DBS BÛHGBS WtALLStBfl

AU CAS DE LA I lll| MUMUH.

Considérations générales sur la pesanteur et les tenlies de gravité.

121. Tous les corps abandonnés ;i eux-mêmes prennent un mouvement vers l'intérieur de ta (erre, dans une direction perpendiculaire à U surface des eaux traïupiîllt-s, et qu'où nomme verticale. S'ils sont retenus, ils exercent une pression sur l'obstacle dan* la même direction. Par exemple, si un corps est suspendu .par un til, ce lil prend une direction vertical»] et si l'on dêtuclic le corps, il tombe suivant le prolongement de cette dioîte. I.'e\j.i'i'ri-i«-.-

terre, et change, par conséquent, de direction avec la position sur la surface ; son intensité change quand on s'éloigne ou qu'on s'approche du centre, et dans le même rapport pour tous les corps.

Mais ces variations ne sont pas sensibles dans une petite étendue; et Ton peut regarder les verticales comme parallèles, et la pesanteur comme constante, pourvu que Ton considère des points peu éloignés les uns des autres relativement au rayon de la terre. C'est ce qu'il a été facile d'établir par des expériences précises.

Au reste, c'est indépendamment de toute notion sur la tigure de la terre, que Ton constate, par l'expérience, le parallélisme des verticales et la constance de la pesanteur dans une étendue beaucoup plus considérable que les dimensions des corps que nous avons en vue de considérer ici. Nous les admettons donc comme des données fournies par des expériences directes.

La pesanteur sollicite les parties intérieures des corps comme les parties extérieures. Il faut faire le même effort pour supporter un corps entier, ou les parties dans lesquelles on le divise; et, s'il est creux, les corps que Ton y renfermera exerceront le même effort que s'ils étaient placés à l'extérieur. Nous pouvons donc regarder celte force comme agissant sur toutes les parties qui composent les corps; et nous en verrons une confirmation complète dans le mouvement qu'ils prennent suivant la verticale.

En appliquant la théorie des forces parallèles à celles qui proviennent de la pesanteur, on reconnaît d'abord qu'elles ont une résultante qui leur est parallèle, et est égale à leur «omme; on l'appelle le poids du corps.

Eu second lieu, cette résultante a son point d'application indépendant de la direction des forces relativement au corps. C'est le centre des forces parallèles produites par 1» gravité. On lui donne le nom de centre de gravité.

■iii livue i.

125. Lorsque la matière qui compose le corps est homogène, les volumes rgaux oui des poids égaux. Si la matière île deux corps homogènes est dillérenie, le poids est généralement différent pour des volumes é^niix. On appelle poids spécifique d une substance homogène le poids de l'unité de Vfilume, ou, ec qui est la même chose, le rapport du poids d'un volume quelconque de cette substance à ce volume même. Dans les Tables que l'on a formées, on rapporte ces poids spécifiques à celui de l'eau distillée, prise à la température où sa densité est la plus grande, et qui est d'environ 4 degrés au-dessus de zéro -, quant aux autres corps, on les suppose pris à la température zéro. Les moyens employés pour lu formation de ces Tables se rapportent à la physique, cl nous ne nous en occuperons pas.

Lts poids qu'on a choisi pour terme de comparaison est celui d'un centimètre cube d'eau distillée, prise au maximum de densité, et considéré a l'Observatoire de Paris; on le nomme gramme. Les nombres renfermés dans la Table des poids spécifiques expriment donc le nombre de grammes èîe i centimètre cube de ces substances, prises à la température zéro.

STATIQL'E. 233

donnée, ainsi que la figure du corps, on peut encore se proposer d'en déterminer le centre de gravité. On voit, d'après cette définition, qu'un volume infiniment petit du corps aura un poids qui ne différera que d'une quantité infiniment petite, par rapport à lui-même, du produit de ce volume par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points. Cette quantité pouvant ètr*jiégligée sans erreur dans les résultats des questions qui né- dépendent que des limites des sommes ou des rapports, il s'ensuit que le poids spécifique tel que nous l'avons défini, joue absolument le même rôle dans le cas des corps non homogènes que le poids spécifique défini d'abord dans les corps homogènes $ seulement, il ne faut l'appliquer qu'à des volumes infiniment petits dans tous les sens.

127. Quoique les surfaces et les lignes ne puissent avoir de poids, puisqu'elles ne sont- que des limites d'étendue et ne renferment aucune partie matérielle, on les considère néanmoins comme ayant un centre de gravité. On suppose alors qu'elles sont soumises à Faction de forces parallèles, qui, dans le cas de l'homogénéité, donnent des résultantes égales pour des parties équivalentes-, et Ton donne l'intensité de cette force pour l'unité de surface ou de longueur. En partant de cette hypothèse, et considérant toujours les surfaces et les lignes comme on le fait dans la géométrie, il n'y a rien que de clair dans la recherche du centre de ces forces parallèles, qu'on nomme, par analogie, centre de gravité.

Si les résultantes n'étaient pas égales pour des aires équivalentes, on concevrait, pour un point quelconque, une portion infiniment petite renfermant ce point, et on prendrait le rapport de la résultante de celle portion à son aire. La limite de ce rapport sera déterminée, et nous lui donnerons, par analogie, le nom de poids spécifique de la surface

2^4 LlVltt- |.

en ce point; ce poids spécifique sera une fonction connue des coordonnées des points de la surface, cl le cenire de> forces parallèles, que l'on désignera encore sous le nom de centre de gravité, sera enlîèremenl déterminé.

Les mêmes < on sidéra [ions s'appliquent au cas d'une ligne dans laquelle des ares égaux ne donneraient pu des résultantes égales.

128. Les corps sont réellement composés de parties trèspetites, séparées les unes des autres; mais il n'y a aucun

nue; car cela ne produira d'autre effet que de changer de quanti lés insensibles les points d'application des forces, et il n'en peut résulter aucune erreur appréciable dans les résti liais.

Lorsque l'on connaît les poids et les centres du gravité de corps en nombre fini. le théorème des moments donne immédiatement la position du centre de gravité du système. Sï l'on désigne par P un quelconque îles poids, par X, } , s les coordonnées de son centre de gravité, et par x„ yif :, celles du centre de gravi lé du système, on

Détermination des centres de gravité.

129. Lorsqu'un corps de nature quelconque est infiniment petit dans tous les sens, sou centre de gravité est à une distance infiniment petite d'un quelconque des points de ce corps; car, si Ton compose successivement toutes les forces, en partant d'un point quelconque du corps, les points d'application des résultantes successives étant toujours compris entre les deux points d'application des forces que Ton compose, resteront constamment à une distance infiniment petite de tous les points du corps. Cette simple observation permet de ramener au calcul la détermination des centres de gravité des corps, sans aucune recherche préalable. 11 suffira, pour cela, de les décomposer en éléments infiniment petits dans tous les sens, parce qu'alors on pourra prendre pour centre de gravité de ces éléments un point quelconque de leur surface ou de leur intérieur, ou même en dehors, et à une distance infiniment petite; car on n'altérera qu'infiniment peu les coordonnées du centre de gravité de chacun de ces éléments, et, par conséquent, son moment ne sera en erreur que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. Donc la limite de fa somme des moments ne sera pas altérée, et Ton peut établir cette proposition générale :

Le produit du poids d'un corps par la distance de son centre de gravité à un plan quelconque, est égala la limite de la somme des produits des poids de chacun de ses cléments infiniment petits en tous sens, parles distances d' un quelconque des points de ces éléments respectifs, ou d'autres points infiniment voisins, à ce même plan.

Si le corps est homogène, le poids d'une quelconque de ses parties est égal à son volume multiplié par le poids spé-

ci tique de la substance; mais, s'il ne l'es! pas, le powls d'un .'■1 émt 'ii! sera égal à sou volume multiplié par un poids spécifique moyen, qui ni' différera que d'une quantité tiitiaiment petite du poids spécifique de la substance en un quelconque des points de cet élément. Ainsi, dans ce m, ou inulli pliera le volume in li ni ment petit de l'élément pÊf le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points ou des points infiniment voisins; et, en substituant ce produit au poids réel de l'élément, il n'en insultera aucune erreur dans la limite de la somme des poids <i de leurs moments.

Il est facile de voir comment toutes ces considérations, n'appliquent aux surfaces el nus lignes. Nous allons les examiner successivement.

Centre de gravité tles lit/itcs.

130. Les équaiions d'une ligne d;ms l'espace déterminent deux coordonnées en fonction de la troisième, pat evemplc v el z en fonction de x. I,' expression de l'élément

Si la ligne est homogène, p est constant, - est la longueur s de Tare, et Ton a simplement

Si la ligne est plane, on la supposera dans le plan XY, et il suffira de faire 2=0 dans les premières ou les secondes formules, suivant que celte ligne a un poids spécifique variable ou constant. Dans ce dernier cas, elles deviennent

C I dy rx rx

s = I dx 1/ I-H -t-j » sx y = I xds, syt = I yds.

Centres de gravité des surfaces.

131. Si Ton conçoit une surface courbe décomposée en éléments infiniment petits dans tous les sens, par deux séries de plans, les uns perpendiculaires à Taxe des x, les autres à Taxe des j', nous avons vu que Ton pouvait prendre, au lieu de l'élément même de la surface, l'expression

dxdy^ I"*-(:7l) "*" ( T" ) ' <lue nous représenterons par

dA. Soit p la fonction de x et j, qui exprime le poids spécifique en un point quelconque de la surface; le poids de cet élément sera pdA, et ses moments seront pxdA, pydA* pzdk ; on aura donc, en désignant par P le poids de l'airetotale que Ton considère,

P=//WA, \Krx=ffpxdAy Pjrt=ffpyd\, Pz^ffpzt/A.

a38 uv»e i.

Les limites de. ces intégrales sont les mêmes que |K»ur la

quadrature dos su i laces courbes.

Si la surface est homogène, p est constant et - est l'aire totale que nous représenterons par A : on aura alors

xdk.

132. Surfaces do révolution. — Le centre de gravité une surface de révolution homogène, est évidemment itué sur son axe. Si on le prend pour -ixc des .r, on aura

il suffi

>unaîlie x, . Si l'on considère la partie de i surface comprise entre tes deux plans correspondants u\ valeurs J"„ et X, ou aura, en désignant «on aire par A, l par y 1 ordonnée de la génératrice.

-=»rw-

dy'

STATIQUE. *3û

Si la surface est homogène, p est constant, - est l'aire A, cl Ton aura

Az= ffdxdy, Axt = ffxdxdy, kyx = ffydxdy, ou

(Y — y.)dx, Ax,= / (Y— /,)xrfx,

i34. Corps solides. — Décomposons le corps en une infinité de tranches par une série de plans perpendiculaires à Taxe des x\ coupons-le ensuite par une série de plans perpendiculaires à l'axe des y : les parties comprises entre deux plans consécutifs d'une série et deux plans consécutif de l'autre seront précisément celles que nous avons considérées dans la mesure des volumes eu général. Mais, comme nous devons prendre ici des éléments infiniment petits dans tous les sens, nous supposerons une troisième série de plans perpendiculaires à Taxe des z, et le corps se trouvera décomposé en parallélépipèdes rectangles ayant pour arêtes dx, dy, dz.

Pour chacun de ces parallélépipèdes dont les coordonnées de deux sommets opposés sont x, y, z et x -f- dx, y -h dy9 z -+- dz, on prendra x, y, z au lieu des coordonnées du centre de gravité, et la fonction p qui exprime le poids spécifique sera rapportée aux mêmes valeurs x, y, z; nous avons prouvé que la limite de la somme des moments n'en sera pas altérée. De cette manière, le poids et les moments de cet élément par rapport aux plans coordonnés, pourront être remplacés respectivement par

p dz dy <iz, px dx dy dz, py dx dy dz, pz dx d) ilz .

a38 uvm i.

Les limites de ces intégrales sont les mêmes que pour h

quatlruluie des surfaces courbes.

Si li surface es! homogène, /> esl constant et - est Paire P Intalc que. nous représenterons par A : on aura alors

Av,=/./>rfA, A;, = //^A.

Ci2. Surfaces de révolution. — Le centre de gravite lune surface de révolution homogène, esl évidemment

et il sortira de counaitie x, . Si l'on considère la partie de la surface comprise cuire les deux plans correspondants aux valeurs J% et X, ou aura, en désignant son aire par A, CI par v l'ordonnée de la génératrice,

t*n connaîtra ainsi A, et a

IIVL Smfafes planes. — Lorsque la surface « on 1j rapporte à deux axes situés dans son plan.

Ijt* formule* gênéralrs s'appliqueront à recaa,e (">-ji.i s = o; elle? dcvîenncni alors

On inW*t*ra«"*bw4B » ,. V q«i *

Si la sur-fan A, et l'on aura

perpenii i ■

deux plans anwni

de l'autre

dérees dan* la n^m

■i, les-

ii jiouri'a

■ ■|n-dii' i oblien-

sommes alemnil

ons indiqua, les

îfa LIVRE I.

Soient "a. 7. les fondions de x rtj' qui expriment le* ordonnées de la surface inférieure el de la surface supérieure du corps; on fera d'abord la somme des éléments en supposant que i elj restent constants, et que z passe par mutes le* râleurs entre i,, Z: c'est-à-dire qu'on intégrera

iions par rapport à « entre les limites =0 , Z, et dra ainsi des fonctions de x et y seulement, qui le poids et les moments de la partie du corps imprise entrr ijuatre plans infiniment voisins, dont deux nt perpendiculaire! à l'axe des x et les deux autres à l'axe •- i . Ces fonctions auront pour expression»

• •lxltX I ptk, ttsrl)

j" p:<lz.

• mr avoir le poids et les moments du volume compris entre s deux plans perpendiculaires à l'axe des X, il faudra in-

STATIQUE. l4l

Ces q u a Ire expressions ne renferment plus que la variable x, et on les intégrera entre les deux valeurs de x relatives aux deux plans perpendiculaires à Taxe des x entre lesquels le corps se trouvera compris. Ces valeurs x0 et X sont, en général, celles pour lesquelles les plans tangents au corps sont perpendiculaires à Taxe des x. Dans tous les cas, on saura les déterminer d'après la forme de la surface, et les expressions des sommes seront respectivement

/»X /iY /tZ /»X. /^Y /»Z

I dx j dy j pdz, I xdx I dy I pdz9

Jx9 Jjr9 Je, Jx9 Jjr9 Jg9

J/iX /»Y /• Z /»X /»Y /%T

\ dx j yày\ pdz, j dx j dy j pzdz.

On pourrait effectuer ces intégrations dans un ordre différent et commencer par la somme des éléments pour lesquels x et z seraient constants, ou encore y et z. On pourra même suivre un ordre différent pour chacune des quatre expressions si Ton y trouve quelque avantage : on obtiendra toujours les mêmes valeurs définitives, puisqu'elles représenteront le poids du corps et les limites des sommes des moments des mêmes éléments, considérés seulement dans un ordre différent. Si nous désignons ces diverses expressions par

fffpdxdydz, fffpxdxdydz, fffpydxdydz, ff/pzdxdydz,

en faisant les intégrations comme nous l'avons indiqué, les coordonnées xt, ys, zi seront déterminées, ainsi que le poids P, par les quatre équations suivantes :

p =SSSpdxdydz> v r>= fffp*d*<tr<t*t

Vyt = fffpydxdy dz, P *, = fffpzdx dy dz.

?-$! le poids spécifique est constant, ces équations devien- I. i6

a4a Tient, i

1 par V le volu

V = fff,Udy<&, Vr, = fffxdxdy ,h, yy^J'JJ'y^dydz, V», = ffftdxdydi.

in peut effectuer dans ce < nple celle par rapport à z

i une des intégrations, pa on aura, en prenant pou

v =.//(/-- s. W*<r. ?*,=// {z—*,)xdxdy,

Vr. = f,f(7.-t.)xd-"ij-> Vz,=\fJ{V—z.\)d*dy,

les liiLiîics relatives à y ei 3; étant les mêmes que précédem-

Enlin, si l'on pouvait reconnaître immédiatement le

centre de gravité de la partie comprise entre deux plans

infiniment voisins, perpendiculaires à l'un des axes, par

;dmule à l'axe des X, ou prendrait ces parties pour les

nts du corps, el il n'y aurait que la seule variable .r

YZ;unc

nent Taire génératrice située dans le plan XY :

d'où Ton tirera V et xt .

136. Cylindres — Si Ton considère un cylindre homogène ayant une base quelconque terminée par un contour polygonal ou curviligue, et qu'on le partage par des plans parallèles aux bases, la somme des moments est nulle par rapport au plan également distant des bases 5 le centre de gravité est donc sur ce plan.

Si Ton conçoit ensuite un système de plans infiniment voisins, parallèles entre eux et aux arêtes, le cylindre se trouvera décomposé en parallélépipèdes dont les bases seront les éléments des bases du cylindre, et dont les moment seront proportionnels à ceux de leurs bases, par rapport a tout plan parallèle à leurs faces finies. Donc les sommes des moments, soit des faces, soit des parallélépipèdes, seront nulles pour le même plan. Donc tout plan parallèle aux arêtes, et passant par la ligne qui joiut les centres de gravité des deux bases, contient le centre de gravité du cylindre. Donc ce point se trouve et sur cette droite, et sur le plan équidistant des bases; il est donc au milieu de la droite qui joint les centres de gravité des deux bases,

137. Si le corps était rapporté à des coordonnées polaires, on emploierait le mode de décomposition indiqué dans le Cours d'Analyse; mais on chercherait encore les coordonnées rectangulaires du centre de gravité. Les équations entre les coordonnées rectangulaires et polaires, sont

8=rrcosÔ, y •= rsinQsin^, x = rsin9co$\[>.

a44 livuf, [.

Nous avons vu que l 'élément du volume avait pour expression r' s'mOilQdtydr. Donc l'élément du poids sera pr1 «\nQdftdtydr; et son moment par rapport à chacun des plans s'obtiendra en multipliant cette expression, successivement par x, y, z ou leurs valeurs en 8, tj*, r. On aura

P = fffj>r*âaQd8d^dr, Px,~ J'fj'pr3i\a'9coî^d%d-ifdr, Pr,= fffpr'iin'&im^did^dr, P:, = Jffpr'tmQcosQdidtydr.

Les limites de ces intégrales sont les mêmes crue celles que nous avons indiquées dans la cubai me des solides.

Diverses propriétés des centres de gravité.

138. Soit un nombre quelconque de corps ayant respectivement pour poids p, //, p", et dont les centres de gra-

■ii [ 'listait!!, il il n-niic i]r gravité th- Icuj-s

tionnelles aux distances du centre de gravité du système, aux centres de gravité des poids égaux qui le composent.