Si maintenant on ajoute les carrés des premiers

membres des équations (i), on obtient, en désignant par pp' l'angle des deux rayons p et' p',

2/iy -+• 22/7/ 'pp' cos pp' = o.

Mais j^-hp'* — 2pp' cospp' = r*) r étant la distance des centres de gravité des corps />, pf] donc

Tous les termes qui renferment p* ont pour expression pp*{p -h //-h p"+ •-. ), et l'on en trouverait de semblables pour p/f, p"*, etc. . . ; de sorte qu'en posant P~\- p' + pP-h* • • =P) on aura

P2/?p'= Z/yV.

Si tous les poids sont égaux et en nombre iw, on a

Cette dernière proposition est un cas particulier de la suivante, où Ton suppose que l'origine des coordonnées est un point quelconque de l'espace. Le théorème des moments donne alors, en représentant par R la droite menée de l'origine au centre de gravité du système; par a, A, c les angles qu'elle fait avec les axes-, par p, p',..., les distances de l'origine aux centres de gravité des corps ptp'9...9 et par a, |3, y, a*, jS', /,..., les angles que ces droites forment avec les axes,

PRcos/i = ïppcosa, PRcos^ = Z/?pcosê, PR cos r = ipp C0S7 ;

d'où, en njoniaiil le et observant <\w la

rarrés des membres de ces équatious.

îrconds membres snni les mêmes que

1"R" = Pï/Jp1 — ï/j/jV.

De celle équation on conclut que si la distance R du centre de gravité d'un système à un point fixe quelconque restant constante, ce système invariable de forme se déplace d'une manière quelconque, la somme des produits des poids par les carrés des distances de leurs centres de gravité à ce point fixe, sera constante.

En efièt, R étant constant ainsi que les distances désignées par r, il en résulte que Y.p p* est constant.

On voit encore que £/»f* est le plus petit possible quand R = o, et, par conséquent, le centre de gravité d'un système jouit de cette propriété, que la somme des produits des poids pur les carrés des distances de leurs centres de gravité respectifs à ce point est i,

Théorème de Gttfdin.

doue

et, par conséquent, le volume engendré par une aire plane, tournant autour d'un axe situé dans son plan, est égal au produit de cette aire par la circonférence décrite par son centre de gravité.

141. La surface A, engendrée par la révolution d'un arc de courbe plane tournant autour d'un axe situé dans son plan, a pour expression

y ds.

Mais l'ordonnée^ du centre de gravité de Parc s est donnée par l'équation

SX* = I fds\

donc

A = 2itytSj

et, par conséquent, l'aire engendrée par un arc de courbe plane 9 tournant autour d'un axe situé dans son plan, est égale à cet arc multiplié par la circonférence décrite par son centre de gravité. Ces deux propositions constituent ce que l'on appelle le théorème de Guldin.

Les aires ou les volumes décrits dans une partie quelconque de la révolution, étant proportionnels à l'angle dont la figure a tourné, il s'ensuit que, pour en avoir la mesure, il faudra prendre l'arc décrit par le centre de gravité, au lieu de la circonférence entière.

142. Si une surface plane tourne successivement autour de plusieurs axes, le volume engendré s'obtiendra en mul

MB

lipli.

r par la somme des a

; pan 'mn 'il s par son centre de gravité. Celle proposition, étant indépendante de la distance des axes, a lieu encore quand ils se succèdent à des distances infiniment petites, pourvu qu'ils soient toujours dans le plan de la surface mobile; et, dans ce cas, deux axes consécutifs peuvent être parallèles ou se ren-

Par exemple, si l'on suppose une courbe plane, et que la surface génératrice se meuve de manière que son plan soit toujours nonnal â cette courbe et soit toujours percé par elle au même point, et que tous les points n'aient que des mouvements parallèles au plan delà courhe directrice, on peut regarder un pareil mouvement comme produit par le développement du plan de l'aire génératrice qui serait enroulé sur le cylindre qui aurait pour base la développée de la directrice : il est la limite du mouvement qui aurait lieu autour d'axes perpendiculaires au plan de la directrice et qui tendraient indéfiniment vers les arêtes du cylindre en question.

, pour plus de généralité, on considère une courbe à irbtirc dé<

STATIQUE. 24g

ensuite ce plan sans glissement, il sera constamment normal à la directrice, et sera toujours rencontré par elle au même point. Par cette suite de rotations infiniment petites, la surface donnée engendrera un volume égal au produit de son aire par la courbe décrite par son centre de gravité. Pour que ce théorème ne subisse aucune modification, il faut supposer que la surface génératrice ne vienne jamais couper les axes de rotation successifs.

Volume du cylindre tronqué.

143. Le volume d'un cylindre tronqué dont la base est sur le plan XY et les arêtes perpendiculaires à ce plan est exprimé par V = ffzdxdy, z étant l'ordonnée du plan, et les limites des intégrales étant déterminées par le contour de la base qui peut être composé de lignes droites ou courbes. Mais, si Ton appelle <f l'angle des plans des deux bases, les

éléments de Taire de la base supérieure sont : cette

r COS«p

aire totale sera > en désignant par A la base inférieure.

cos <f or

et l'ordonnée du centre de gravité de la base supérieure sera donnée par l'équation

a r Czdxdy â r r , .

* — — *i= I f * ou A*i= I I zdxdy*

<**f JJ co*<? JJ

Donc V= Azi . Le volume est donc égal a sa base multipliée par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la base supérieure, sur le plan de la base inférieure.

Remarquons maintenant que les centres de gravité des deux bases sont sur une même parallèle aux arêtes. Car, si Ton prend les moments des éléments correspondants dxdj

dxdy et ? par rapport à un même plan quelconque parallèle

aao LiviiE 1.

aux aiites, ils seront dans le rapport de cos y ; t| donc iU seront nuls en même temps, et par conséquent tout plan, parallèle aux arêtes, qui passe par le centre île gravi Lé d'une des bases passe par le centre de gravité de l'autre. Ces deux centres soni donc sur une même parallèle aux arêtes. Ainsi, tes centres de gravité de toutes les sections planes que l'on peut faire dans un cylindre indéfini sont sur une même droite parallèle aux arêtes; et, par conséquent, toutes les sectious du cylindre, menées par un même point de celle droite, ont ce point même pourcentre commun de gravité.

Il suit de là que les cylindres tronqués par des plans quelconques, passant par un même point de cette droite, sont équivalents; et par conséquent les volumes des coins compris entre deux de ces plans sont équivalents. Ces cylindres tronqués sont donc équivalents au cylindre dont la base supérieure passerait par ce point.

Si l'on suppose maintenant un cylindre tronqué dont les arêtes soient obliques sur les deux bases, on peut le regarder comme la dillérenccde deux antres qui auraient pour base la section orthogonale; la dilîcrcuce des perpendiculaires abaissées des centres de gravité des deux bases sur le

Le volume d'un cylindre tronqué est égal an produit d'une des bases par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de Vautre sur le plan de la première.

Application des formules précédentes.

144. Arc de cercle. — Soient R {fig* 4^) Ie rayou AB de l'arc MN , B le milieu de cet arc; posons

MN = cf MBN = /.

La symétrie de Tare par rapport à Taxe des x montre que son centre de gravité est sur cet axe ; on a donc yi = o; et x, sera donné par l'équation suivante :

hct = fxds = Rfdscos^ = R'sin^ 4-C=Rc.

Ainsi on a la proportion

^45. Arc de cjrcloïde. — L'équation différentielle de la cycloïde rapportée à son sommet est

et donne

dx y 2a — y '

ds = ^2a»-Z=.

On aura donc, en faisant commencer Tare au sommet ,

5 = iyj ?.ajr<,

.fj,= / rds = \/*a fy dy = — -3— .>' '

= ? <{ïâ{xj' — fd)r\l-ia—y)

= 2 ^"Ur' + î (»«-/)' i+o'i

et ['ominc jj-, doit être nul, pour y = o, on aura

3vCr li/iay'