Am dp parabole. — Soit
147. Aire du triangle. — On prendra l'origine k l'un des sommets, et Taxe des x perpendiculaire à la base. Les droites dont les deux autres côtés font partie auront des équations de la forme
jr = mx, y=.m'x.
Soient a la base et h la hauteur, Taire du triangle sera égale à — ? et Ton aura ensuite
— x, = (m' — m) f x*dx = (im' — m) — »
Faisant x = h et désignant par p Tordounée h du
milieu de la base, il vient
*i — -~-» X\ — -w-i — — t* 5 5 xt h
La dernière équation montre que le centre de gravité se trouve sur la droite qui joint le sommet au milieu de la base *, et la première indique qu'il est situé aux deux tiers de cette ligue à partir du sommet, ou au tiers à partir de la base.
148. Aire du cercle. — Soit^'ssR1 — x* l'équation du cercle, et cherchons le centre de gravité de l'aire comprise entre deux parallèles k Taxe des jr9 correspondantes aux abscisses x0 ,x. Nous aurons, en désignant les aires par la lettre A ,
Àx^/aa-v'**— *»<** = — !(R2 — ■*,),-f-r(fti — «I)';
35yj LIVMK I.
supposant x = H, il vient
Si. de plus, j0 = o
Si, au lieu d'un segment, on considère un secteur, la question se ramène de suite à trouver le centre de gravité d'un are de cercle. En effet, le secteur peut être considéré comme la limite d'une infinité de triangles égaux ayant leur sominet commun uu centre. Les centres de gravité de ces éléments sont éijuidislants et situés sur un arc de cercle compris entre les mêmes rayons que le premier, et décrit
du même centre avec un rayon égal à -s- ■ Le reaire de gravité du secteur sera donc le même que celui de cet arc. Aire 'le la parabole. — Soit >"' = ap.r; on aura, en tidérant laiic comprise entre l'axe des x, l'ordoi
statique. a55
d'où
dx lia
En considérant Taire comprise enlre l'arc, l'ordonnée et la tangente au sommet, qui est Taxe des x, on aura
A = J dyyf zay —y* = ^ '-1 — £ i- -h — arccos -
On aura ensuite
Axt=fxdy^2ay — ja
z=. J dy {zay — /2) -f- a fzrccos dy^iay — y*.
y* La première intégrale est égale à ay% — —• Quant à la seconde, nous aurons, en intégrant par parties,
f arc cos dy ^2ay — y*
a — = arc cos
a—y\(y—a)^'iay —y% L n* a— j1
==arccos — I > 1 arc cos -
— I ii L-L h arc cos ^ .
J L 2 2 " ^a«r— raJ
( y — a ) \iiay — r' a — r a* / a
arc cos -1 1 i arc cos
7 I arc cos ) -+-
[jr-aUzar-y* ^ a-y 2 A
■f tI arc cos ) -. H h C.
a56 livkk i.
Substituant celle impression dan> la v,il>
La constante arbitraire est nulle, en considérant comme égal à zéro l'arc dont le cosinus est i .
La valeur de y, sera donnée par h formule suivante :
■ (auj— r')"'-
x, et y, sont donc déterminés.
On aurait à effectuer des intégrations du même genre, si l'on considérait un segment placé dilléreiumeni par rapport à lacycloïde.
150. Surfaces de révolution. — Soit d'abord l;i sml'aw spbérique engendrée par lu cercle doul l'éijualioo est
tournant autour de Taxe des x. On aura
ydy=pdx, ds= ^-IjL C-,
atr
Ax, =r — fxydy j y* + pr = - f y1 dy vV -+-/>'
Si Taire commence a partir du sommet de la parabole, on aura
152. Considérons encore la surface de révolution engendrée par la cycloïde tournant autour de sa tangente au sommet; son aire aura pour expression
A= 4*W*gr
L'abscisse de son centre de gravité sera donnée par l'équation
Àx,= 2ir J xyds == znyzafxy* tly = lit\jTi \\xy* — If y* dx ) ;
mais
fyidx=zfydyijl.a— r = j r(2/i— r)' .£ (2fl r)ï+c;
. donc
r— 8ïT i
Si l'aire commente au
r, est Jonc déterminé.
Si l'on fait y = aa, on trouve
Exemples relatifs aux volumes.
153. Pyrami'lc triangulaire. — Prenons l'origine au sommet de la pyramide, cl l'axe des r perpendiculaire à la base, Soiem b l'air* de celte base, et h la hauteur de la pyramide; on aura
pyramides triangulaires, et l'on reconnaît sans peine que son centre de gravité est sur la ligne droite qui renferme ceux des sections parallèles à la base, et qu'il se trouve aux trois quarts de cette ligne à partir du sommet. Cette proposition étant indépendante du nombre des côtés delà base, s'applique à un cône dont la base est une courbe plpne quelconque.
