Ellipsoïde. — Soit l'équation
on aura
V ==—/(*>- *>)<£r, Vxl = ~/(a'-.^)xrfx;
d'où
f (a7 — x*) xdx
:r, est donc indépendant des axes b, c. Si l'on fait t niencer le segment à partir du centre, on aura
, l'on faitr = n.
157. Secteur s/jfiêrique. — Les formules que nous avons données en coordonnées polaires s'appliquent avec avantage au volume engendré par un secteur circulaire tournant autour d'un axe, que nous choisirons pour aie des z. On suppose qui? le poids spécifique/; dépend du. rayon vecteur p et nullement des angles 6 et ty : si les limites du premier de ces angles sont 0O cl 9, celles du second o et an, et celles du rayon, R, et R, on trouvera
STATIQUE. ?6l
Si K» = o et 0O = o, on trouve
J?i= -g- (H-cosO).
Equilibre d'un fil pesant.
158. Chatmette* — On appelle ainsi la courbe formée par un fil flexible Sont .deux points sont fixes, et qui est soumis à Faction seule delà pesanteur. Toutes les forces étant parallèles, la courbe sera comprise dans le plan vertical passant par les deux points fixes B et B;. Mous prendrons dans ce plan deux axes de coordonnées rectangulaires, dont l'un A Y vertical et en sens contraire de la pesanteur. Nous supposerons le fil homogène, et nous représenterons par e son poids pour l'unité de longueur; d'où il suit que es sera le poids d'un arc de longueur 5, et que Ton aura
Cela posé, les équations générants se réduiront à
d'où Ton déduit immédiatement
i) T— = c, T -f = «* H- ce', -£ = -,.+.*'. as as dx c
La première de ces équations montre que la composante horizontale de la tension est la même en tous les points. En différentiant cette dernière, on trouve
fi1 y t I dy'
afia
MTPF 1.
ou
dp ,
en posant
On obtient.
n intégrant celle équation,
d'où
,>+<Jl+,f=ec' *
-Résolvant pa
r rapport a p et le remplaçant par --i i
vient
il la trois! en
e des équations (i) donne, par suite.
coordonnées en ff, et nous désignerons par a et b les coordonnées de B, et par / la longueur totale du fil donné.
Faisant successivement x = o, J = o, puis x=a7 x=b dans l'équation de la courbe, on obtient
(ae __ a î \
d'où
L'équation qui exprime que s est nul pour x = o est
et pour que 5 soit égal à / pour x = a, il faudra, qu'on ait
ou, en substituant la valeur de cf tirée de l'équation précédente,
c ! Ha « \
ajoutant et retranchant les équations (3) et (4)? il vient
OU
litre ces deux équations, en les multipliant libre, on obtiendra, en prenant les racine»
ou, en posant
: peut se déterminer par l'intersection de — <:~' avec une droite ayant pour équa-
On peut encore résoudre l'équation en s par la méthode ordinaire des substitutions successives. Connaissant x, et par suite c, un cou n al Ira a. au moyen d'une quelconque des deux équations qui viennent d'être multipliées entre elles.
statique. a65
connaître les coordonnées du point le plus bas. Eu effet, pour ce point on a
d'oii
ou
tir gx un
-- = o , ou 1-2 =
dz ce
tx eu.
ha = o et x = •
Si Ton prend pour axe des y la verticale qui passe par
ce point, il suffira de changer x en x ? et l'équation (a) deviendra
Le second membre ne changeant pas, quelque signe que l'on donne à x, il s'ensuit que la courbe est symétrique par rapport à Taxe des y, c'est-à-dire à la verticale qui passe par le point le plus bas.
Si Ton change y en y •+* ct , c'est-à-dire si Ton prepd pour origine le point de cette verticale qui est au-dessous
du point B' de la quantité — ct, et que l'on pose - = /w,
l'équation de la courbe prend la forme plus simple,
Si les deux points B', B sont à la même hauteur, on a
et, par suite,
l'abscisse — ma. du point le plus bas esl donc égale à -, comme cela était érident à priori. L'équation qui détermine z devient - — = — . et celle de la courbe ne dif-
fère pas de l'équation (5). La valeur de a étant , est
éj;aleà — z\ et la constante e'= sera égale à
100. La chai nette jouit de la propriété remarquable, que son centre de gravité est situé plus bas que pour toute autre courbe isopéi inièlrc, ayant les mêmes extrémités.
Eu effet, l'ordonnée du centre de gravité du périmètre de lune quelconque de ces courbes est
ïJ>-\f'+%-
donne les suivantes :
y 1 L* ml
d dx
if-i(^'"'s)- ^--S-»(^'"£)'
doù Ton conclut
</ra ut V dx- m*
Soient R le rayon de courbure, N la longueur de la normale, ci) l'inclinaison de la tangente sur l'horizontale ; on aura
7= , R = — =/wsée-w, N — — =R.
cos a» m h?
On trouvera encore
ds = dx 1 / 1-+- -f- = /;# -- 1- */.r ,
\Yo\x
dy s =z m — , dx
en prenant le point le plus bas pour origine des arcs. On déduit de là
don<
sz dy2 y7
nr dx2 m-
m éianl 1 ordonnée à l'origine.
a68 liviik i.
On obtient encore facilement les formules suivante* :
d'où, l'on lire x en fonction de y et *, et par suite en fonction de s, puisqu'on a
l(J2. Si du pied P {fig. 43) de l'ordonnée d'un point quelconque M de la chaînette on abaisse sur la tangente MQ une perpendiculaire PQ, un aura
PQ = j-cos« = m; donc
Ainsi le point Q appartient à la développante de la chaînette; QP est la tangente à celte courbe : et comme sa longueur est pi, et par conséquent constante, cette développante n'est autre chose que la courbe appelée tractrice.
Pour avoir son équation, il suffirait donc d'exprimer cette dernière condition, qui conduit entre les coordonnées u, c, à l'équation
STATIQUE. 2Ôg
En reportant dans l'équation (5), on obtient
C'est l'équation de la développante. On la mettra sous une forme plus simple en remarquant qu'elle est réciproque en prenant pour inconnue l'exponentielle. On trouvera ainsi
m -f- ^iri1 — p2
comme on l'aurait obtenu par l'intégration de l'équation (6). Cette courbe est symétrique par rapport à Taxe des y qu'elle touche en B [fig* 44 )> et * pour asymptote l'axe des x.
En remplaçant u et v par x, y, on a pour équation différentielle de la tractrice,
d'où
dx ^m2 — r5
et
ydt = — dy ^m7 —y\
J\ yrix = — I dy^m2 — y1.
o Jm
Donc, si l'on décril de À comme centre avec m pour rayon, un quart de cercle ABC, les aires BIN, BMPA seront équivalentes; et l'aire entière comprise entre la courbe et les
axes sera égale au quart de cercle, ou à -y— Si l'on cherche
la valeur du rayon de courbure OM = R, et de la normale MU = N, on trouve
et par conséquent O est sur la perpendiculaire à AX, élevée par le pied T de la tangente.
Autre hypothèse sur la force.
103. Examinons maintenant la courbe que formerait le fil si la forcir verticale était proportionnelle à la projection horizontale de l'arc, et non à l'are lui-même. Ce ta* est. à peu de chose près, celui des ponts suspendus.
Soit £ la force rapportée à une projection horizontale égale à l'unité; Yds étant la composante verticale de la foiTP appliquée à l'are ds dont la projection est tix, nn aura
Y/ft = — HtK
et comme X = o, la équations fl équilibre scioui
,/.(t^U.., atfir*}-.*-.,
Taxe est vertical. Les cous la nies c, c' se détermineront en exprimant que la courbe passe par le second point, et que sa longueur est égale à une ligne donnée.
Supposons, par exemple, que les deux points donnés soient sur une même horizontale; soient ia leur distance, et / la longueur de la courbe.
L'équation de la courbe sera satisfaite par y= o, x= 2a, ce qui donne
ta
hc' = o,
d'où
et, en substituant,
et changeant x — a en x,
d'où
Cette équation déterminera c, et, par suite, c'*, elle se résoudra par approximation, et le calcul sera très-simple dans le cas où la ilèche de Tare compris entre les deux points fixes, sera très-petite par rapport à la corde 2 a. En
effet, — sera très-petit, et l'on pourra développer en séries
très-convergentes les différentes parties du second membre
MW^?)=
