MOA

8, MON = rfO, MA =

Les deux rayons OM, ON (J'g- 48) étant prolongés jusqu'à la circonférence dont le rayon est r-i-dr, la surfilée infiniment petite rdSdr tournant autour de l'axe AO engendre» un volume sni-'siiiiîrfÔrfr, dont la composante de l'action sur dm' suivant l'axe AO, sera

-p/r' itrthii'

9rf9

donc l'intégrale est

i° Si le point est extérieur, cette intégrale prise entre les limites a — reta + ra pour valeur

on voit qu'elle est la même que si toute la matière était réunie au centre.

Pour avoir l'attraction exercée par un solide composé de couches sphériques homogènes, mais dont la nature peut varier avec r d'une manière arbitraire, il faudrait faire la somme des actions de toutes ces couches, et comme elles •OUI toutes les mêmes que si Ton réunissait ces diverses couches au centre, on obtient la proposition suivante :

Un solide compose de couches sphériques homogènes, de nature différente, et dont tous tes points attirent un point extérieur en raison inverse du carré des distances, exerce sur ce point la même action que si toute la matière qui le compose était réunie en son centre.

Dans le cas d'une sphère homogène, de rayon R, l'ex-

. , . LizùfWdm' pression de celte action sera ^ -*■ — ;

20 Si le point À était intérieur à la couche infiniment mince que nous avons considérée, les limites de u seraient r — et et r-f-« ; et la somme se réduirait à zéro. D'où résulte cette autre proposition :

Dans la même loi d'attraction, Faction du même solide est nulle sur tout point situé en dedans de la surface inté~ rieure. Et pour un point situé dans l'intérieur de sa masse. Faction se réduit h celle du solide compris entre la surface

■joa livuk i.

intérieure tH celle rie la turface spliérùfua coin-ciitru/ur

tjm passe pur ce point.

Il résulte de là i|ue l'action d'une sphère entière sur un point de son intérieur est bornée à l'aclion de In sphère concentrique dont la surface passe par ee point.

Dans le cas où toutes les couches sont île même nature, si R désigne le rayon de ta sphère ei'l.i distante du point i|ue l'on considère au rentre, l'action rie la sphère sera

j wffiim'i

elle ne dépend plus de R, cl est proportionnelle à la di*tance au centre.

175. Rien n'est plus facile maintenant que de calculer l'action mutuelle de deux sphères extérieures l'une a l'autre. D'abord, l'aclion de l'élément dm' sur la première sphère étant égale et contraire à celle de celle sphère sur <tm', puisque toutes les actions élémentaires qui les composent l'une et l'autre sont égales et contraires, par hypothèse, il s'ensuit (pie la résultante des actions de la première sphère sur tous les éléments tint' qui composent la seconde, sera

nient aux masses et en raison inverse du carré de la distance, exercent F une surPautrc la même action que si la matière dont chacune d'elles est composée, était réunie en son centre.

La même proposition a évidemment lieu pour deux sphères creuses composées de même de couches homogènes.

On peut démontrer très-simplement que les actions exercées par tous les points d'une couche sphérique homogène et infiniment peu épaisse, sur un point de l'intérieur, se détruisent.

En effet, soient O (fîg* 49) 'c centre de la surface intérieure de la couche, OB son rayon, et A le point intérieur que Ton considère. Menons par OA un plan quelconque, et soient M et N deux points infiniment voisins pris sur la circonférence suivant laquelle il coupe la sphère*, tirons les droites MAM', NAN', MN, M'N' : les triangles AMN, AM'N' seront semblables. Si, maintenant, on fait tourner le plan autour de OB, les cordes ou les arcs MN, M'N' engendreront des surfaces qui, multipliées par l'épaisseur infiniment petite de la couche, seront des éléments de son volume *, or les actions de ces deux éléments sont égales et contraires, car elles sont proportionnelles aux surfaces engendrées par MN et M'N', et en raison inverse des carrés des distances ; il suffit donc de prouver que ces surfaces

sont en raison directe de AM , AM' , ce qu'on reconnaît facilement en observant qu'elles sont proportionnelles aux

produits des arcs générateurs par leurs distances à l'axe,

et que ces produits sont dans le rapport de AM : AM' ,

à cause de la similitude des triangles.

176. AuUmJoi d'attraction. — Si l'on suppose l'action de deux gpinta, proportionnelle à leur distance, on peut