VUE I

± - !J-J) * (7-6) * (*~7> //> r rf6 D #• * Jj r

Soit maintenant y (r) la fonction "'ont la dérivée] p>> rapport n r, est V (rjj posons

et di fierai lions les deux membres île celle éipiulion par rapport à a, c, y; il sullira de dillérentier son* le signe y', si ç (»') ne passe pas par rinfini, el l'on trmn formules suivantes :

i ta

iin

rfU

Tout dépend donc de la seulu intégrale U.

Il est bon de remarquer que si, dans le eas, par exemple, d'un solide indéfini, l'intégrale V prenait une valeur

tfB JV d II

que

les dérivées part

désignées par

ment, on en conclura que l'attraction croit sans limite a mesure que Ton considère une plus grande partie du corps ; c'est ce que Ton exprime en disant que l'attraction du solide est infinie.

Ainsi, il suffira toujours de connaître les dérivées qui entrent dans l'expression des composantes X, Y, Z sans s'inquiéter si la fonction U elle-même est finie ou infinie. On raisonnerait d'une manière analogue si U était infini , sans que le solide le fût.

478. Dans le cas où l'attraction est en raison inverse du carré de la distance,

et faisant, dans ce cas,

0 dx dy <(z __

on aura

Si le point attiré fait partie du corps, la fonction <p (/*) passe par l'infini, mais ces formules subsistent toujours. En effet, elles n'offrent aucune difficulté, si on les applique à tout le corps, moins une sphère infiniment petite qui renferme le point attiré. Or V a une limite, quand cette sphère tend vers zéro ; car l'élément de volume exprimé en coordonnées polaires ayant pour origine le point attiré a pour expression r1 dr sin 0 d9 dty 5 or, si Ton divise par r, et qu'on intègre dans l'étendue de la sphère le rayon infiniment petit, on aura une quantité infiniment petite du second ordre. U suit de là que la fonction V étendue au corps entier, est finie, et, par suite, ses dérivées par rapport

5(j4 Ï.IVKE 1-

aux indéterminée* «) Ë, y, le sont aussi. On voit de même queX,Y, Z ont aussi des limites; d'ailleurs, quand les deux membres <!' mie équation ont des limites, ces limites sont égales : doue les formules qui donnent X, Y, Z sont encore exactes quand on considère le corps entier dont le poim fait partie.

179. L'attraction sur le point a, 6, y, estimée suivant la direction du vecteur r mené de l'origine à ce point, a pour expression

/rfUa JU6 rfU y \

Mais en considérant U comme fonction de «, S, y, et ces coordonnées comme fonction de /et de deux angles 6, i|>,

on a

rftj du a rfue -/u7

tir du r dS r dy r

en observant que les dérivées partielles de a, ê, y par rap-

port n r sotiI respectivement -, £, -.

sultan te des attractions. Désignons par a et À les rayons des deux surfaces qui terminent le solide, par u le rayon intérieur d'une couche sphérique ayant pour épaisseur du , et par 0 l'angle d'un rayon quelconque avec Taxe des x. La valeur de V aura pour expression

pu* dus'inB d6

L'intégration par rapport à 9 étant effectuée entre o et rr , donnera la partie de Y correspondante à la couche dont l'épaisseur est du; en intégrant ensuite le résultat par rapport à n entre les limites a et À, on aura la valeur totale dé V. Or on a

r* = u1 — 2 au cosO 4- a';

d'où, en observant que u est constant,

rdr=z qlu sin 9 d 9, et, par suite,

V = — JJ p ududr.

Quant aux limites de r correspondantes à 6 = o et 0 = ?r, il faut distinguer le cas où le point attiré est extérieur au solide, de celui où il est intérieur.

i° Si le point attiré est extérieur au solide, on aura a > À, et, par conséquent, a > u pour toutes les couches que Ton a à considérer. On a alors

fdr=*u et V=-^l pu*da.

Si l'on désigne par M la masse du corps, on aura

agtï d'où

L'attraction est donc la même que si toute ta malicrr du corps était réunie 1 son centre.

a" Si le point attiré est dans l'intérieur de la plus petite surface, ons»<«, et, par conséquent, a <T n daiw toute l'étendue des valeurs de u. On a doue alors

ri \ = $*ff*<tu.

Cette quantité étant indépendante de », un aura

rt V

-7- =0, et, par suite, X=«

On voit donc que, dans celle même toi d'attraction, le solide n'exercera aucune attraction uir un point situé dans l'intérieur de sa plus petite surface.

On conclut de là qur l'artion sur un point qnî ferait partie du même solide se réduirait à celle qu'e\ercerait la partie conquise cuire la sphère de rayon a et celle qui p*s- «r3;,,„ri,>.«;ni.itW n fknA*, *

a ses dimensions, on arrive à un résultai remarquable que nous allons faire connaître.

Supposons l'attraction en raison inverse du carré de la distance, et calculons la fonction V. Pour cela, prenons le centre de gravité du corps pour origine, et faisons d1 abord passer Taxe des x par le point attiré.

Soient i la distance de ces deux points, u le rayon vecteur d'un point quelconque du corps, dm sa masse, x son abscisse, /x la masse du point attiré ; la distance de ce dernier point à un point quelconque du corps sera

et Ton aura par conséquent

V=2rf/w(^- ztx + u*) 1z=-ïdm[i r + Ta)

Si l'on développe la puissance du trinôme, soit par la formule de Lagrange, soit par celle du binôme, on aura une

série ordonnée suivant les puissances croissantes de -r» et

d'autant plus convergente que -z sera plus petit, et l'on

trouvera ainsi, en représentant par M la masse totale des corps attirants, en observant que ILxdm est nul, puisque l'origine est le centre de gravité du système,

On peut donc se borner à prendre V = y en négligeant v

par rapport à -r- En considérant maintenant un système quelconque d'axes passant toujours par le centre de gravité,

ay8 LffiS i.

et désignant par a, S, y les réordonnées du poini attiré, on

Les trois composâmes de l'attraction seront Jonc rcsjiecli-

**/»»■ j P/Mp fi/M7

d'où l'on voit que leur résultante passe par l'origine qui est le centre de gravité de la masse attirante, et qu'elle a la même valeur que si toute la masse était réunie en ce point. Ce résultat, qui n'est qu'approché pour un corps quelconque, est tout à fait exact dans le cas de la splièrc, quelle que soit la distance du point attiré, pourvu qu'il soit en dehors de la sphère. Dans ce cas, l'intégration ferait disparaître tous les termes, excepté le premier de la série.

Le calcul précédent a été fait d'après une loi particulière; on verra facilement que le résultat serait le même dans le cas où l'attraction varierait en raison inverse de toute autre puissance de la dislauce, et même suivant des lois plus compliquées.

unie de l'action des deux parties comprises dans un Quel» conque de ces angles et son opposé au sommet. Soit DCÀB une des arêtes de cet angle -, on aura ÂB =• CD, par la similitude des deux ellipsoïdes. Si nous désignons par a> la mesure de l'angle solide, nous pourrons décomposer le solide ÂB en éléments dont les épaisseurs PQ formeront la droite AB, et dont l'expression sera <ùi*dr; multipliant

par ^-p-» on aura l'attraction que cet élément exerce sur le

point M ; on trouve ainsi pfp&dr, et la somme pfp*> . AB exprimera l'attraction de la matière contenue dans AB. On trouvera de même pfutù. CD pour l'attraction de la matière contenue dans la partie CD; et comme les droites AB et CD sont égales, ces attractions seront égales, et, par conséquent, se détruiront. Donc, comme il en sera ainsi pour tous les angles solides autour de M, le solide homogène compris entre deux ellipsoïdes semblables quelconques n'exerce aucune attraction sur un point situé dans tintérieur de sa plus petite surface.

Cette proposition, étant indépendante de l'épaisseur, a lieu aussi pour une couche infiniment mince. Donc elle est encore vraie pour un solide d'une épaisseur quelconque composé de couches homogènes comprises entre des ellipsoïdes semblables, et dont la nature varie d'une manière quelconque de runc à l'autre.

483. Surfaces de niveau. — On appelle ainsi celles sur lesquelles un point matériel posé resterait en équilibre sous l'influence des forces du système.

Considérons donc un corps quelconque qui attire un point suivant une loi quelconque; on aura, d'après ce qui précède,

v dV v r/V ,/U

x- -p , *=-.,, '--ptâT

[mur <]U(/ I;i icstdlaiile suit [>erpeudicul un- H lu surtact' sur laquelle le point peut se mouvoir, il faut qu'on ait pour ir celte surface,

-TrfS -hZti-f-

n qui pre de niveau est donc

(jue U est constant. L'équation des surfaces itives à l'attraction ou à la répulsion du corps,

Quand l'attraction est en raison inverse du carré de la distance, celte équation devient V = c,

181. La fonction V jouit d'une propriété remarquable, qui est d'une grande uttlilé pour la détermination de sa

D'après

STATIQUE. 3ot

Mais, puisque Ton a V = / I / * — > dv étant l'élé-

nient de volume, cl que, pour différentier une intégrale par rapport à des quantités considérées comme constantes dans l'intégration, et qui n'entrent pas dans les limites de celte intégrale, il suffit de différentiel* sous le signe f, on aura

pourvu, toutefois, que la fonction - ne devienne infinie

pour aucune valeur comprise dans les limites de l'intégration; car on sait que, dans ce cas, la différent*! a ti on sous le signe J peut donner des résultats inexacts.

Donc, si le point a. 6, y ne fait pas partie du corps attirant, on aura

v ' da? d& d*f*

Si le point fait partie du corps, on concevra une sphère infiniment petite, dans l'intérieur de laquelle il sera compris*, la. fonction V\ considérée pour tout le reste du corps, satisferai i'éjt^ftïon ci-dessus.

Soit p Ta densité du corps au point attiré, ce sera aussi celle de la petite sphère. Les composantes de l'attraction de la sphère sur ce point, qui est dans son intérieur, seront donc respectivement

Livtr 1.

il. 6, c il celle

étant II i donc, •plièrc.

.s n. ordonnées du centre de 'a en appclaut V la partie ileV i

pelile •pliure; pli se rapporte

rfV

d'où

rf'V'

</»V' rf'V*

il, par

conséquent,

■t'V rf?*

rf'V rf'V

la valeur de p Nous .lions

se rapportant au point montrer, par quelipit

attiré.

s exemples

11 es- si ni-

STATIQUE. 3o3

et l'on aura, par suite,

r/'V __ a1 d*Y i d\ a' d\ dot.7 r1 dr7 r dr r* dr

d7V 6' d>\ i d\ 6' dV

*/6' r2 rfrJ r dr rs rf/

rf'V 7a •i'V i d\ y2 r/V r/72 r* dr7 r dr r* dr*1

et ajoutant ces trois dernières équations, on aura, en supposant d'abord le point hors delà sphère,

a/-' r dr

La fonction V dépend donc alors d'une équation qui ne renferme pas de différentielles partielles. En la multipliant

dV par r% son premier membre devient la dérivée de r* — •

On aura donc, en désignant par c une constante arbitraire,

dV c

dr r7

Supposons d'abord que la sphère soit creuse et que le point soit dans l'intérieur de la plus petite surface dont nous désignerons le rayon par Rt. L'attraction devant évidemment être nulle pour r= o, il faut qu'on ait

et, par suite,

Donc les composantes de l'attraction sont toujours nulles* et le point est en équilibre, quelque position qu'il occupe dans la partie vide de la sphère. Supposons, en second

il'u. que le poiul lasse partie de ta masse de la sphère, on a

ttr

p éiaut une fonction donnée de r.

Mulliptianl par r! et intégrant à partir de R, , il vient,

en observant que — étant cul pour tous les points de l'in-

in-H'ur, l'est aii^iù la limite Tt,,

pr'.tr.

Or, / 4nr'pi/r est la masse comprise entre celle surface

.'n, cl la sphère qui passe par le point attiré. Si ou la désigne

uarM'.onaura

rfV M'

leur absolue de l'attraction s

STATIQUE. 3o5

à-dire pour lequel on ait r^>R, on aura, comme dans le premier cas. .Htk-

dr

mais, à cause de la discontinuité provenant des points de la masse, la constante c n'est pas assujettie à avoir la même valeur que pour les points intérieurs. Pour la déterminer, on fera r = R, et Ton devra trouver, d'après le cas précédent,

--=:--; donc c=-M,

et Ton aura pour tous les points extérieurs,

dV M

dr rl

L'attraction aura donc pour expression

et Ton en conclut ce théorème :

XJne sphère creuse composée de couches concentriques homogènes exerce sur les points extérieurs la même action que si toute sa masse était réunie à son centre.

186. application au cylindre indéfini. — Considérons maintenant un cylindre creux indéfini composé de couches homogènes dont la densité n'est fonction que de la distance à l'axe de ce cylindre, que nous prendrons pour axe des z ; son action sur un point quelconque sera dirigée vers le point où l'axe est coupé par un plan perpendiculaire, mené par le point attiré. Nous prendrons ce point de Taxe pour origine, et nous désignerons par /• sa distance au point I. ?.o

3ofi attiré; la

Llracliori no dépendra que dip ''. ci ton CKyiHMJoTl

Or, pour

l'ylimlir,

es jjoinis qui ■( foin jms partie 'le la niasse du m aura, en observant qui- V-eM iud-JpMMkol lia y

-rv rf'V

d'où

Multiplia (J'uù

céiani u

e consume arbitraire.

STATIQUE. 3oj

D'où l'on conclut qu'an cylindre creux indéfini, composé de couches concentriques homogènes, n exerce aucune action sur un point situé dans l'intérieur de sa surface interne.

On démontrerait directement cette proposition de la même manière que pour l'ellipsoïde creux.