CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

Nous allons maintenant considérer le mouvement dans ses rapports avec les causes qui le produisent, et que nous avons désignées généralement sous le nom de forces.

204 . Inertie. — Quand un corps paratt passer du repos au mouvement, c'est-à-dire lorsqu'il se déplace par rapport au* objets qui semblent immobiles à la surface de la terre, on reconnaît le plus ordinairement une cause extérieure qui a agi sur lui en ce moment ; ou encore une cause qui agissait déjà sur lui pendant le repos, mais dont Faction était détruite par un obstacle qui a cessé d'exister, à l'instant où Ton a vu le mouvement commencer; et il est naturel d'étendre ce fait au cas où le corps partirait du repos absolu. Cela posé, on est porté a admettre que, si un corps se met en mouvement sans qu'on en aperçoive aucune cause hors de lui, cette cause n'en existe pas moins, mais seulement que les moyens nous manquent pour reconnaître son existence.

De-flus, l'expérience montre constamment qu'à mesure I. aa

l38 LIVRE II.

[lie les actions extérieures diminuent, le mouvement des orps tend, de plus en plus, à devenir recliligne et uuibrme; d'où l'on conclut que telle serait rigoureusement la laturc du mouvement si toutes les actions ou résistances

C'est de l'ensemble de tous ces faits que l'on a déduit le irincipe de l'inertie de la matière, qui a été confirmé sans iieune exception, par l'accord des conséquences qu'on en

tirées avec les faits résultant d'expériences directes. Il eut être énoncé de la manière suivante :

Tout point matériel en repos y reste tant qu'il ne surient aucune action extérieure ou force; et s'il se meut ins f/n aucune force lui soit appliquée, son mouvement tva rectiligna et uniforme.

Mais îl ne faut pas entendre par là qu'un corps n'entre dur rien dans la production des forces qui peuvent agir ir lui. L'ensemble des phénomènes naturels montre, au mtrairc, que ces forces naissent toujours de l'action muiclle de ce corps et d'autres corps. L'inertie consiste donc i ce qu'un point matériel ne peut changer de lui-même

sera le même que si le mouvement commun au système n'avait point existé, et que le point en question eût été sollicité par la même force, agissant dans la même direction.

On aperçoit facilement par que! genre d'expériences on pourrait reconnaître la vérité de ce principe si la terre était immobile. On donnerait un mouvement uniforme commun à un système de points mobiles les uns par rapport aux autres, on appliquerait à l'un d'eux une force dont on ferait varier la direction et l'intensité, et Ton observerait le mouvement relatif de ce point. On répéterait les mêmes expériences en changeant le mouvement uniforme commun, et l'on reconnaîtrait que le mouvement relatif est tout à fait indépendant du mouvement uniforme commun, et le même que si ce dernier n'existait pas.

Ces expériences ont été faites, mais on ne saurait en conclure le principe en question, parce que la terre étant en mouvement, le système auquel on donnerait un mouvement uoifome par rapport aux objets qui restent fixes à la surface de Ja terre, n'aurait réellement un mouvement uni* formé commun dans l'espace, que si ces objets eux-mêmes étaient animés d'un mouvement uniforme commun. Or, on sait qu'il en est autrement, et que les points qui occupent toujours une même position à la surface de la terre changent continuellement de vitesse pendant le cours de l'année. Cependant les mêmes faits se reproduisant toujours, quelle que soit cette vitesse. l'analogie conduit à admettre qu'il en serait encore ainsi si elle était nulle, et l'on obtient alors le principe général que nous avons énoncé. A la vérité, on ne peut pas dire qu'il soit rigoureusement établi par l'expérience, il résulte d'expériences et d'inductions -, mais il se présente avec assez de probabilité pour servir de base à une théorie. Si l'on trouve que les indications de cette théorie sont toujours d'accord avec l'expérience, cela lui donnera une probabilité de plus en plus

34" LIVKE II.

grande, et qui équivaudra pour nous à la certitude. Nom en dirons autant des autres principes auxquels nous serons conduits par des expériences répétées, dont nous étendrons et généraliserons les résultats.

20-3. Mouvement produit par une force constante. — Ou entend par force constante celle qui exerce la même action sur le corps auquel elle est appliquée, quel que soit le mouvement de ce corps. Cela posé, considérons un point matériel ayant d'abord un mouvement rectiligne et uniforme. Si on lui applique une force constante dans le sens de son mouvement, sa vitesse augmenteia de quantités égales dans des temps égaux quelconques, puisque, d'après le principe précédent, l'accroissement de vitesse est indépendant de la vitesse précédemment acquise. Ainsi, le mouvement rectiligne d'an point sollicité par une force constante, et parlant avec une vitesse initiale quelconque, est tel, que la vitesse croît de quantités proportionnelles au temps. On voit île la même manière que si la force était en sens contraire du mouvement initial, la vitesse diminuerait proportionnellement au temps; et à partir de l'instant où elle

at2

r = h bt-\-c,

c désignant la valeur initiale de x, et déterminant, pat conséquent, la position initiale du mobile.

204. Si la force, au lieu d'être constante, augmentait ou diminuait d'une manière continue, on pourrait regarder comme évident que la vitesse ne croîtrait plus de quantités égales dans des temps égaux, comme dans le cas où la force était toujours la même. On conçoit au reste combien il a été facile de vérifier par l'expérience cette induction si naturelle. Et nous en déduisons cette conséquence immédiate, que :

Si un point matériel est animé d'un mouvement uniformément varié, il est nécessairement sollicité par une force constante.

205. Remarques. — La considération du temps est nécessaire dans la production de tout mouvement, parce qu'il faut toujours un temps fini pour que l'action d'une force fasse acquérir à un corps une vitesse finie. Quelquefois on a distingué deux espèces de forces : les unes, que Ton nommait instantanées y produisaient des vitesses finies, sans que leur action s'exerçât pendant un intervalle de temps quelconque, si petit qu'on pût le supposer \ les autres, que l'on nommait accélératrices, avaient besoin d'agir pendant un temps fini pour produire une vitesse finie. Mais, comme toutes les actions sont continues dans la nature, et que les forces instantanées n'ont aucune existence réelle, les géomètres s'accordent généralement à ne plus les admettre dans la science. Il n'en sera jamais question dans ce cours, et nous ne considérerons que les forces continues, c'est-à-dire qui ne produisent une vitesse finie que quand leur action s'est exercée sans discontinuité pendant un temps fini.

20li. Si lieux pointa ayant des masses égales partent du repos et sonl sollicités par des forces égales et parallèles, ils prendront un mouvement identique, et,parronséquent, on ne changera rien à leur étal, en supposant qu'ils soient

liés

iaîlemenl l'un à l'autre,

ele

r système soit

sollicité par la force double qui est la résultante des dev autres, et. par conséquent, appliquée au centre de gravite dis deux points. Il eu serait de même pour un nombre quelconque de points, de sorte que si deux masses sont dans le rapport de m à n, et qu'elles soient sollicitées par des forces dans le même rapport, appliquées à leurs centres de gravité respectifs, elles prendront des mouvements identiques, et tous leurs points décriront des droites parallèles. Si l'une des masses était sollicitée par une force moindre ou plus grande que celle qui résulte de cette proportion, elle aurait évidemment un mouvement différent de l'autre. D'où résulte telle réciproque, que si deux masses inégales ont un même mouvement, les forces qui leur sont appliquées sont proportionnelles à ces masses.

la pesanteur. —

DYNAlffQVE. 343

ses sont proportionnelles aux temps. De l'un ou de l'autre de ces faits, on conclut, d'après la discussion précédente, que la force k laquelle ce corps est soumis est constamment la même pendant tout le cours de son mouvement.

On peut reconnaître encore que son intensité est la même que lorsque le corps est en repos. En effet, au moyen d'un appareil semblable k celui de la machine d'Atwood, on peut communiquer à nn corps un mouvement vertical uniforme. Dans ce cas, la force produite par la pesanteur est détruite, et Ton peut en avoir la mesure exacte par la tension d'un ressort auquel serait suspendu le corps et qui participerait au mouvement vertical. Orl'expérience prouve que cette tension est la même que lorsque le système est en repos; d'où il suit que le poids d'un corps est le même dans Vètat de repos et dans létal de mouvement.

Les masses des corps étant donc proportionnelles à leurs poids dans Vètat de repos, les instruments qui servent k mesurer ces poids serviront k déterminer les rapports des masses, et Ton pourra représenter ces dernières quantités par des nombres, en prenant pour unité la masse d'un volume déterminé d'une substance choisie arbitrairement, et prise à une température déterminée. Avant les expériences de Galilée sur la chute des corps, on ne pouvait savoir que les masses étaient proportionnelles aux poids; et il en serait tout autrement si la pesanteur était, par exemple, une force du genre des attractions magnétiques qui ne s'exercent pas sur toutes les substances, et même qui s'exercent inégalement sur celles qui sont soumises à leur influence.

206. La vitesse acquise par les corps pesants tombant librement dans le vide, pendant un temps donné, dépend du lieu où se fait la chute ; elle subit de petites variations suivant la latitude et l'élévation au-dessus du niveau de la

344 i*fes u.

mer. Nous ne nous proposons pas ici d'en faire connaître les lois, et nous nous bornerons à donner la valeur de U vitesse acquise par un corps qui tomberait pendant l'uni le de temps, dans le vide, à l'Observatoire de Paris,

Pour déterminer d'abord l'unité de temps, nous supposerons le juur moyen partagé en 34 heures, l'heure en 60 minutes, la minute en 60 secondes ; et nous prendrons pour unité la seconde, ou la 864oo' partie du jour moyen.

Le jour sidéral, ou la durée de la rotation de la terre sur elle-même, est plus court <jue le jour solaire à cause du mouvement propre du soleil ; il n'est que de 86164,09 secondes. Cela pose, si nous désignons par g la vitesse acquise pendant une seconde par un corps tumbant dans le vide, à l'Observatoire de Paris, nous aurons, d'après «les expériences précises dont nous parlerons plus tard,

ff = 9™,8o896,

le mètre étant l'unité de longueur.

209. D'après ce que nous avons v uniformément varié, nous aurons dai

dans le mouvt i le cas d'un corps qui

Si le corps est lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse a, on aura, en prenant l'origine des x au point de départ, et les x positifs en sens contraire de la pesanteur,

g* v = a — gtf x •=. at — — •

La vitesse deviendra nulle pour t= -> d'où x = — • Le

mobile monte donc pendant un temps égal à celui qu'il mettrait à acquérir la vitesse initiale a-, et l'espace qu'il parcourt en s'élevant est égal à celui qu'il parcourrait en descendant pendant le même temps sans vitesse initiale.

Le mobile après le temps - redescend, puisque l'exprès-

sion delà vitesse change de signe*, et d'après ce qui vient d'être dit, il doit se trouver au point de départ avec une vitesse égale à — a, après un nouvel intervalle de temps

àgal à - • Et , en effet , les formules précédentes , pour

/ = — 9 donnent g

Proportionnalité de la vitesse à la force.

210. Ce principe fondamental de la dynamique consiste «m ce que deux forces constantes quelconques qui sollicitent des masses égales pendant un même temps, leur font acquérir des vitesses qui sont entre elles dans le même rapport que les deux forces.

Beaucoup de géomètres ont admis ce principe comme uue hypothèse ; et ils vérifiaient son exactitude par 1 accord entre les résultats des théories fondées sur elle, et des expériences ou des observations directes.

348 uvue il.

p, sera p cos a , et pourra prendre Toutes les valeurs depuis o jusqu'à/;. On pourra encore déterminer la vitesse acquise après une seconde, ri l'on trouvera ces vitesses proportionnelles aux forces, ou du moins cette loi se rapprochera d'autant plus de l'exactitude, que l'on aura diminue davantage les frottements et résistances de toute espèce.

Nous regarderons maintenant ce principe comme démontré, ainsi que les précédents, et l'objet de la mécanique rationnelle sera de déduire de ces premières données, tirées de l'observation de la nature, toutes les lois du mouvement dans les circonstances les plus compliquées. La conformité que l'on trouvera constamment entre les résultats de l'observation directe des phénomènes, et ceux que le calcul annonce en admettant ces principes, constituera une vérillcation qui ne laissera aucun doute sur leur exactitude.

Comparaison des fortes qui aijîssent sur des masses quelconques.

212. Si l'on applique une force constante p n un corps ayant une niasse ni, chaque unité de masse est sollicitée

DYNAMIQUE. 34p

D'où il résulte que deux forces constantes sont entre elles comme les produits des masses auxquelles elles sont appliquées y par les vitesses qu'elles leur font acquérir dans le même temps. La proportion précédente peut se mettre sous la forme

p m 9 p' m' tf

Si donc on prend pour unités de leurs espèces respectives, les quantités désignées par p', m', f'j on aura

p= mv.

Ainsi les forces seront mesurées par le produit de la masse du corps auquel elles sont appliquées, par la vitesse quelles lui font acquérir pendant F unité de temps; en entendant que Ton a pris pour unité de force celle qui fait acquérir à l'unité de masse, dans l'unité de temps, une vitesse égale à l'unité de longueur.

213. Si Ton voulait comparer les intensités de deux forces p9p\ qui dans des temps différents f, l' auraient fait acquérir des vitesses p, e' aux masses m, m', il fau- 4bait ramener les temps à être égaux, par exemple à l'unité, avant d'y appliquer la proposition précédente. Or, la masse

m aurait acquis la vitesse - dans le temps i, et la masse

m'y la vitesse -> ; on aura, par conséquent,

mv m* vf

et si Ton suppose que p', m', v\ l' soient tous égaux à

l'unité, ou aura

.ija livhb a.

liijucs des substance*, tels qu'ils doivent être substitues dans lis foi1 mules de la mécanique, s'obtiennent en multipliant les nombres donnés par la Table, par le poids spécifique de 1 eau < | ii ï csi 1000, puisque le înèirecnbe est l'unité de volume, et le kilogramme l'unité de force. Et de même, pour avoir 1rs d ensilés de ces substances, il faudra multiplier les nombres correspondants de la Table par ■

Egalité de faction et de la réaction dans te mouvement. Force d'inertie.

210. Considérons un point matériel soumis à l'action d'une force constante, qui lui fait parcourir une ligne droite d'un monument uniformément accéléré. On pcul remplacer celle force, quelle qu'elle soit, par un rorps qui pousserai! ou tirerait le point, de manière à lui faire suivre le mùiuc mouvement; auquel cas la force produite par sa liaison au corps serait la même que la première. Or, si l'on réalise cel état de choses en poussant ou en tirant un corps moyen d'un ressort dont on puisse négliger

quent aussi dans le cas où elle esl variable, puisqu'on peut toujours la considérer comme constante dans un intervalle de temps infini ment petit. Cest cette réaction qu'on appelle 1 force d'inertie.

Le principe étant établi pour tous les cas où la force est produite par des liaisons matérielles, on l'étend naturellement au cas même où Ton if aperçoit aucun intermédiaire entre les deux points qui agissent l'un sur l'autre*, action qui est toujours dirigée suivant la droite qui les joint. Cette extension est confirmée par l'accord entre les phénomènes observés, et les calculs fondés sut cette hypothèse 5 et d'ailleurs elle peut être démontrée expérimentalement toutes les fois que les corps entre lesquels a lieu l'action mutuelle peuvent être liés l'un à l'autre de manière à former un système rigide libre : on reconnaît par l'immobilité de ce système que les deux forces sont contraires et égales.

Nous admettrons donc ce principe général , que toutes les fois qu'un point matériel produit une action sur un autre, ce dernier exerce toujours une action égale et contraire sur le premier: de sorte que, si ces points venaient à être liés invariablement, les deux actions se détruiraient exactement.