CHAPITRE K
OUATIONS nil'FÊRENTIELLES OU MOUVEMENT RECTDJGNE.
Exfm.
i île la force dans un mouvement rectiligne quelconque.
217. jNpua avons vu que deux forces constantes sont litre l'ilcs comme les quantités de mouvement qu'elles ont nmmumquées dans le même temps. D'où il est résulté ii'mie force constante peut être mesurée par la quantité le mouvement qu'elle produit dans l'unité de temps, en irenant pour unité de force celle qui, dans l'unilé de emps, l'ail acquérir à l'unité du masse une vitesse égale à unité. Voyons comment on peut ramener à ce cas celui ■haque instant suivant une loi arbi-
Si la force était constante, il suffirait de diviser la vitesse qu'elle communiquerait au point dans un temps quelconque, par ce temps, et Ton aurait la vitesse communiquée dans l'unité de temps. Mais, dans le cas actuel, si la force est <f à un certain instant, elle sera augmentée d'une certaine quantité Ay après le temps Af, et l'accroissement A f de la vitesse ne sera pas dû à la force <p, mai 3 pourrait- être produit par une force comprise entre <f et <p-f- A<p, et qtft : agirait avec une intensité constante pendant le m^jjÉÉ'V
temps A*. Cette force intermédiaire y' sera égale à 7*-?"
c'est-à-dire que cette expression mesure la vitesse qu'elle communiquerait au point dans l'unité de temps.
Mais l'équation rigoureusement exacte <p; = — ayant
lieu quel que soit l'intervalle de temps Af , et <pf se rapprochant indéfiniment de <f à mesure que Af tend vers zéro, puisque alors A<j> tend aussi vers zéro, il en résulte, en" prenant les limites des deux membres de l'équation ,
Telle est la mesure exacte de la force appliquée à l'unité de masse, dans un mouvement rectiligne quelconque. Elle est de même signe que t/e, de sorte qu'en employant cette formule, on* regarde la force comme positive quand elle tend à augmenter la vitesse, et comme négative quand elle
tend à la diminuer; mais l'expression de celle-ci est — 9
et est positive quand le mouvement a lieu dans le sens des x positifs : donc la force sera positive quand elle agira
dx dans ce même sens, puisqu'elle rendra — ou ^ plus grand
en valeur algébrique; elle sera négative dans le sens contraire.
Livnx il.
de <p on rem plat
Y~ di- 21S. Si maintenant on considère un poÏDL dont la masse
soit m. la force uni le sollicite sera mesurée par m — -, 1 r rff
puisque !e point qui aurait le même mouvement et une
masse égale ;i l'unité serait sollicité par la force — i et
que nous avons vu que dans des mouvements identiques, les forces soni .une- elles comme les masses.
On est convenu d'appeler forci: motrice celle qui est appliquée à une masse donnée quelconque; sa mesure est
qui, dans le monte de n
inière,
vdv
Examinons les différentes questions auxquelles elles peuvent donner lieu.
i° Supposons que Ton donne x == F (t), on obtiendra l'expression de la vitesse et de la force par de simples différentiations par rapport à t.
2° Soit v = F (f), on aura
__ dp __ d.F(t)
* "" de - ~dT ;
on connaîtra donc la force accélératrice.
On connaîtra la position du point à chaque instant en
intégrant l'équation — =F (t) , qui donne
La constante relative à cette intégration se déterminera par la position initiale du point.
3° Soit<p = F(/).
On connaîtra la vitesse par la formule
et l'on déterminera la constante d'après la valeur initiale de f. Soit ainsi f =f(t) -, on aura la valeur de x au moyen de la formule suivante :
«t la constante introduite par cette nouvelle intégration dépendra de la position initiale du point.
LIÏBE II,
SpUvaF
on en onnlon
dm
la constante se d
.■terminera d'après la po si lion initiale du
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:, et l'on aura a
insi une équation finie
entre »■ ci /.
Lato
vite rue if ou -7-
ôs*]eiF'{x)F(i).
Soit bss F
; si l'on remplace ç ptl
r -j-i ou aura
~dx =
■)l d'ofi w/.. = F(j)-,
el, ei
i intégrant,
On parviendrait
encore à ce résultat en ren
iplaçaut o ptr
d'x IF
on aurait ;
ilors
