APPLICATION DES FORMULES PRÉCÉDENTES
Atout
i pOÎTtt matériel pesant dans un milieu résistant.
±20. l.a théorie admise sur la résistance des milieux est 'iiioi'i; assez, imparfaite; mais ici nous regarderons comme ■\ails Ici résultats approchés auxquels dus expériences multipliées onl conduit sur celle matière.
Ainsi, nous supposerons que celte résistance est une force iiiitiiale au* surfaces en chacun de leurs points, proporlionncllc au carré de la vitesse relative de ce point et du milieu, estimée dans le sens de la normale, ainsi qu'à la den-
éprouve devint égale à son poids, c'est-à-dire pour que Ion eût y ^-— = g. Alors la résistance appliquée à l'unité de
masse sera |-p \ et c'est sous cette forme, où l'homogénéité
est mise en évidence, que nous l'emploierons dans les calculs qui vont suivre.
221. Mouvement descendant. — Nous commencerons par le cas où le point matériel se meut dans le sens de la pesanteur. Soient A (fig. 53) le point de départ, et x la distance du mobile à ce point après un temps quelconque l, au bout duquel il a acquis la vitesse e. En désignant par <p la force accélératrice, on aura
f* £ dv
d'où
Ka dv
dt= >
et, intégrant,
ig K— ♦>
Nous n'ajouterons pas de constante, parce que nous supposons que la vitesse soit nulle au point de départ. On tirera de là
•i fit
d'où
fi £i
( I ) l' = IV • = -— 9
if JL' <**
J CK 4- e K L eire nul en même temps que t, ou •luit a
.lit.'
On a dont ainsi à chaque instant la position cl la vitesse du mobile; ce qui forme la solution complète de In question. On aurait pu exprimer x en fonction de u, en rem-
plaçant ip par — » ce qui aurait donne
DVBJIMIVL'i:. .S'il
éprouve devint égale a son poids, c'est-à-dire pour q ue l'on eût y i— — = «, Alors la résistance appliqua à l'unité de
masse sera ^— : et c l'st sous celle forint-, où l 'homogénéité . l'emploierons dans les cal-
esl mise en évidence, qui culs qui vont suivre.
32t. Mouvement descendant. — >ous commencerons
r le cas où le point matériel se uieul dans le sens de la
'■!■ :n . Soient À ' fig, 53) le point de départ, et x la
mobile à te point après un temps quelconque*,
1 duquel il a acquis la vitesse W. En désignant par -
e accélératrice, un aura
!:i forint;
donne, en développai» le logarithme,
r commun K.* el faisan I I
-£■23. Moimment ascendant. — Soil A (jig. 54) le point d'où pari le mobile : prenons toujours lu direction A\ de la pesanteur, pour le sens des x positifs, et soil — a la vitesse du mobile au moment du départ; on aura
— =e -f-g — = — ff'
cl, par suite,
Ksin|^ — acosfî
K K dx
a sin £- -f- Kcos^-
d'où Ton déduit
K sin ^ a cos —
a sin §- -h K cos fr = Lfasinf^ 4-Kcosf^) H- C.
La constante doit être telle que Ton ait à la fois f = o, x = o, ce qui donne
= 1.1 — sin — 4- cos —
Le problème est donc entièrement résolu, puisque, pour toute valeur de f, on peut assigner la position et la vitesse du point, et par suite la force qui le sollicite.
Le mobile cessera de monter quand f sera devenu nul: la force sera g à cet instant, et le fera descendre; mais alors la résistance changera de sens, et on retombe dans le premier cas. La valeur 0 de f , correspondante à cet instant, est donnée par l'équation
K sin fc ~~" a cos k = ° ' d °11 tang K" = ÏT
La valeur de x devient
C'est la distance de l'origine À au point le plus élevé B. À
366 i-i ybe ir.
partir de ce point, le mouvement peut être déterminé par les formules relatives au premier cas, si l'on prend ce point pour origine. Cherchons quelle vitesse aura le mobile quand il repassera en A, et quel temps il mettra à y revenir.
Egalons pour cela la distance AB ou — I. — ~ — à la valeur de X donnée par la fon
ule (3), il en résultera
Le mobile revient donc en A avec uue vitesse moindre que celle qu'il avait au moment du départ, et d'autant moindre que K est plus petit.
Pour connaître la valeur $ de (, relative à eet instant, il l'aul dans l'équation (a) substituer m .c la valeur particulière
et o K ', on aura, en prenant la plus grande racine,
cK=a+^n^> d,où 6,=k,/+^ + ^.
et le temps total écoulé entre le départ et le retour, aura pour valeur
