C .== — > et, par suite, x = — l i — e * l
On voit que la vitesse a pour limite o, à mesure que le
if temps augmente indéfiniment; et x a pour limite — : de
S sorte que le point tend indéfiniment vers une position déterminée, qu'il ne peut jamais atteindre.
226. Mouvement vertical d'un point dans le vide. — Supposons un point matériel placé en A (Jig. 55) au-dessus de la surface de la terre, et attiré vers son centre O en raison inverse du carré de la distance. Prenons le point A pour origine des x, que nous regarderons comme positif dans le sens de la pesanteur ; et désignons par g cette force appliquée à l'unité de masse, placée à la surface de la terre, à la distance r du centre. On aura, d'après l'hypothèse,
'f =^= " — - — r2 en posant OA = a. L'équation à intégrer
sera donc
d7x gr*
dt2 (a — x)7
Elle devient, en la multipliant par idx,
d7 x . dx
— (Lr =. 1er7
de 5 («—*)
Le premier membre est la différentielle de ( — ) > correspondante à l'accroissement dt , et le second est celle de
— - — * correspondante à l'accroissement dx relatif à dt. a — x r
Donc, les intégrales ne peuvent différer que d'une con-
l7o slanU-. ri 1'
mm. ] i
Nous sup|tc
Minus la vitesse nulle an point A, i
l'où résul-
lera
et , par sui
'=»^b=s^"îf^5
Cherchons
iiiaititonant X en fonction de t. (h.
on lire île
cette équat
ion, en observant ([lie àx et dt son
t tic menu
*i^ne.
il 'un
,- - YC-
miner l'instant où le mobile y passera, et la vitesse qu'il aura. Réciproquement, pour une valeur donnée de t , on connaîtrait la valeur de j? par la résolution approchée d'une équation numérique, ou par la construction de la courbe représentée par l'équation (2) , dans laquelle t représenterait l'ordonnée.
Ces formules ne s'appliquent qu'autant que le point ne pénètre pas dans l'intérieur de la terre; elles ne s'étendront donc que jusqu'à x = a — r. Au delà de ce point, la force devient proportionnelle à la distance au centre, et le mouvement est représenté par dés équations différentes que nous allons déterminer.
227. Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le mflbile parte du point À (fig- 56) de la surface de la terre avec une vitesse. nulle; nous prendrons l'origine des x au centre, à cause de la symétrie par rapport à ce point, et nous regarderons les x comme positifs dans le sens OÂ. L'expression de la force sera
tr
Multipliant par idx et intégrant, il vient
et comme on a v = o pour x = r, on aura C = gr, d'où
Il reste à trouver une équation entre x et t. Or celle-ci donne
I r dx
dx et de son sent a lieu en se utégrant.
signe — de signes U eoiUrain
'-Vf-
entrain»). Uni i|ue le inoiivi des x positifs. Ou obtiet
La constante est mille, puisque l'on a en même temps f=o, x = r. Cette équation, résolue par rapport à x,
devient
La valeur de vx montre que la vitesse est maxituunquand le point passe nu centre, et qu'elle redevient mille pour x = — /■, c'est-à-dire à l'extrémité opposée du diamètre. Le point se trouve alors dans les mèUpei cin slances; il revient doue vers sa première position par mouvement identique au premier, et l'on aura un nombre indéfini d'oscillations semblables. La vitesse ne dépendant que de x', est la même pour deu* positions situées à égale
it.
•on- • un »brr
228. Les formules précédentes se réduisent sensiblement à celles du mouvement uniformément accéléré, quand on suppose l'espace parcouru très-petit par rapport à la distance au centre; ce qui revient à supposer la force sensiblement constante,
Ainsi l'équation (1) peut se mettre sous la forme
V2 = 2 SX • 1 — •
a1 — ax
Soit
h étant très-petit par rapport à r et représentant l'élévation du point À au-dessus de la surface de la terre ;
— se réduira à l'unité, en négligeant les quantités de
Tordre de - , et Ton aura, à ce degré d'approximation,
V2 = 2gX.
Passons à la formule (a). On aura
remplaçante par/-f- A, et négligeant les termes où entrent les rapports -> - ? il restera yx\ et la première partie de t
sera
De même, en développant arc cos ou bien
