IX X

arc* siu > on trouvera que la seconde partir peut

Sire réduii

Dans la seconde question , les espace* partmirOB tonl r — x. et si du lus suppose Ircs-pelîls par rapport à r, \:\ formule (3), qui peut se meure *ous la l'or mu

se réduit sensiblement à

l.'i loi mule (4) développée devient

Si l'on néglige lc> termes qui renferment r en déaonrilMi

Supposons un point en mouvement dans un fluide dont la résistance soit proportionnelle à la puissance m . de la vitesse, m étant plus petit que i, et nécessairement positif/ Il part de l'origine des x avec une vitesse a dans le sens des x positifs, et n'est soumis à aucune autre force que la résistance du milieu. L'équation de son mouvement sera

h désignant une constante connue. On tire de cette équation

v~mdv = — kdty

et, par suite,

Observons que la puissance fractionnaire p" ne comportë dans aucun cas le double signe dans l'équation différentielle^ . et qu'il est entendu qu'elle sera toujours considérée comme' implicitement positive; sans quoi l'équation (1) ne repré senterait pas les conditions de la question mécanique. Il faut donc, dans tout le reste du calcul, considérer l'exposant m comme ne donnant qu'une valeur positive à la puissance de i> où il entrera ; et, lorsqu'une équation lui donnera une valeur négative, elle ne représentera pas le mouvement du point.

Nous avons dit qu'il fallait considérer toutes les solutions de F équation (i)* il faut donc tenir compte des solutions singulières, qui se réduisent à

La solution complète du problème proposé est donc donnée par les équations (2) et (3), et il ne s'agit plus que de reconnaître laquelle on doit considérer à un instant donné quelconque.

Or, il est évident qu'au moment du dépari, la vitesse

'Sj6 LIVRE 11.

étant a, et ne pouvant èM détruite que dans un temps tini, on lie devra pas faire usage de l'équation (3) dau& 1* commencement du mouvement. On devra dune prendre l'équation (a). Mais on n'en devra faire usage que jusqu'i'i l'époque pour laquelle on aura

valeur positive, puisqu'on a »i<i: eu effet, au delà ou aurait une valeur négative pour v*-"', ce que nous avnn* vu ne pouvoir convenir a la question mécanique proposée. Jusqu'à cette valeur de (, l'équation (ii) ne peut convenir, mais elle est satisfaite à cette époque, et elle devra l'être indéfiniment ensuite, puisque l'équation (3) ne peut l'être, et que le problème a certainement une solution, qui ne peut être représentée que par l'une ou par l'autre de ce;, deux équations.

Il suit de là que depuis I = o jusqu'à t = — — - — r-r » on

=r«~*— Knj*r

DYNAMIQUE. ty*]

et par suite, en exprimant que pour / = oouax = o,

[ai——(i—m)key-m n2-m

Le point où s'arrêtera le mobile, correspondant à

al""*= (1 — m) ht aura pour abscisse —• Il était

d'ailleurs bien facile de reconnaître à priori que si, à une certaine époque, la vitesse du point devenait nulle, il resterait constamment dans Ja position où il se trouverait alors. En effet, un point placé sans vitesse dans un milieu, résistant suivant une fonction quelconque de la vitesse, restera indéfiniment dans la position où on l'aura mis, puisque aucune force ne lui sera appliquée; il n'aura aucune tendance à se mouvoir d'aucun côté, et restera perpétuellement en repos.

CHAPITRR IV.

HU MOUVEMENT BtHS POINT I.lllltli PANS l'ESPU-K.

ÏÏHO, O i;hi' licwiidntit /<■ rrHMtxwnoai » Ai /omr pm- .i«rf tl'agir. — Si, à un instant qucUonquc du HimJWllWH. l'action de In force cessait Bntikmnant, le point mobile ne pourrait plus avoir qu'un mouvemeot rcetilijjne M Mi forme, d'après la loi d'iiirriic que nous avons admise précédemment. Il ne reste donc ;i déterminer que la direction i't la vitesse de ce mouvement.

Pour cela, concevons trois axe- rectangutsiret, dedireolions constantes, cl dont l'origine ait précisément ce mouvement que nous voulons déienuiiiej . Si la force n'utl xplus, le mobile coïncider*, constamment avec celle origine. Mais si elle ne cessait pas son action, r'csl-à-dire si lr point

DYNAMIQUE. Sjg

ordre, du point sur sa trajectoire; d'où il suit d'abord que cette direction rectiligne ne peut être que la tangente à cette trajectoire. De plus, l'espace parcouru par le point sur sa trajectoire ne différant que d'un infiniment petit du second ordre de celui que parcourt l'origine pendant le même temps, la vitesse dans le mouvement réel, à l'instant considéré, est la même que celle de l'origine.

On peut donc énoncer la proposition suivante : Si à un instant quelconque la force qui produit le mouventent d'un point libre cessait d'agir, ce point se mouvrait alors uniformément suivant la tangente à la trajectoire avec la vitesse qu'il avait à ce même instant.

231 . Valeur et direction de la force d'après le mouve-> ment produit. — Considérons une position quelconque M ( fie- ^7) d'un point dont la masse est m, et dont les coordonnées x^jr, z sont des fonctions déterminées du temps t. Si la force qui agit sur lui cessait à cet instant son action, il se mouvrait sur la tangente MT avec la vitesse v qu'il a en M. Si donc nous supposons trois axes X', Y', Z' constamment parallèles aux premiers, et dont l'origine se meuve sur MT avec la vitesse constante v, le mouvement du point ni; par rapport à ces axes, sera identique à celui qui aurait lieu par rapport à des axes immobiles, si le point m était placé sans vitesse à l'origine, et sollicité par la même force qui agit sur lui.

Ce mouvement relatif est précisément ce que nous avons appelé le mouvement déviatoire, et la ligne M' m' qu'il décrit ainsi est ce que nous avons appelé la déviation (n° 12). Ainsi cette dernière ligne peut être considérée comme celle que décrirait le mobile placé sans vitesse au point M, et sollicité par la force même qui agit sur le mobile dans son mouvement réel, en conservant à cette force une direction et une intensité constantes.

U taie m.»"»"" „,„, d»

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j>« "LZ. -s'

auront pour valeurs

i r/'jr i d*jr i d'z

fit- v dt* * dt

Pour avoir en grandeurs et en signes les composantes de la force accélératrice, il faudra multiplier ces cosinus par la valeur absolue <p de cette force, et Ton obtiendra ainsi

d2x d7y d*z *2' ~dtT'> 1ÏF' 'dt7'

En multipliant ces composantes de la force qui agit sur l'unité de masse du mobile, par sa masse m, on aura les composantes de la force motrice, c'est-à-dire de la force qui agit sur sa masse même. En désignant ces dernières par X, Y, Z, on aura les équations suivantes entre la force qui produit le mouvement, et les coordonnées du mobile à chaque instant :

,ov #* Y <*\r v d*z

<3) ""dF=x> mUF=zY^ ""d? = L>

qui se réduisent aux suivantes, en supposant que le mobile ait une masse égale à l'unité :

Ce sont les équations différentielles du mouvement de tout point libre.

232. Usage des équations du mouvement. — Les équations (3) ou (4) donnent le moyen de ramener au calcul toutes les questions qui peuvent se présenter sur le mouvement d'un point. Le cas le plus simple serait celui où Ton donnerait x, y, z en fonction de t : ou, plus généralement, trois équations finies entre x, y, z, t. Eu les différenciant

;J84 li«m u.

tien résulte tjnc ses deux composantes seront aussi rces par celles ili' l 'décélération.

Ainsi ;

Lu composante tangcntictlr- île la force accc/éralrtce

alrice

et la composait tu normale, ilirigùc t hure, est

It étant le rayon de courbure de la trajectoire. On désigne aussi celte dernière sous le nom Acjbrve centripète. Si au lieu de l'unité de masse on suppose une masse m, ces deir composa rites se changeront en