APPLICATIONS DBS FORMULES GÉNÉRALES BC MOUVEMENT D'UN POINT LIBRK

237. Mouvement produit par une force dont la diivtlion est constamment tangente a la trajectoire. — Dans une position quelconque du mobile, les cosinus des angle»

que fait la force avec les axes, sont proportionnels à -7^ .

— '— 1 —— . et, par hypothèse, ils doivent être aussi proporlionuels à ceux qui se rapportent à la tangente û la trajec- ■ toire eu ce même point, oui— > — 1 — *■ On devra donc avoir les égaillés suivantes :

DYNAMIQUE. 3oi

Intégrant de nouveau et désignant par a, a/, a* trois nouvelles constantes arbitraires, on obtient

Les coordonnées du mobile satisfaisant à deux équations du premier degré, il s'ensuit que la trajectoire est une ligne droite.

" La position initiale du mobile sera un point de cette droite. Les composantes initiales de la vitesse donneront, au moyen des équations (i), les rapports des coefficients c, </, c?. La droite donnée par les équations (2} sera donc déterminée, puisqu'on connaît sa direction et un de ses points. Ainsi, la question est ramenée au mouvement sur une droite donnée, et sera traitée comme précédemment, quand la force sera connue.

238, Mouvement produit par une force constanÊpeuÇ normale à la trajectoire. — La condition connue poujhma; deux droites soient perpendiculaires, donne immédiate* ment, dans le cas actuel, l'équation

dx dxx dy d*y dz d*z dt'dF'^dê'dF "*" 3* S**" = °*

Or le double du premier membre est la dérivée de

(îHî)"-®'

ou de f % e désignant toujours la vitesse ; il en résulte donc que la vitesse est constante. Ainsi, en désignant par et sa vitesse initiale, on aura

dx1 <fy* dz*

dt*^ dt> ^ <//'*" •'

11 suffira donc de connaître deux autres équations pour

3g a m ke ii.

que le mouvement soit déterminé. JNnus n en offrirons ieî aucun exemple ; nous nous étions proposé seulement d'établir la proposition générale suivante :

Lorsque la force qui sollicite un point matériel est toujours normale à sa trajectoire, le mouvement de ce point est uniforme.

On se trouve dans les'condilions de cette question, quand on considère un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface lixe qui ne produit aucun frottement, en admettant qu'il n'y ait aucune force autre que la résistance de la courbe ou de la surface : le mobile est alors sollicite par une force constamment normale à sa trajectoire, et son mouvement sera par conséquent uniforme.

Remarque. — On aurait pu parvenir aux conséquences précédentes, relativement à ces deux dernières questions, au moyen des formules qui cxpiiincut la composante langenliclle et la composante normale de la force appliquée au mobile.

Eu effet, si cette force est toujours tangente à U Irajec toire, la composante normale est toujours nulle; et i'i en chaque point,

njecon..

origine des coordonnées, les cosinus des angles formés par la direction de cette force avec les axes, doivent être proportionnels aux coordonnées x, y, z du point*, et, comme

ils sont proportionnels aux composantes -—> -77-» -77 de la force accélératrice, on aura

"dF IF dt*

dfoù Ton tire

JdF-z!F = °>

dt' dt' '

xdF-jrdr=°'

et, en intégrant par rapport à t,

, v dz dy dx dz , dy tir

y l J dt dt dt dt y dt J dt '

C, C CP étant des constantes arbitraires.

Si Ton multiplie la première de ces équations par x, la seconde par j, la troisième par *, et qu'on les ajoute, on trouvera l'équation suivante entre les coordonnées dy point à un instant quelconque :

Le point ne sort donc pas d'un plan passant par l'origine, comme on pouvait le reconnaître a priori, en observant qu'aucune cause ne tend à faire sortir le point du plan: mené par le centre d'action et la direction de la vitesse initiale.

Pour interpréter les équations (a), soient r la projection du rayon vecteur mené de l'origine au point mobile, sur le plan XY, et 0 l'angle qu'elle forme avec l'axe des x. Nous supposerons que les angles croissent de Taxe des x positifs

3g4 livre ii,

vers Taxe des y pontife, de sorte qu'en se plaçant dans Taxe des z positifs, on voie s'exécuter de gancha à droits le mouvement du rayon qui décrirait les angles croissants. Nous regarderons les aires décrites par un rayon vecteur, comme croissant dans ce même sens \ et il en sera de même pour chacun des autres axes, relativement aux deux auto» plans.

Cela posé, on aura l'équation générale

dû djr dx

*f j. * * Xdf~~rdï

tang 9 = ^-, d'où — — = ; ;

x cos* 0 x*

et, par conséquent,

dt J dt dt dt

en désignant par V Taire décrite par la projection r ds rayon vecteur du mobile.

Si l'on désigne de même par W et X les aires décrites par les projections de ce rayon vecteur sur les plans ZX et ZT, les équations (a) donneront

dt ~" 2'

dt ~"~ a '

dt 2

d'où

en supposant que les aires commencent avec le temps t. . Ces équations montrent que les aires décrites, à partir de cet instant, par les projections du rayon vecteur du mobile, croissent proportionnellement au temps. Et comme le mouvement du point s'effectue dans un plan, il s'ensuit que les aires décrites par le rayon vecteur du mobile dans ce plan, sont aussi proportionnelles au temps. La valeur de ces aires peut s'exprimer facilement, en observant qUe tonte

aire plane est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires. On

aura donc, pour l'expression de ces aires,

Réciproquement, si les aires décrites par les projections du rayon vecteur sont proportionnelles au temps, la direction de la force qui sollicite le mobile, passe constamment par l'origine. Car alors les équations (3) auront lieu, et, par suite, les équations (2) qui, différentiées, donneront les équations (1); or ces équations expriment que les cosinus des angles que fait avec les axes la direction de la force, et ceux qui se rapportent à la droite menée de l'origine au point (x, j) z) sont proportionnels, et que, par conséquent, ces deux droites se confondent.

C'est dans ces deux propositions réciproques que consiste le principe des aires pour un point matériel.

Si le point était sollicité par des forces dirigées vers deux centres fixes, les équations (1) ne seraient plus satisfaites; mais la première aurait encore lieu en prenant pour axe des z la droite qui passe par les deux centres, fin effet, la résultante des forces auxquelles le point est soumis, coupant constamment l'axe des *, ses composantes parallèles aux axes des x et des y sont proportionnelles à ces deux coordonnées ; d'où résulte l'équation

x~dF~~~y~dF ~"~0;

et, par conséquent, le principe des aires a lieu, dans ce cas, pour tout plan perpendiculaire à la droite qui passe par les deux centres, le centre des aires étant pris sur cette droite.

Il est évident qu'il en serait de même si, au lieu de deux

3y4 liviik n.

vers l'axe des y positifs, de sorte qu'eu se plaçant dans l'axe des s positifs, ou voie s'exécuter de gauche â droite le mouvement du rayon qui décrirait les angles croissants. ÎN'ous regarderons les aires décrites par un rayon vecteur, comme croissant dans ce même sens-, ci il en sera de même pour cliacuu des autres axes, relativement aux deux autres

Cela post

tira l'équation générale

cl, par GOnséquenti

en désignant par i." l'aire décrite par la projrt'iiim i rayon vecteur du mobile.

Si l'on désigne de même par A' et / In aires dérritc» les projections de ce rayon vecteur sur les plans ZX «t 1 les équations (a) donneront

aire plane est égale a la racine carrée de la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires. On

aura donc, pour l'expression de ces aires,

if^C' + C"-*- C".

Réciproquement, si les aires décrites par les projections du rayon vecteur sont proportionnelles au temps, la direction de la force qui sollicite le mobile, passe constamment par l'origine. Car alors les équations (3) auront lieu, et, par suite, les équations (?) qui, diflerentiées, donneront les équations (1) ; or ces équations expriment que les cosinus des angles que fait avec les axes la direction de la force, et ceux qui se rapportent à la droite menée de l'origine au point (x, y, z) sont proportionnels, et que, par conséquent, ces deux droites se confondent.

C'est dans ces deux propositions réciproques que consiste le principe des aires pour un point matériel.

et, par conséquent, le principe des aires a lieu, dans ce cas, pour tout plan perpendiculaire à la droite qui passe par les deux centres, le centre des aires étant pris sur cette droite.

Il est évident qu'il en serait de même si, au lieu de deux

étant I :,,,:!. U A V Don.

-=-gt+aWn*

Intégrant encore, il vient

Nous n'ajoutons pas de comlaules, parce que, pour ,' = o. oti doit avoir .r = o et y = o.

On aura l'équation de la trajectoire en éliminant t entre ces deux équations; o» trouve ainsi

équation qui représente uue parabole dont l'axe est parallèle à l'axe des y, et par conséquent vertical, et dont la tangente n l'origine est la direction de la vitesse initiait'. Les coordonnées /», A de son sommet ont pour valeurs

C'est l'cx pression de la distance AC; on la nomme V amplitude du jet. Elle est la plus grande possible quand

ol = 45°.

244. Si le corps était lancé avec la même vitesse a dans des directions différentes, on aurait différentes paraboles qui auraient toutes la même directrice. Le lieu de leurs sommets s'obtiendrait en éliminant a entre les équations qui déterminent h et À~; on trouve ainsi

équation d'une ellipse dont le petit axe est égal à — * dirigé suivant Taxe des y, et a l'une de ses extrémités à l'origine ;

l'autre axe est égal à — ; il est double du premier.

215. On aura la courbe enveloppe de toutes les paraboles correspondantes aux différentes valeurs de a, en éliminant cet angle entre l'équation générale de ces lignes et

à* sa dérivée par rapport à a, qui donne tanga = — • On

trouvera ainsi, pour l'équation de la courbe enveloppe,

ou, en désignant par h la hauteur due à la vitesse a,

La courbe cherchée est donc une parabole ayant pour axe l'axe des y, et son sommet du côté des y positifs à une distance h de l'origine. Elle coupe l'axe des x en deus points distants de l'origine d'une quantité égale à i h.